Funk_metoda_part_1

послiдовностi

a) xn(t) = tn; b) xn(t) = tn − tn+1; c) xn(t) = tn − t2n?

tn+1 tn+2

12. ×è çáiãà¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòü xn(t) = n+1 − n+2 в просторi:

a) C[0;1]; b) C[0;1]1 .

13. Доведiть, що в просторi C[a;b] множина функцiй x(t) таких, що для будь-якого t [a; b] викону¹ться нерiвнiсть |x(t)| < 1, ¹ вiдкритою множиною.

14. Доведiть, що множина неперервних кусково-лiнiйних функцiй всюди щiльна в просторi C[a;b].

15. За якою умовою на числову послiдовнiсть {an}∞n=1, an > 0, n N множина

E= {x l2, x = (x1, x2, ..., xn, ...) : |xn| < an}

¹вiдкритою в l2?

16.Доведiть, що для áóäü-ÿêî¨ послiдовностi {an}∞n=1, an > 0 паралелепiпед E = {x l2, x = (x1, x2, ...) : |xn| ≤ an} ¹ замкненою множиною в l2.

17.В просторi k раз неперервно диференцiйованих на [a; b] функцiй норму елемента можна визначити формулою:

	||x|| =	0≤i≤k	t [a;b] i				|			|
(a)		max	max ρ				(t) x(t)			;
										1
(b) ||x|| =		ab	k	ρi(t)|x(i)(t)|pdt!p ;
		Z	i=0
		k	X
		Xi					(i)
(c)	||x|| =	max		ρi	(t)|x (t)|;
		=0 a≤t≤b
			k
(d)		max	Xi	ρ	(t)	x(i)(t)			,
	||x|| = a t b		=0	i	|			|
		≤ ≤

41

äå ρi(t) C[a;b], i = 0, 1, ..., k будь-якi фiксованi додатнi функцi¨. Доведiть, що аксiоми норми виконуються для кожного випадку. У якому з випадкiв цей простiр буде банаховим?

18.Якi з наведених нижче пiдмножин простору C[−1,1] ç íîð- ìîþ ||x|| = max−1≤t≤1 |x(t)| утворюють пiдпростiр простору

C[−1,1]?

(a)Монотоннi функцi¨ ;

(b)Парнi функцi¨ ;

(c)Многочлени;

(d)Неперервнi кусково-лiнiйнi функцi¨ ;

(e)Неперервно диференцiйованi функцi¨ ;

(f)Функцi¨, для яких x(0) = 0;

Z 1

(g) Функцi¨, для яких x(t)dt = 0.

−1

19.Нехай X, Y банаховi простори. Доведiть, що декартiв добуток X × Y вiдносно норм

q

a) max {||x||X , ||y||Y } , b) ||x||X + ||y||Y , c) ||x||2X + ||y||2Y ,

x X, y Y ¹ банаховим простором.

20.Доведiть, що кожний скiнченновимiрний лiнiйний нормований простiр ¹ банаховим.

21.В просторi C[0;1] побудуйте послiдовнiсть непорожнiх вкладених замкнених опуклих обмежених множин, якi мають порожнiй перетин.

22.Нехай A, B X ¹ опуклими множинами. Якi з множин, що наведенi нижче, також опуклi:

a) A B, b) A ∩ B, c) A + B = {a + b : a A, b B}?

42

23. Доведiть, що вiдкрита куля

B(x0, r) = {x X : ||x0 − x|| < r}

¹ вiдкритою опуклою множиною; замкнена куля

B(x0, r) = {x X : ||x0 − x|| ≤ r}

¹ замкненою опуклою множиною. Що можна сказати про сферу

S(x0, r) = {x X : ||x0 − x|| = r}?

24. Доведiть, що многочлени Лежандра

P0	(t)) = 1, Pm(t) = 2mm!				dtm			, m = 1, 2, ..., n
	1		dm		(t2 − 1)m

утворюють базис у сукупностi Pn усiх многочленiв вiд однi¹i змiнноi степеня не вище за n.

25. Доведiть, що многочлени Чебишева

1

T0(t) = 1, Tm(t) = 2m−1 cos(m arccos t),

|t| ≤ 1, m = 1, 2, ..., n,

утворюють базис у сукупностi Pn усiх многочленiв вiд однi¹i змiнноi степеня не вище за n.

4.3Вправи на тему Еквiвалентнi норми

1.Доведiть, що двi норми, визначенi на одному лiнiйному просторi, еквiвалентнi тодi й тiльки тодi, коли iз збiжностi послiдовностi за однею з цих норм виплива¹ збiжнiсть послiдовностi за другою нормою.

2.Покажiть, що в просторi R2 = {x : x = (x1, x2), x1 R, x2

R} норми

||x||1 = |x1| +	1	|x2| i ||x||2	= p|x1|2 + |x2|2
	2

еквiвалентнi.

43

3.Доведiть, що в лiнiйному просторi неперервно диференцiйовних на [a; b] функцiй , норми

i

еквiвалентнi.

x

= max

|

x(t)

|

+ max

|

x0

(t)

|

|| ||1

a

t b

a

t b

≤ ≤

≤ ≤

x

||2

= x(a)

|

+ max

x0

(t)

|

||

|

a t

b

|

≤ ≤

4.Чи будуть еквiвалентними на лiнiйному просторi неперервних на [a, b] функцiй норми

||x||1

= 0≤t≤1 |

|

|| ||2

1

|

|

x(t)

Z0

dt?

max

i

x

=

x(t)

5. Доведiть, що

1

в лiнiйному

просторi C[a;b]

норма ||x||1 =1

n ρ(t)

o

[a; b]

ρ(t)

n

α > 0 t [a; bo].

ab |x(t)|2dt

2

еквiвалентна нормi ||x||2 =

ab

|x(t)|2ρ(t)dt

2 ,

R

≥R

äå

неперервна на

функцiя i

6.Доведiть, що в скiнченновимiрному просторi будь-якi двi норми еквiвалентнi.

7.Нехай X, Y лiнiйнi нормованi простори. Доведiть, що вирази

q

a) max {||x||X , ||y||Y } , b) ||x||X + ||y||Y , c) ||x||2X + ||y||2Y ,

x X, y Y визначають еквiвалентнi норми в просторi

X× Y .

4.4Фактор-простiр

Означення 1. Нехай X лiнiйний нормований простiр над

полем P , à L деякий його пiдпростiр. Вiднесемо x1 òà x2 ç X до одного класу сумiжностi, якщо x2 − x1 L. Легко перевiрити, що кожний елемент x X вiдноситься до одного i тiльки одного

класу сумiжностi. Клас сумiжностi будемо позначати xe.

44

На множинi класiв сумiжностi введено структуру лiнiйного простору. Так, для α P i класiв сумiжностi xe i ye, ÿêùî x öå

будь-який елемент з xe, à y будь-який елемент з xe, то означимо αxe клас, до якого належить елемент αx, à xe+ ye клас, до якого

належить елемент x+y. Множина класiв сумiжностi зi вказаними

операцiями множення на скаляр та додавання утворю¹ лiнiйний простiр, який назива¹ться фактор-простором i познача¹ться через

X/L. В просторi X/L вводиться норма

||xe||X/L = x x || ||X

.

inf

x

Легко бачити, що

e

i

xe = x + L, αxe = αx + L, xe + ye = x + y + L

||x||X/L = ||x + L||X/L

= ξ L

||

x + ξ

||X

.

Приклад

e

inf

C[0;1] ïî ïiä-

1. Побудуйте фактор-простiр простору

простору

: x

4

= x

4

= 0 .

L = x(t) C[0;1]

1

3

Визначте розмiрнiсть фактор-простору C[0;1]/L. Обчислите норму

елемента iз фактор-простору C[0;1]/L, якому належить функцiя

x0(t) = 1 − t2, t [0; 1].

Розв'язок. Елементи x1(t), x2(t) ç C[0;1] входять до класу сумiжностi x˜, якщо ¨х рiзниця x1(t) −x2(t) належить пiдпростору

L. В даному випадку це означа¹, що значення функцiй x1(t), x2(t) в точках 1 3

4 и 4 збiгаються. Таким чином, з кожним класом сумiжностi x˜ можна пов'язати пару чисел a, b, що вiдповiдають значен-

ням функцiй з x˜ в точках 1		3
	4	è 4 .
	Навпаки, з будь-якими числами a,					b можна зв'язати клас
сумiжностi x˜ неперервних функцiй, якi приймають в точках									1
i 3	вiдповiдно значення a i b, тобто								4
4						= a, x		= b.
	x x˜ ÿêùî x C[0;1]	i x		4			4
				1			3

45

Ми встановили вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж точками простору R2 та елементами фактор-простору C[0;1]/L ùî ¹ içî-

морфiзмом. Це означа¹, що вимiрнiсть фактор-простору C[0;1]/L

äîðiâíþ¹ äâîì.

Знайдемо норму елемента

= a, x

= b .

x˜ab = x C[0;1]

: x

4

4

1

3

Îñêiëüêè

|| ab

||X/L

=

x

x˜ab ||x||,

x˜

inf

à äëÿ x x˜ab

4 4

||x|| = 0≤t≤1 |

| ≥

{| | | |}

max x(t)

max

x

1

,

x

3

= max a , b ,

òî

||x˜ab||X/L ≥ max{|a|,

|b|}.

З iншого боку, завжди знайдеться неперервна функцiя, наприклад ламана,

яка задовольня¹ умовам

	4			4		2) ||x|| = 0≤t≤1 |		| ≤	{| | | |}
1) x	1		= a, x	3	= b,	max	x(t)	=	a , b .
Îòæå, ||x˜ab||X/L = max{|a|,						|b|}.

46

Обчислимо норму класу сумiжностi з фактор-простору C[0;1]/L, якому належить функцiя x0(t) = 1 − t2, t [0; 1]. Îñêiëü-

êè, x ( 1 ) = 15		, x	0	( 3 ) =			7
						16 , òî
0 4	16			4
		x0	x˜		16	16		i	||x˜	16 16		||X/L =	15
													16 .
					15	7				15 7

4.5Вправи

1.Побудуйте фактор-простiр простору C[0;1] по пiдпростору

L = x(t) C[0;1]	: x		4		= x		4		= 0 .
			1				3

Визначте вимiрнiсть C[0;1]/L. Обчислiть норму елемента з C[0;1]/L, якому належить функцiя x(t) = 1 − t2.

2. Побудуйте фактор-простiр простору C[0;1] по пiдпростору

L = x(t) C[0;1]	: x(0) = x		2		= x(1) = 0 .
			1

Визначте вимiрнiсть C[0;1]/L. Обчислiть норму елемента з C[0;1]/L, якому належить функцiя x(t) = sin t.

3. Побудуйте фактор-простiр простору l2 по пiдпростору L =

{x = (x1, x2, ...) l2			: x1	= x5 =	0}. Обчислiть нор-
му елемента з l2/L,			якому	належить	ïîñëiäîâíiñòü x =
1, 21 , 41 , ...,	1	, ... .
	2n−1

4. Побудуйте фактор-простiр простору l∞ по пiдпростору

L = {x = (x1, x2, ...) l∞ : x2n−1 = 0, n N}.

Обчислiть норму елемента з l∞/L, якому належить послi-

äîâíiñòü x = 1, 12 , 13 , ..., n1 , ... .

5. Побудуйте фактор-простiр простору l1 по пiдпростору

L = {x = (x1, x2, ...) l1 : x4 = x5 = x6 = ... = 0}.

Обчислiть норму елемента з l1/L, якому належить послiдов-

íiñòü x = (1, 2, 3, 0, 0, ..., 0, ...).

47

Означення 2.

äëÿ будь-якого

òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

α C;

X задано внутрiшнiй (ска-

6.Нехай X це лiнiйний банахiв простiр i L його пiдпростiр. Доведiть, що фактор-простiр X/L ¹ банаховим простором.

5Гiльбертовi простори

5.1Основнi означення

Означення 1. ßêùî êîæíié ïàði x, y елементiв лiнiйного простору X над полем дiйсних чисел поставлено у вiдповiднiсть дiйсне число (x, y), яке ма¹ наступнi властивостi:

1) (x, y) = (y, x);
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);	α R;
3) (αx, y) = α(x, y) äëÿ будь-якого
4) (x, x) ≥ 0, причому (x, x) = 0	òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
x = 0,

то говорять, що на лiнiйному просторi лярний) добуток векторiв x i y.

Дiйсний лiнiйний простiр X iз заданим на ньому внутрiшнiм

добутком назива¹ться евклiдовим простором.

У випадку лiнiйного простору над полем комплексних чисел усi цi аксiоми не можуть одночасно виконуватися тому деякi з них

змiнюють. Так, лiнiйний простiр X над полем комплексних чисел назива¹ться унiтарним простором, якщо кожнiй парi елементiв x, y X поставлено у вiдповiднiсть комплексне число (x, y), яке задовольня¹ аêñiîìàì:

1) (x, y) = (y, x);

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 3) (αx, y) = α(x, y)

4) (x, x) ≥ 0, причому (x, x) = 0

x= 0.

Âлiнiйному просторi з внутрiшнiм добутком норма вектора x визнача¹ться рiвнiстю

p

||x|| = (x, x).

Лiнiйний нескiнченновимiрний прîñòið ç âíó-

p

трiшнiм добутком, повний вiдносно норми ||x|| = (x, x), назива¹ться гiльбертовим простором.

48

Означення 3. Кутом мiж ненульовими елементами x, y дiйсного гiльбертового простору назива¹ться кут ϕ, величина якого знаходиться мiж 0 i π i такий, що

(x, y) cos ϕ = ||x|| · ||y||.

Означення 4. Елементи гiльбертового простору H називаються ортогональними, якщо (x, y) = 0. Це позначають так: x y. Множина z H таких елементiв, що z x для будь-якого x M H, назива¹ться ортогональним доповненням множини M i познача¹ться M .

Теорема 1 (Про проекцiю). Нехай H гiльбертовий простiр i M його замкнений пiдпростiр. Тодi áóäü-ÿêèé вектор x H ìîæå

бути однозначно.				представлений у виглядi x = y + z, äå y M, à
z		M
		Означення 5. Система елементiв h1, h2, ..., hn, ... гiльберто-
вого простору H назива¹ться ортогональною, якщо									hi 6= 0, i =
1, 2, ..., òà				(hi, hj) =			1, i = j;
							0, i 6= j.
		Приклад 1. Доведiть рiвнiсть паралелограма
		||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 .
		Ðîçâ'ÿçîê.	2Äiéñíî, çà		означенням норми,			||x|| = p(x, x)			i òîìó
					2
		||x + y||	+ ||x − y||			= (x + y, x + y) + (x − y, x − y) =

=(x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) + (x, x) − (x, y) − (y, x) + (y, y) =

=2 ||x||2 + ||y||2 .

Це спiввiдношення ¹ узагальненням того геометричного факту, що сума квадратiв дiагоналей паралелограма дорiвню¹ сумi квадратiв його сторiн.

Зауваження. Нехай X лiнiйний нормований простiр. Якщо для будь-яких елементiв x, y X викону¹ться рiвнiсть паралелограма, то в лiнiйному просторi X можна визначити скалярний

49

добуток, узгоджений з нормою в X, за формулою

	(x, y) =	||x + y| − ||x − y||
			4
в дiйсному випадку i
(x, y) =	||x + y|| − ||x − y||		+ i	||x + iy|| − ||x − iy||
				4
	4

в комплексному випадку.

Приклад 2. Доведiть, що в простiрi C[0;1] не можна ввести

скалярний добутк згiдний з нормою ||x|| = max0≤t≤1 |x(t)|. Розв'язок. Для доведення достатньо знайти два елементи, для

яких не викону¹ться рiвнiсть паралелограма. Покладемо x(t) ≡

1, y(t) ≡ t. Òîäi ||x|| = ||y|| = 1, ||x − y|| = 1, ||x + y|| = 2.

Очевидно, рiвнiсть паралелограма для даних елементiв не ви- кону¹ться. Отже, простiр C[0;1] не ¹ евклiдовим вiдносно норми

||x|| = max0≤t≤1 |x(t)|.

5.2Вправи

1.Доведiть, що наведенi нижче простори ¹ гiльбертовими

(a)L2[a,b] зi скалярним добутком (x, y) = Rab x(t)y(t)dt;

(b)	l2	зi скалярним добутком	∞	.
			(x, y) = Pk=1 xkyk

2.Доведiть, що якщо xn → x, yn → y за нормою, яка породжена внутрiшнiм добутком, то

lim (xn, yn) = (x, y) .

n→∞

3.Доведiть, що в простiрi l1 не можна ввести скалярний добутк згiдний з нормою цього простору.

4.В лiнiйному просторi C[a;b] неперервних на [a; b] функцiй

покладемо

Z b

(x, y) =

x(t)y(t)dt.

a

Чи ¹ цей простiр гiльбертовим?

50