Funk_metoda_part_1

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРА НИ ОДЕСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iм. I.I. МЕЧНИКОВА

Iнститут математики, економiки та механiки

МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ

Метричнi, нормованi i гiльбертовi простори

Для студентiв факультету математики

ОДЕСА 2005

У методичних вказiвках наведенi деякi основнi означення i факти теорi¨ метричних, нормованих i гiльбертових просторiв. Наведенi приклади розв'язання задач i запропонованi задачi для самостiйного розв'язання. При пiдборi задач особлива увага придiлялася просторам функцiй i послiдовностей C[a,b], Lp[a,b],

lp, якi ¹ найважливiшими як для теорi¨, так i для практики.

Данi методичнi вказiвки мають сво¹ю метою допомогти студентам оволодiти основними поняттями i методами функцiонального аналiзу, а головне, виробити практичнi навики ¨х застосування до розв'язання задач.

Теоретичний матерiал, пов'язаний з темою цих методичних вказiвок, можна, наприклад, знайти в пiдручниках [1 9]. Бiльшiсть завдань для вправ запозичено iз збiрникiв [10 14].

Методичнi вказiвки складенi так, щоб бути використаними при кредитно-модульнiй системi навчання. За матерiалом, викладеним в роздiлi "Метричнi, нормованi i гiльбертовi простори", плану¹ться провести три модуля. При цьому

задачi для 1-го модуля будуть складенi iз завдань 1-го роздiлу цiх методичних вказiвок;

задачi для 2-го модуля iз завдань 2-го i 3-го роздiлiв; задачi для 3-го модуля iз завдань 4-го i 5-го роздiлiв.

Склали: Вартанян Г.М., Неча¹в А.П., Малаксiано М.О., Леончик .Ю.

Друку¹ться згiдно з рiшенням вчено¨ ради IМЕМ. Протокол __ вiд 10.06.05

2

Çìiñò

1	Метричнi простори		4
	1.1	Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
	1.2	Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
2	Принцип стискуючих вiдображень		17
	2.1	Основнi факти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
	2.2	Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
3	Компактнi множини в метричних просторах		25
	3.1	Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
	3.2	Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
4	Лiнiйнi нормованi простори		29
	4.1	Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
	4.2	Вправи на тему Лiнiйнi нормованi простори . . .	37
	4.3	Вправи на тему Еквiвалентнi норми . . . . . . . .	43
	4.4	Фактор-простiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
	4.5	Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
5	Гiльбертовi простори		48
	5.1	Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
	5.2	Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50

3

Означення 5.

(X, ρ)

1Метричнi простори

1.1Основнi означення

Означення 1. Множина X назива¹ться метричним простором, якщо кожнiй парi елементiв x, y X поставлено у вiдповiднiсть

таке дiйсне число ρ(x, y), яке назива¹ться метрикою, або вiдстанню, i виконуються наступнi три аксiоми:

1.	ρ(x, y) ≥ 0 x, y X;
	ρ(x, y) = 0 òîäi i ëèøå òîäi, êîëè x = y (аксiома тотожностi);
2.	ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y X (аксiома симетрi¨);
3.	ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) x, y, z X (аксiома трикутника).

Метричний простiр позначають через (X, ρ), пiдкреслюючи, що на множинi X визначена вiдстань ρ.

Означення 2. Нехай (X, ρ) метричний простiр i x0 X.

Вiдкритою кулею з центром в точцi x0 ðàäióñà r > 0 назива¹ться множина

B(x0, r) = {x X : ρ(x, x0) < r}.

Означення 3. Нехай (X, ρ) метричний простiр i множина

E X. Точка x0 X назива¹ться внутрiшньою для множини E, ÿêùî iñíó¹ êóëÿ B(x0, r) E.

Означення 4. Нехай (X, ρ) метричний простiр. Множина

E X назива¹ться вiдкритою, якщо кожна ¨ точка ¹ внутрiшньою.

Нехай метричний простiр i x0 X. Околом точки x0 назива¹ться будь-яка вiдкрита множина iз X, якiй належить точка x0. Окiл точки x0 познача¹ться через U(x0).

Далi, для простоти, метричний простiр (X, ρ) будемо познача- ти коротко через X.

Означення 6. Точка x0 X назива¹ться граничною точкою множини E X, якщо будь-який окiл цi¹¨ точки мiстить нескiн-

ченну кiлькiсть точок множини E.

Легко бачити, що це означення можна сформулювати iнакше.

4

Означення 7.

Точка x0 X назива¹ться граничною точкою множини E X, якщо будь-який окiл цi¹¨ точки мiстить деяку

точку з E âiäìiííó âiä x0.

Означення 8. Множина E з метричного простору X назива¹ться замкненою, якщо ¨й належать всi ¨¨ граничнi точки.

Порожню множину i всю множину X будемо вважати одно- часно i вiдкритими i замкненими за означенням.

Означення 9. Замиканням множини E X назива¹ться перетин усiх замкнених множин, яким належить множина E. Замикання множини E познача¹ться через E.

Означення 10. Множина E назива¹ться всюди щiльною в

метричному просторi X, ÿêùî E = X.

Означення 11. Метричний простiр назива¹ться сепарабельним, якщо в ньому iсну¹ зчислена всюди щiльна пiдмножина.

Означення 12. Послiдовнiсть точок {xn}∞n=1 метричного про- стору X назива¹ться збiжною до точки x0 X, ÿêùî ε > 0 n0 N òàêå, ùî n ≥ n0, n N викону¹ться нерiвнiсть

ρ(xn, x0) < ε.

Означення 13. Послiдовнiсть точок {xn}∞n=1 метричного про- стору X назива¹ться фундаментальною, якщо ε > 0 n0 N òàêå, ùî n ≥ n0, m ≥ n0, n, m N викону¹ться нерiвнiсть

ρ(xn, xm) < ε.

Означення 14. Метричний простiр X назива¹ться повним,

якщо в цьому просторi кожна фундаментальна послiдовнiсть збiга¹ться до елемента того ж простору.

Означення 15. Дiаметром множини A називають число

diamA = supx,y X ρ(x, y). Якщо дiаметр множини ¹ скiнченним числом, то множина обмежена. Вiдстанню вiд точки x X äî ìíî-

æèíè A називають число ρ(x, A) = infy A ρ(x, y). Вiдстанню мiж множинами A, B X називають ρ(A, B) = infx A, y B ρ(x, y).

Приклад 1. Довести, що множина C[a;b] неперервних на

ïðîìiæêó [a; b] числових функцiй ¹ метричним простором з метрикою

ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| .

t [a;b]

Розв'язок. Аксiоми метрики 1) та 2) безпосередньо випливають з означення модуля. Перевiримо справедливiсть аксiоми трикут-

5

безпосеред-

íèêà.

Нехай x, y, z C[a;b], тодi для будь-якого t [a; b]

|x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)| .

Çâiäêè

max x(t)		max z(t)		−	y(t) .
|x(t) − y(t)| ≤ t [a;b]	|	− z(t)| + t [a;b]	|		|

Переходячи до максимуму злiва, ма¹мо

max |x(t) − y(t)| ≤ max |x(t)

t [a;b]

t [a;b]

− z(t)| + max |z(t) − y(t)| .

t [a;b]

Остання нерiвнiсть i ¹ нерiвнiстю трикутника.

Приклад 2. Довести, що множина lp (1 ≤ p < ∞) числових послiдовностей x = (x1, x2, ..., xn, ...), äëÿ ÿêèõ ðÿä

∞

X

|xn|p < ∞,

n=1

¹ метричним простором з метрикою

ρ(x, y) =	( ∞	1
		|xn − yn|p)p .
	X

n=1

Розв'язок. Аксiоми метрики 1) та 2) для x, y lp

ньо випливають з означення модуля при умовi збiжностей усiх

ðÿäiâ. Ðÿäè

∞

x

p òà

∞

y

p збiгаються за умовою. До-

ведемо

P

|

|

n

P| −

|

n=1

n

∞

n=1

|

n

|

p. З нерiвностi Мiнковського

çáiæíiñòü ðÿäó

m NP

=1

n

n

при будь-якому

ìà¹ìî

( m

1

≤

( m

1

( m

1

|xn − yn|p)p

|xn|p)p +

|yn|p)p .

X

X

X

n=1

n=1

n=1

n∞=1 |xn − yn|p

з невiд'¹мними

Для доведення збiжностi ряду

P

членами нам залиша¹ться

m пряму¹ до

перейти до границi, коли

нескiнченностi. Отрима¹мо

( ∞

1

≤

( ∞

1

( ∞

1

|xn − yn|p)p

|xn|p)p +

|yn|p)p .

X

X

X

n=1

n=1

n=1

6

Нехай тепер x, y, z lp . З останньо¨ нерiвностi виплива¹

	ρ(x, y) =			( ∞			1	=
					|xn − yn|p)p
				X
				n=1
	= ( ∞							1	≤
			|(xn − zn) + (zn − yn)|p)p
		X
		n=1
≤	( ∞			1	+	( ∞			1	=
		|xn − zn|p)p					|zn − yn|p)p
	X					X
	n=1					n=1

= ρ(x, z) + ρ(z, y).

Таким чином, аксiома трикутника викону¹ться.

Приклад 3. Доведiть, що простiр lp (1 ≤ p < ∞) ¹ повним та

сепарабельним.

Розв'язок. Покажемо,

ùî

простiр lp повний. З цi¹ю ме-

тою розглянемо фундаментальну послiдовнiсть

xk

∞

k=1 елемен-

òiâ xk

k

k

k

p. Тодi для будь-якого фiксованого

= (x1

, x2 , ..., xn, ...) ç l

n

∞

числова послiдовнiсть координат

n

k

j

k

j

{xk

}k=1 ¹ фундаментальною

(äiéñíî, |xn − xn

| ≤ ρ(x , x

)). Таким чином, для будь-якого n

iсну¹ скiнчениа границя

lim xk = xn

(n = 1, 2, ...).

k→∞ n

k

Нехай x = (x1, x2, ..., xn, ...). Покажемо, що x lp i limk→∞j xk

= x.

Вiзьмемо довiльне ε > 0. Iсну¹ номер K такий, що ρ(x , x

) < ε

äëÿ âñiõ k, j ≥ K. Для будь-якого натурального ν

ν

X

|xkn − xjn|p < εp, k, j ≥ K.

n=1

Для фiксованого k перехiд до границi при j → ∞ äà¹

ν

X

|xkn − xn|p < εp, k ≥ K.

n=1

7

Звiдси, залучивши нерiвнiсть Мiнковського, ма¹мо

|xn|p!	1	|xnk	|p!	1
	≤			+ ε
ν	p	∞		p
X		X
n=1		n=1

при будь-якому ν (k фiксовано). Таким чином, x lp. При цьому äëÿ âñiõ k ≥ K

∞	|xnk − xn|p!	1
		p
ρ(xk, x) =		≤ ε,
X
n=1
тобто limk→∞ xk = x.
Розглянемо пiдмножину

E = {r = (r1, ..., rn, 0, 0, ...) : rk Q, k = 1, 2, ..n, n = 1, 2, ...}

простору lp. Множина E ¹ зчисленною i всюди щiльною в lp. Òîìó lp сепарабельно.

Приклад 4. Нехай M множина усiх числових послiдовно- ñòåé x = {xn}∞n=1. Покладемо

∞		|xn − yn|
ρ(x, y) =	2−n						.
X	|		xn	−	yn	|
n=1	1 +

Доведiть, що ρ визнача¹ метрику на M i простiр M ¹ повним

вiдносно цi¹¨ метрики.

Розв'язок. Вiдзначимо, що ряд P∞ 2−n |xn−yn|

n=1 1+|xn−yn| збiга¹ться для будь-яких числових послiдовностей за ознакою порiвняння з рядом P∞ 2−n, тому аксiоми 1) та 2) перевiряються легко.

n=1

Íåðiâíiñòü ρ(x, y) ≥ 0 очевидна. Якщо x = y, òî xn = yn n N,

а тодi ρ(x, y) = 0. Навпаки, рiвнiсть ρ(x, y) = 0 можлива лише у випадку, коли всi доданки в рядi дорiвнюють нулю, а це можливо лише при xn = yn n N. Тобто x = y.

Аксiома 2) очевидна.

Доведемо аксiому 3). З цi¹ю метою розглянемо функцiю

ϕ(λ) = 1 +λ λ, λ ≥ 0.

8

Враховуючи, що ця функцiя зроста¹ при λ ≥ 0, для будь-яких чисел α, β ≥ 0 ìà¹ìî

|α + β|

≤

|α| + |β|

≤

1 + |α + β|

1 + |α| + |β|

|α| + |α||β| + |β|

|α| + 2|α||β| + |β|

=

|α|

+

|β|

.

≤

1 + |α| + |α||β| + |β|

≤ 1 + |α| + |α||β| + |β|

1 + |α|

1 + |β|

Нехай x = {xn}∞n=1 , y = {yn}∞n=1 , z = {zn}∞n=1 , довiльнi елементи множини M. Покладемо в останнiй нерiвностi

	α = xn − zn, β = zn − yn (n = 1, 2, ...),
i помножимо ¨¨ на 2−n. Äëÿ âñix n = 1, 2, ... будемо мати
2−n	|xn − yn|		2−n	|xn − zn|	+ 2−n	|zn − yn|	.
				1 + |xn − zn|
1 + |xn − yn| ≤					1 + |zn − yn|

Якщо скласти всi цi нерiвностi, то отрима¹мо нерiвнiсть трикут-

íèêà

∞

|xn − yn|

2−n

|

X

|

−

yn

n=1

1 + xn

≤

∞

|xn − zn|

∞

|zn − yn|

2−n

|

+

2−n

.

≤

X

|

−

zn

X

|

−

yn

|

n=1

1 + xn

n=1

1 + zn

Перейдемо до розгляду повноти простору M. Нехай послiдов-

íiñòü {xn}∞n=1 M фундаментальна, тобто ε > 0 n0 òàêå, ùîn, m ≥ n0 викону¹ться нерiвнiсть

	ρ(xn, xm) = ∞ 2−k		|xkn − xkm|						|	< ε.
		X	|			−		xm
		1 + xn
		k=1			k			k
Îòæå, k		|xkn − xkm|		< 2kε,
àáî	1 + |xkn − xkm|
				2kε
	|xkn − xkm| <						.
			1 − 2kε

9

Звiдси виплива¹, що для будь-якого k N числова послiдовнiсть {xnk }∞n=1 фундаментальна в R. За критерi¹м Кошi k N iñíó¹

границя lim

n→∞

xn = x0

, òîìó x0 =

{

x0

∞

M.

k

k

k

}k=1

Ряд у лiвiй частинi нерiвностi

∞

2−k

|xkn − xkm|

< ε

|

X

|

−

xm

1 + xn

k=1

k

k

завдяки множнику 2−k збiга¹ться рiвномiрно вiдносно m N, тому в цiй нерiвностi можна перейти до границi пiд знаком суми, коли m → ∞ . Ìà¹ìî,

	ρ(xn, x0) =	∞	2−k	|xkn − xk0 |						ε.
		X							|
			1 +		|	xkn	−	xk0
		k=1							≤

Звiдси виплива¹ збiжнiсть послiдовностi {xn}∞n=1 до елементу x0 у просторi M. Таким чином, M метричнiй простiр, повний вiдносно визначено¨ метрики.

Зауваження. Збiжнiсть в просторi M ¹ покоординатною. Цей простiр сепарабельний. Множина фiнiтних послiдовностей (r1, r2, ..., rn, 0, 0, ...0, ...), äå ri рацiональнi числа, а n äîâiëüíå

натуральне число, всюди щiльна в M.

1.2Вправи

1.Доведiть нерiвнiсть Юнга:

1	1	≤	a		+	b
ap bq							,
			p			q
äå a, b ≥ 0, p, q > 1 i p1 + 1q = 1.
2. Доведiть нерiвнiсть Гьольдера:
akbk ≤					1		bkq !	1
	n	akp!						,
n					p		n	q
X	X						X
k=1	k=1						k=1
äå ak, bk ≥ 0 äëÿ âñiõ k = 1, 2, ..., n,						p, q > 1 i p1 + 1q = 1.

10