Funk_metoda_part_1
.pdf5. В лiнiйному просторi послiдовностей x = (x1, x2, ...) l2 ïî-
кладемо |
∞ |
|
|
|
X |
|
(x, y) = λkxkyk, |
|
k=1 |
äå λk R, 0 < λk < 1, k N. Чи буде цей простiр: a) евклiдовим; b) гiльбертовим?
6. Нехай x1, x2, ..., xn ортогональна система в лiнiйному про-
орему Пiфагора: ||x||2 = |
kn=1 ||xk||2. |
P |
n |
|
k=1 xk. Доведiть те- |
||||
ñòîði X зi скалярним добутком i x = |
|
|||
P
7.Доведiть, що в просторi X зi скалярним добутком для будьяких x, y X викону¹ться нерiвнiсть Шварца
|(x, y)| ≤ ||x|| · ||y||.
8.Доведiть, що в просторi X зi скалярним добутком для будьяких x, y X викону¹ться рiвнiсть паралелограма
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 .
9.Доведiть, що в просторi X зi скалярним добутком для будьяких x, y, z X викону¹ться рiвнiсть Аполлонiя
||z − x||2 + ||z − y||2 = |
1 |
||x − y||2 + 2 |
z − |
x |
+ y |
2 |
|
2 |
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Доведiть, що в просторi X зi скалярним добутком для будьяких x, y, z, w X викону¹ться нерiвнiсть Птолемея
||x − z|| · ||y − w|| ≤ ||x − y|| · ||z − w|| + ||y − z|| · ||x − w||.
В якому випадку у цiй нерiвностi ма¹ мiсце рiвнiсть?
11.Доведiть, що в евклiдовому просторi елементи x i y ортогональнi тодi i тiльки тодi, коли
||x + y|| = ||x||2 + ||y||2.
51
12.Доведiть, що в унiтарному просторi елементи x i y ортогональнi тодi i тiльки тодi, коли
||αx + βy|| = ||αx||2 + ||βy||2
äëÿ áóäü-ÿêèõ α, β C.
13.Доведiть, що для того щоб елемент x евклiдового простору X був ортогонален пiдпростору L X необхiдно й достатньо, щоб для будь-якого y L виконувалась нерiвнiсть
||x|| < ||x − y||.
14. Знайдiть величину кута мiж елементами x1(t) ≡ 1 i x2(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 в просторi L2[0;1].
15.Нехай x1, x2, ... i y1, y2, ... бiортогональнi системи елементiв гiльбертового простору H, тобто
(xi, yj) = |
0, |
i 6= j. |
|
1, |
i = j; |
Доведiть, що кожна з цих систем лiнiйно незалежна.
16.Доведiть, що система елементiв x1, x2, .., xn евклiдового (унiтарного) простору ¹ лiнiйно незалежною тодi й тiльки тодi, коли визначник Грама
|
|
|
|
|
|
(x1, x1) |
(x1, x2) ... (x1, xn) |
|
|||
(x , x |
2 |
, .., x |
n |
) = |
(x2, x1) |
(x2, x2) ... (x2, xn) |
|||||
1 |
|
|
|
... |
... |
|
... |
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x , x |
2 |
) ... |
(x , x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn, x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ âiäìiííèì âiä íóëÿ.
17.В лiнiйному просторi неперервних на [0, ∞) функцiй x(t) òà-
êèõ, ùî
покладемо
Z ∞
|x(t)|2e−tdt < ∞,
0
Z ∞
(x, y) = x(t)y(t)e−tdt.
0
52
(a)Перевiрьте виконання аксiом скалярного добутку.
(b)Розгляньте лiнiйно незалежну систему
1, t, t2, ... .
В результатi ортогоналiзацi¨ приходимо до ортогонально¨ системи многочленiв Чебишева - Лаггера. Знайдiть три ¨¨ перших члена.
18. Äëÿ |
функцi¨ et знайдiть многочлени Pn(t) степенiв n = |
1, 2, |
3 такi, що норма ||et − Pn(t)|| ¹ мiнiмальною в L[2−1;1]. |
19.В просторi L2[−1;1] побудуйте проекцi¨ функцiй на
(a)пiдпростiр парних функцiй;
(b)пiдпростiр непарних функцiй.
20.В просторi C2([−1; 1]) комплекснозначних, неперервних на [−1; 1] функцiй зi скалярним добутком
Z 1
(x, y) = |
x(t)y(t)dt |
−1
знайдiть ортогональне доповнення до просторiв:
(a)функцiй рiвних нулю при x ≤ 0;
(b)функцiй рiвних нулю при x = 0.
21.Нехай x1, x2, ..., xn, ... - ортогональна система в гiльберто-
P∞
вому просторi H. Доведiть, що ряд k=1 xk çáiãà¹òüñÿ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè çáiãà¹òüñÿ ðÿä P∞ ||xk||2.
k=1
Список лiтератури
1.Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. К.: Выща шк., 1990.
2.Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
53
3.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
4.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977
5.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
6.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.М.: Гостехиздат, 1957.
7.Ðèññ Ô., Секефальви-надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
8.Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
9.Садовничий В.А. Теория операторов. М.: èçä-âî Ìîñê. óíòà, 1986.
10.Антоневич А.Б., Князьев П.Н., Радыно Я.В., Задачи и упражнения по функциональному анализу. - Минск.: Вышэйш. шк., 1978.
11.Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969.
12.Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу. К.: Выща шк., 1990
13.Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.
14.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.
54
Склали: Вартанян Григорiй Михайлович, Неча¹в Анатолiй Петрович, Малаксiано Микола Олександрович, Леончик вген Юрiйович
МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ
Метричнi, нормованi i гiльбертовi простори
Для студентiв факультету математики
55