Funk_metoda_part_1

ма¹ ¹диний розв'язок. Це рiвняння еквiвалентне задачi Кошi

ϕ0(x) = ϕ(x), ϕ(0) = 0,

яка також ма¹ ¹диний розв'язок ϕ(x) ≡ 0.

Приклад 3. Нехай дiйсна функцiя ϕ(x, y) äâîõ çìiííèõ íåïå-

рервна i ма¹ неперервну похiдну ϕy0						â ñìóçi
	P = (x, y) R2 : a ≤ x ≤ b, −∞ < y < +∞ .
Доведiть, що якщо
	0 < m ≤ ϕy0 (x, y) ≤ M < ∞, (x, y) P,
òî iñíó¹	¹дина неперервна на			[a; b] функцiя f(x),					äëÿ ÿêî¨
ϕ(x, f(x)) ≡ 0.
Розв'язок. Розглянемо вiдображення
	2
	(Ag) (x) = g(x) −				ϕ(x, g(x)), g C[a;b].
		m + M
За теоремою Лагранжа
	|(Ag1) (x) − (Ag2) (x)| =
= g1(x) − g2(x) − M + m [ϕ(x, g1(x)) − ϕ(x, g2(x))] =
	2
	= |g1(x) − g2(x)| 1 −					2		ϕy0 (x, θ(x)) ≤
				M + m

≤M − m max |g1(x) − g2(x)| .

M + m a≤x≤b

Îñêiëüêè M−m < 1, то це вiдображення стиску, i тому рiвняння

M+m

Af = f, f C[a;b]

ма¹ ¹диний розв'язок. Лишилося переконатися в тому, що останн¹ рiвняння рiвносильне рiвнянню ϕ(x, f(x)) ≡ 0.

21

Приклад 4. Доведiть, що вiдображення

(Aϕ) (x) = 2		Z0	1	xyϕ(y)dy + 6 x
	1			5

¹ стискуючим в просторi C[0;1]. Знайдiть його нерухому точку. Розв'язок. Для будь-яких неперервних на [0; 1] функцiй ϕ1, ϕ2

i будь-якого x [0; 1] ìà¹ìî

|(Aϕ1) (x) − (Aϕ2) (x)| = 2											0	1				(y)] dy			≤
												xy [ϕ1(y) − ϕ2
								1		Z
	1											1		1
≤			· 0≤x≤1 |	1		−	2				| Z0		≤			1	2
	2													4
			max	ϕ	(x)		ϕ	(x)				xydy			ρ(ϕ		, ϕ	).

Çâiäñè

1

ρ(Aϕ1, Aϕ2) ≤ 4 ρ(ϕ1, ϕ2), ϕ1, ϕ2 C[0;1].

Останн¹ означа¹, що A стискуюче вiдображення.

Нерухому точку знайдемо методом послiдовних наближень. Покладемо ϕ1(x) ≡ 0, òîäi

ϕ2(x) = 56 x,

ϕ3(x) = 56 + 652 x,

ϕ4(x) = 56 + 652 + 653 x,

........................

ϕn(x) = 56 + 652 + ... + 6n5−1

x.

Переходячи до границi, знайдемо шукану функцiю

ϕ0(x) = lim ϕn(x) = x, x [0; 1].

n→∞

2.2Вправи

1.Доведiть, що перетворення

A(x, y) = (x + 1, y + 3), (x, y) R2

R2 â R2 не ¹ вiдображенням стиску.

22

2.	Доведiть, що перетворення R2 â R2
	A(x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ),
	äå (x, y) R2, ϕ R, ма¹ нерухому точку, але не ¹ вiдобра-
	женням стиску.	Z t
3.	Нехай
	(Ax) (t) =	a	x(τ)dτ, x C[a;b]

вiдображення C[a;b] â C[a;b]. Визначити нерухомi точки вiдображення A. ×è ¹ A перетворенням стиску?

4.Доведiть, що вiдображення стиску простору X в себе ¹ рiвномiрно неперервним на X.

5.Нехай функцiя f(x) диференцiйовна на [a; b]. Доведiть, що f

¹ перетворенням стиску [a; b] â [a; b] тодi й тiльки тодi, коли iсну¹ така стала α, ùî supa≤x≤b |f0(x)| ≤ α < 1.

6.Нехай вiдображення A метричного простору X â X задовольня¹ умовi

	ρ(Ax, Ay) < ρ(x, y), x, y X.
	Чи завжди це вiдображення ма¹ нерухому точку?
7.	Доведiть, що визначена i неперервна на [0; 1] функцiя f(x),
	яка задовольня¹ для всiх x, y [0; 1] óìîâi
	0 < f(x) < 1, |f(x) − f(y)| < |x − y|,
	ма¹ ¹дину нерухому точку.
8.	Доведiть, що вiдображення f(x) =	x2+2	[1; 2] ó
		2x ïðîìiæêó
	себе ¹ стискуючим. Знайдiть його нерухому точку.

9.Нехай f(x) = x + x1 вiдображення промiжку [1; +∞) у себе. Чи ма¹ воно нерухомi точки? Чи ¹ це вiдображення перетворенням стиску?

23

10.Нехай функцiя F (x, y) неперервна разом з частинними по-

хiдними першого порядку в деякому околi точки (x0, y0) i òàêà, ùî F (x0, y0) = 0, Fy0(x0, y0) 6= 0. За допомогою принципу нерухомо¨ точки доведiть, що iсну¹ окiл точки x0, у якому визначена ¹дина неперервно диференцiйовна функцiя y(x),

яка задовольня¹ умовам y(x0) = y0 i F (x, y(x)) ≡ 0.

∞

11. Нехай xi =

Xj

aijxm + ai, i = 1, 2, ...,

äå aij, ai R,

i, j =

=1

1, 2, ..., нескiнченна система алгебраiчних рiвнянь. Доведiть,

ùî

ïðè

∞

òà

P

∞

∞ якого

=

P

0<

1

0

+

α

sup1≤j<∞ i=1 |aij|

0 i=1 |a0i| <

âîíà

ìà¹

¹диний розв'язок

x

=

(x

, x

, ..., x , ...),

äëÿ

i∞=1 |xi0| < +∞,

1

2

n

≤ ∞

à ïðè

виконаннi умов

β =

sup

Pj

|

a

|

< 1, sup

≤ ∞

| |

< +

∞

шуканий ро-

∞

a

çâ'ÿçîê

P

ij

sup1≤i<∞ |xi | < +∞

1

i<

=1

1

i<

0

задовольня¹ нерiвностi:

.

12. Нехай функцiя K(x, y, z) неперервна i задовольня¹ умовам

|K(x, y, z1) − K(x, y, z2)| ≤ µ|z1 − z2|, |K(x, y, z)| ≤ M,

ïðè

a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ b, −c < z, z1, z2 < c,

äå µ i M деякi сталi. Доведiть, що при

|λ| < min		c		,	1
		µ(b	a)		M(b	a)
		−			−

нелiнiйне iнтегральне рiвняння

Z b

ϕ(x) = λ K (x, y, ϕ(y)) dy, |ϕ(x)| < c, x [a; b]

a

ма¹ ¹диний неперервний розв'язок ϕ(x) C[a;b].

13.За допомогою принципу нерухомо¨ точки знайдiть в про- ñòîði C[0;1] розв'язки iнтегральних рiвнянь

a)

x(t) = 1 Z 1 ts2x(s)ds + 1; 2 0

24

Означення 4.

b)

14. Нехай

x(t) = 1 Z 1 et−sx(s)ds + 1.

2 0

A : (x1, x2, ..., xn, ...) → (1, α1x1, α2x2, ..., αnxn, ...)

вiдображення простору l∞ â l∞, äå α = (α1, α2, ..., αn, ...) l∞. Доведiть, що вiдображення A ма¹ нерухому точку тодi i

ëèøå òîäi, êîëè sup1≤n<∞ |αi| < 1.

3Компактнi множини в метричних просторах

3.1Основнi означення

Нехай X метричний простiр i множина E X. Ñiì'ÿ Ω вiдкритих множин назива¹ться вiдкритим покриттям множини X, якщо будь-яка точка x E належить деякiй множинi G Ω.

Означення 1. Множина E назива¹ться компактною, якщо

будь-яке його вiдкрите покриття Ω мiстить скiнченну сiм'ю {Gk}nk=1, яка також покрива¹ множину E.

Означення 2. Пiдмножина E метричного простору X íàçè-

ва¹ться предкомпактною, якщо ¨¨ замикання в X компактно.

Як вiдомо, будь-яка компактна множина ¹ замкненою i обмеженою. Однак iснують замкненi обмеженi множини, якi некомпактнi.

Означення 3. Множина E назива¹ться злiченокомпактною в метричному просторi X, якщо з будь-яко¨ послiдовностi елементiв множини E можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгаеться в X.

Теорема 1. Множина E ¹ злiченокомпактною в метричному

просторi X тодi i тiльки тодi, коли вона предкомпактна в X. Мнжина назива¹ться цiлком обмеженою, якщо

для будь-якого ε цю множину можна покрити скiнченною кiль-

êiñòþ êóëü ðàäióñà ε.

Теорема 2 (Хаусдорфа). Метричний простiр ¹ компактним тодi i тiльки тодi, коли вiн одночасно полний i цiлком обмежений.

25

Наведемо критерi¨ предкомпактностi множин в деяких просторах.

Теорема 3 (Арцела - Асколi). Множина функцiй E C[a;b]

¹предкомпактною в C[a;b] òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âîíà

1.рiвномiрно обмежена;

2.одностайно неперервна.

Як вiдомо, рiвномiрна обмеженiсть множини функцiй E означа¹ iснування тако¨ стало¨ M > 0, ùî

|x(t)| ≤ M, t [a; b], x E.

Одностайна неперервнiсть множини E означа¹, що ε > 0 iñíó¹ δ > 0 òàêå, ùî t1, t2 [a; b], |t1 − t2| < δ, викону¹ться нерiвнiсть

|x(t1) − x(t2)| < ε, x E.

Теорема 4 (Рiсса). Множина функцiй E Lp[a;b], 1 ≤ p < ∞

предкомпактна в Lp[a;b] òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

1.вона обмежена в Lp[a;b];

2.äëÿ будь-якого ε > 0 iñíó¹ δ > 0 òàêå, ùî h, для якого |h| < δ, викону¹ться нерiвнiсть

Z b

|x(t + h) − x(t)|p dt < ε, x E.

a

Тут функцiю x(t) ми вважа¹мо перiодично продовженою на R ç ïåðiîäîì b − a.

Теорема 5. Множина E lp, 1 ≤ p < ∞ предкомпактна в lp òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

1.вона обмежена в lp;

2.Äëÿ будь-якого ε > 0 iсну¹ номер n0 N такий, що для всiх послiдовностей x = (x1, x2, ..., xn, ...) E викону¹ться

íåðiâíiñòü

∞

X

|xk|p < ε.

k=n0

26

Приклад 1. В просторi l2 навести приклад замкнено¨ та об-

межено¨ множини, яка не ¹ компактною.

Розв'язок. Розглянемо в l2 ïîñëiäîâíiñòü {ek}∞k=1, äå ek öå числова послiдовнiсть, всi члени яко¨ дорiвнюють нулю крiм k-го члена, якiй дорiвню¹ 1. Зрозумiло, що послiдовнiвть {ek}∞k=1 ëå-

жить на одиничнiй сферi в просторi l з центром в точцi x =

2 √ 0

(0, 0, ...) i вiдстань мiж будь-якими ¨¨ членами дорiвню¹ 2. Ëåã-

ко помiтити, що будь-яка фундаментальна пiдпослiдовнiсть цi¹¨ послiдовностi, починаючи з деякого номера ¹ стацiонарною, отже

ма¹ границю. Таким чином послiдовнiсть {ek}k∞=1 ¹ обмеженою i
замкненою множиною. Але вона не ¹ компактною множиною, то-
му що iсну¹ таке вiдкрите покриття цi¹¨ послiдовностi, з якого не
можна вилучити скiнченне пiдпокриття. Наприклад, сукупнiсть
		1			∞
перетинаються.	n			o	k=1 утворю¹ покриття, i цi кулi не
вiдкритих куль	B	ek, √2

Тому, якщо з цi¹¨ сукупностi вилучити принаймнi одну кулю, то зрозумiло, що сукупнiсть куль, що залишаться, не будуть покривати послiдовнiсть {ek}∞k=1.

Легко бачити, що побудована множина також да¹ приклад обмежено¨, але не цiлком обмежено¨ множини в l2.

З прикладу 1 виплива¹, що замкнена одинична куля в просторi l2 не ¹ компактною множиною.

Приклад 2. ×è áóäå ïîñëiäîâíiñòü xn(t) = sin(n+ t) предком-

пактною в C[0,1]?

Розв'язок. Для вiдповiдi на це питання залучимо теорему Арцела-Асколi. Очевидно, що для будь-якого n = 1, 2, ... i áóäü-

якого t [0, 1] справедливо |xn(t)| ≤ 1, òîìó öÿ ïîñëiäîâíiñòü

рiвномiрно обмежена.

Перевiремо, чи буде ця послiдовнiсть одностайно неперервною множиною. Для будь-якого ε > 0 iñíó¹ δε = ε таке, що для будьяких t1 i t2 таких, що |t1 − t2| < δ, i буь-якого n = 1, 2, ...

|xn(t1) − xn(t2)| = | sin(n + t1) − sin(n + t2)| =

=

2

·

cos

2n + t1

+ t2

·

sin

t1 − t2

t

−

t

|

< δ = ε.

2

|

2

| ≤ |

1

2

Îäæå ïîñëiäîâíiñòü xn(t) ¹ предкомпактною.

27

3.2Вправи

1.Довести, що кожна компактна множина ¹ сепарабельною.

2.Довести, що будь-яка пiдмножина компактно¨ множини ¹ предкомпактною.

3.В просторах à) l1, b) C[a,b], c) L1[a,b] навести приклади за- мкнених i обмежених множин, що не ¹ компактними.

4.Нехай A замкнена i обмежена множина в повному метричному просторi X. Чи повинен для будь-якого x X в множинi A iснувати елемент найкращого наближення, тобто такий елемент y A, ùî ρ(x, A) = ρ(x, y)?

5.Чи змiниться вiдповiдь в задачi 4, якщо A буде компактною множиною?

6.Нехай A i B замкненi i обмеженi множини в повному метричному просторi X òàêi, ùî A∩B = . Чи виплива¹ звiдси,

ùî ρ(A, B) 6= 0?

7.Чи змiниться вiдповiдь в задачi 6, якщо A i B будуть компактними множинами?

8.Чи будуть предкомпактними в просторi C[0,1] наступнi мно- æèíè:

(a)xn(t) = tn, n N;

(b)xn(t) = sin nt, n N;

(c)xn(t) = sin(t + n), n N;

(d)xα(t) = sin αt, α R;

(e)xα(t) = sin αt, α [1, 2];

(f)xα(t) = arctgαt, α R;

(g)xα(t) = et−α, α R, α ≥ 0;

9.Довести, що будь-яка компактна множина в просторi à)

C[a,b], b) l2 íiäå íå ùiëüíà.

28

10.Довести, що будь-яке неперервне вiдображення, що дi¹ з компактного метричного простору K â R, ма¹ обмежений

образ и досяга¹ на K свого найбiльшого i найменьшого зна- чення.

11.Довести, що будь-яке неперервне вiдображення, що дi¹ з компактного метричного простору K â R, ¹ рiвномiрно неперервним.

12.Довести, що будь-яке неперервне вiдображення компактну множину переводить в компактну множину.

13.Довести, що в l2 "основний паралелепiпед"

P= {x = (x1, x2, ...)| |xk| ≤ 21−k, k = 1, 2, ...}

¹компактною множиною.

4Лiнiйнi нормованi простори

4.1Основнi означення

Означення 1. Множина X назива¹ться лiнiйним (або векторним) простором над полем P , ÿêùî

1.В множинi X введена операцiя додавання, яка кожнiй парi x, y елементiв множини X ставить у вiдповiднiсть однознач- но визначений елемент x + y X, який назива¹ться сумою елементiв x òà y. При цьому

(a)x + y = y + x (комутативнiсть);

(b)x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z X (асоцiативнiсть);

(c)В множинi X iсну¹ нейтральний елемент 0, ÿêèé íàçè-

ва¹ться нулем, такий, що x + 0 = x, x X;

(d)Для кожного x X iсну¹ елемент множини X, який назива¹ться протилежним i познача¹ться −x, такий, що

x + (−x) = 0.

29

2. Означена операцiя множення елементiв X на скаляри поля P , ÿêà êîæíié ïàði x, α, äå x X, α P , ставить у вiдповiднiсть однозначно визначений елемент αx X. При цьому

(a) Äëÿ áóäü-ÿêèõ α, β P i довiльного x X

(αβ)x = α(βx);

(b) Для кожного x X,

1 · x = x,

де 1 одиниця поля P ;

(c) Äëÿ áóäü-ÿêèõ α, β P i довiльного x X

(α + β)x = αx + βx;

(d) Äëÿ áóäü-ÿêèõ x, y X i α P

α(x + y) = αx + αy.

Означення 2. Елементи x1, x2, ..., xn лiнiйного простору X називаються лiнiйно залежними, якщо iснують такi скаляри

λ1, λ2, ..., λn iç ïîëÿ P , íå âñi ðiâíi íóëþ, ùî

λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn = 0.

В протилежному випадку цi елементи називаються лiнiйно незалежними. Iншими словами, вектори x1, x2, ..., xn називаються

лiнiйно незалежними, якщо з рiвностi λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn = 0 виплива¹, що λ1 = λ2 = ... = λn = 0.

Означення 3. Лiнiйний простiр X назива¹ться n вимiрним, якщо в ньому iснують n лiнiйно незалежних векторiв, а будь-яка система з n + 1 векторiв ¹ лiнiйно залежною. Довiльна система з n лiнiйно незалежних векторiв n вимiрного лiнiйного простору X назива¹ться базисом цього простору.

Означення 4. Лiнiйний простiр X назива¹ться нескiнченно-

вимiрним, якщо для будь-якого n N в ньому iсну¹ n лiнiйно незалежних векторiв.

30