Funk_metoda_part_1

Означення 5. Нескiнченна система елементiв x1, x2, ..., xn, ...

лiнiйного простору X називаються лiнiйно незалежною, якщо

будь-яка ¨¨ скiнченна пiдсистема ¹ лiнiйно незалежною. Означення 6. Лiнiйною оболонкою скiнченно¨ або нескiнчен-

но¨ системи E X векторного простору X назива¹ться множина всiх скiнченних лiнiйних комбiнацiй елементiв з E.

Означення 7. Нехай X òà Y лiнiйнi простори над полем P . Вiдображення f : X → Y назива¹ться лiнiйним, якщо

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), x, y X, α, β P.

Означення 8. Лiнiйнi простори X òà Y називаються iзоморф-

ними, якщо iсну¹ лiнiйне вза¹мно однозначне (бi¹ктивне) вiдображення одного з цих просторiв на другий.

Означення 9. Нехай X лiнiйний простiр. Пiдмножина L X назива¹ться пiдпростором, якщо L ¹ лiнiйним простором вiдносно операцiй, введених на X.

Означення 10. Нехай Y òà Z ¹ пiдмножинами лiнiйного простору X. Позначимо через Y + Z множину

Y + Z = {x X : x = y + z, y Y, z Z} .

Множина Y +Z назива¹ться алгебраiчною сумою множин Y òà Z. Якщо для будь-якого x Y +Z зображення x = y+z, y Y, z Z ¹äèíå, òî ñóìà Y + Z назива¹ться прямою i познача¹ться Y Z.

Означення 11. Нехай X дiйсний лiнiйний простiр. Множина A X назива¹ться опуклою, якщо для будь-яких x, y A i будьякого α R ì๠ìiñöå (1 − α)x + αy A.

Означення 12. Лiнiйний простiр X над полем дiйсних чи- сел R (комплексних чисел C) назива¹ться нормованим простором, якщо кожному x X поставлено у вiдповiднiсть невiд'¹мне чис-

ëî ||x||, яке назива¹ться нормою x, так, що виконуються наступнi три аксiоми:

1) ||x|| = 0 òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè x = 0;

2) ||λx|| = |λ| · ||x|| для будь-якого x X i будь-якого дiйсного (комплексного) числа λ;

3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| äëÿ áóäü-ÿêèõ x, y X.

31

Означення 13.

В лiнiйному нормованому просторi вiдстань мiж елементами x òà y визначають формулою

ρ(x, y) = ||x − y||.

Легко бачити, що справедливiсть аксiом метричного простору виплива¹ з аксiом норми. Таким чином, на нормованi простори переносяться всi поняття i факти, якi мають мiсце в метричних просторах.

Означення 14. Повний лiнiйний нормований простiр назива¹ться банаховим.

Означення 15. Нехай в лiнiйному нормованому просторi X заданi двi норми ||x||1 i ||x||2. Норми ||x||1 i ||x||2 називають еквiва- лентними, якщо iснують додатнi сталi c > 0 i C > 0, що для будь-якого x X викону¹ться нерiвнiсть

c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||1.

Приклад 1. Чи ¹ нормою на R вираз ||x|| = | arctg x|.

Ðîçâ'ÿçок. Нi, бо не викону¹ться друга аксiома норми. Вiзьме-

ìî x =

√3, λ = 1

3 . Òîäi

√

√

3

π

à

1

π

||λx|| = arctg

=

,

|λ|||x|| =

arctg

3 =

.

3

6

3

9

Приклад 2. Чи ¹ нормою на Rn вираз

||x|| =

1

,

n |xk|p!p

X

k=1

äå x = (x1, x2, ..., xn) Rn êîëè 0 < p < 1.

Розв'язок. Нi, це не норма. Не викону¹ться третя аксiома норми. Дiйсно, вiзьмемо x = (1, 0, 0, ..., 0), y = (0, 1, 0, ..., 0) Rn.

Зрозумiло, що x 6= y, ||x|| = ||y|| = 1 äëÿ будь-якого p (0 < p < 1) i òîäi ||x|| + ||y|| = 2. З iншого боку,

1 1

||x + y|| = (1 + 1) p = 2 p > 2 = ||x|| + ||y||.

32

Z 1

Приклад 3. Доведiть, що вираз ||x|| = |x(t)|dt визнача¹

0

норму на множинi неперервних на [0; 1] функцiй. З'ясуйте питання про повноту цього простору.

Ðîçâ'ÿçîê. Íåðiâíiñòü ||x|| ≥ 0 виплива¹ з властивостей визна- ченого iнтеграла. Якщо x(t) ≡ 0, то, очевидно, ||x|| = 0. Нехай ||x|| = 0. Нам треба довести, що в цьому випадку x(t) ≡ 0. Припустимо протилежне: t0 [0; 1], |x(t0)| 6= 0. Не обмежуючи загальнiсть, будемо вважати t0 6= 0 i t0 6= 1. Тодi, за властивостями неперервних функцiй, знайдеться таке δ > 0, ùî

|

x(t)

|

>

|x(t0)|

,

t

(t

0 −

δ, t

0

+ δ)

[0; 1].

2

Отже для норми ||x|| ìà¹ìî îöiíêó

1

t0+δ

||x|| = Z0

|x(t)|dt ≥

Zt0−δ

|x(t)|dt ≥ δ|x(t0)| > 0.

З отримано¨ суперечностi виплива¹ тотожнiсть x(t) ≡ 0.

Двi iншi аксiоми норми випливають з властивостей модуля та визначеного iнтеграла.

Перейдемо до питання про повноту простору C[0;1] вiдносно введено¨ норми. Для цього розглянемо послiдовнiсть неперервних функцiй

		1	1,1				ÿêùî
xn(t) =		2n( 2 + 2n				t),	ÿêùî
					−
			0,				ÿêùî

0 ≤ t ≤ 12 ;

12 < t < 12 + 21n ;

12 + 21n ≤ t ≤ 1.

Ця послiдовнiсть фундаментальна, тому що коли m i n прямують до нескiнченностi, то

Z 1

||xn(t) − xm(t)|| = |xn(t) − xm(t)|dt ≤

0

≤ Z

21 +

1

Z

21 +

1

2n

2m

≤

2n 2m

→

2

2

x (t)dt +

x

(t)dt

1

+

1

0.

m

1

n

1

33

Приклад 4. В просторi

Проте, поточечна границя цi¹¨ послiдовностi ¹ розривною функцi¹ю

x0(t) =

( 1, ÿêùî 0 ≤ t ≤ 12 ;

0, ÿêùî 12 < t ≤ 1

з неусувним розривом. Легко переконатися, що коли n пряму¹ до нескiнченостi, то

Z 1

||xn(t) − x0(t)|| = |xn(t) − x0(t)|dt → 0.

0

Припустимо, що iсну¹ неперервна на [0; 1] функцiя x(t), яка вiдносно дано¨ норми ¹ границею цi¹¨ послiдовностi. Оскiльки

||x(t) − x0(t)|| ≤ ||x(t) − xn(t)|| + ||xn(t) − x0(t)|| → 0 (n → ∞),

то неперервна функцiя x(t) виявля¹ться еквiвалентною розрив-

нiй функцi¨ x0(t), яка ма¹ неусувний розрив у точцi t = 12 , ùî неможливо.

C[0;1] побудуйте послiдовнiсть непорожнiх вкладених замкнених опуклих обмежених множин, якi мають порожнiй перетин.

Розв'язок. Нехай En зображена частина площини.

Розглянемо такi множини функцiй:

An = {x C[0;1]| (t, x(t)) En, t [0; 1]}.

Очевидно, що An замкненi множини. Легко перевiрити, що

x, y An, αx + (1 − α)y An, α R, 0 ≤ α ≤ 1,

34

тобто множини An опуклi. Ми отримали послiдовнiсть An âêëà-

дених замкнених опуклих обмежених множин з C[0;1], якi мають порожнiй перетин, тому що не iсну¹ жодно¨ неперервно¨ функцi¨,

яка б належала кожнiй множинi An.

Приклад 5. Доведiть, що в лiнiйному просторi C1

непере-

рвно диференцiйовних функцiй на [a; b], норми

[a;b]

x

= max

x(t) + max

|

x0(t)

|

i

x

= x(a)

|

+ max

x0

(t)

|

|| ||1

a

t

≤

b |

|

a

t

≤

b

|| ||2

|

a t

≤

b

|

≤

≤

≤

¹ ¹квiвалентними.

Розв'язок. Очевидно, що |x(a)| ≤ maxa≤t≤b |x(t)|, i òîìó ||x||2 ≤ ||x||1. З iншого боку,

max

x(t)

|

= max

x(t)

−

x(a) + x(a)

| ≤

a

t

≤

b

|

a

t

≤

b |

≤

≤

max

|

x(t)

−

x(a)

|

+

|

x(a)

.

≤ a

t

≤

b

|

≤

За теоремою Лагранжа iсну¹ ξ [a; b]

òàêå, ùî

x(t)

−

x(a) = x0

(ξ)(t

−

a).

Çâiäñè,

max x(t)

max x0(t)

(t

a) +

x(a)

−

|

| ≤

a t

≤

b |

| ≤ a t b

|

|

≤

≤ ≤

≤

(b

−

a) max x0(t)

|

+

|

x(a)

.

a

t

b |

|

≤ ≤

Äëÿ îöiíêè ||x||1 ìà¹ìî

x

≤ |

x(a)

|

+ (b

−

a) max

|

x0

(t)

|

+ max

|

x0(t)

| ≤

|| ||1

a

t

≤

b

a

t

≤

b

≤

≤

≤ (b − a + 1)||x||2.

Таким чином, викону¹ться нерiвнiсть

||x||2 ≤ ||x||1 ≤ (b − a + 1)||x||2.

Приклад 6. Позначимо через Λα[a;b] множину функцiй, якi за- довольняють умовi Лiпшиця

	sup	|x(t) − x(τ)|	< + .
		|t − τ|α
	a≤t,τ≤b, t6=τ		∞

35

Покажемо, що

çпоказником α (0; 1]. Доведiть, що Λα[a;b] ¹ банаховим простором

çнормою

x

α

= max

x(t)

|

+

sup

|x(t) − x(τ)|

.

|| ||Λ[a;b]

a t b |

≤

≤

6

|

t

−

τ α

≤ ≤

a

t,τ

|

b, t=τ

Розв'язок. Перевiрка аксiом норми не виклика¹ труднощiв.

Доведемо повноту Λα

x

∞

α[a;b]. Нехай послiдовнiсть {

n}n=1 фундамен-

тальна в просторi Λ[a;b]. Тобто ε > 0 n0

N òàêå, ùî n, m > n0,

n, m N викону¹ться нерiвнiсть

||xn − xm|| < ε, n, m > n0.

À îñêiëüêè

max x (t)

x (t)

−

x

n −

x

,

a

t b | n

m

| ≤ ||

m||

≤ ≤

то послiдовнiсть функцiй {xn}∞n=1 фундаментальна в просторi C[a;b]. Як вiдомо, простiр C[a;b] ¹ банаховим вiдносно норми ||x||C[a;b] = maxa≤t≤b |x(t)|, а тому iсну¹ неперервна на [a; b] функцiя x(t) òàêà, ùî

lim max |xn(t) − x(t)| = 0.

n→∞ a≤t≤b

x Λα[a;b]. Дiйсно, з фундаментальностi послiдовностi виплива¹ ¨¨ обмеженiсть. Тобто iсну¹ стала M > 0 òàêà, ùî

||xn||Λα[a;b] ≤ M, n N.

Зокрема,

sup	|xn(t) − xn	(τ)|	≤	M,	n	N	.
	|t − τ|α
a≤t,τ≤b, t6=τ

Çâiäñè ìà¹ìî, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ t, τ [a; b], t 6= τ викону¹ться нерiвнiсть

|xn(t) − xn(τ)| ≤ M, n N.

|t − τ|α

36

Якщо в останнiй нерiвностi перейти до границi, коли n пряму¹ до нескiнченностi, то отрима¹мо:

	sup	|x(t) − x(τ)|	≤	M, n	N	,		t		[a; b], t = τ.
		|t − τ|α
	a≤t,τ≤b, t6=τ									6

Звiдси виплива¹, що гранична функцiя x(t) задовольня¹ умовi

Лiпшиця з показником α.

Лишилося встановити, що послiдовнiсть {xn(t)}∞n=1 çáiãà¹òüñÿ до функцi¨ x(t) за нормою простору Λα[a;b]. З фундаментальностi

{xn}∞n=1 виплива¹, що ε > 0 n0 N òàêå, ùî n, m > n0 викону¹ться нерiвнiсть

	x (ξ)	−	x (ξ)		+	|xn(t) − xm(τ)|	< ε,		ξ, t, τ		[a, b], t = τ.
						|t − τ|α
	| n		m	|							6

Звiдси, переходячи до границi при m → ∞, а потiм, переходячи вiдповiдно до max i sup, отрима¹мо

max x (t)

−

x(t)

|

+

sup

|xn(t) − x(τ)|

≤

ε,

a t b

|

n

≤

≤

6

t

τ α

≤ ≤

t,τ

| −

|

a

b, t=τ

à òîìó limn→∞ ||xn − x||Λα[a;b] = 0.

4.2Вправи на тему Лiнiйнi нормованi простори

1.Перевiрьте, що в наступних просторах виконуються аксiоми лiнiйного простору та аксiоми норми.

(a)Rn простiр з нормою

||x|| =	( n	1	;
		|xk|2)2
	X
	k=1

(b) lp, (p ≥ 1) простiр послiдовностей x = (x1, x2, ...xk, ...), для яких викону¹ться умова P∞ |xk|p < ∞, з нормою

k=1

37

||x|| =	( ∞	1	;
		|xk|p)p
	X
	k=1

(c) l∞ простiр обмежених послiдовностей x = (x1, x2, ...) з нормою

||x|| = sup |xk|;

1≤k<∞

(d) c простiр збiжних послiдовностей x = (x1, x2, ...xk, ...) з нормою

		||x|| =		sup		|xk|;
			1≤k<∞
(e) c0 простiр	çáiæíèõ		äî	нуля послiдовностей x =
(x1, x2, ...xk, ...) з нормою
		||x|| =		sup		|xk|;
			1≤k<∞
(f) C[a;b] простiр неперервних на [a; b]								функцiй з нормою
		||x|| = a		t b |		|	;
			max			x(t)
				≤ ≤
(g) Ck		k-раз неперервно диференцiйованих на
[a;b] простiр
[a; b] функцiй з нормою
			k
		Xi		max x(i)(t) ;
		||x|| =	a t		b	|		|
			=0	≤ ≤

(h) Lp[a;b] (p ≥ 1) простiр вимiрних за Лебегом на [a; b]

функцiй, для яких Rab |x(t)|pdt < ∞, з нормою

||x|| =	( ab	1
		|x(t)|pdt)p .
	Z

38

(i) L∞[a;b] простiр усiх вимiрних за Лебегом на [a; b] ôóíê- öié, äëÿ ÿêèõ infe [a;b], |e|=0 supt [a;b]\e |x(t)| < ∞, äå |e| мiра Лебега множини e, з нормою

||x|| = e [a;b], |e|=0 t [a;b]\e |x(t)|.
inf	sup

Функцi¨ з цього простору називаються суттево обмеженими.

2.Якi з просторiв, що наведенi в задачi 1, ¹ нескiнченновимiрними?

3.Доведiть, що всi простори в задачi 1 ¹ банаховими.

4.Доведiть, що всi простори в задачi 1, крiм (c) та (i), ¹ сепарабельними.

5.Що означа¹ збiжнiсть послiдовностi {xn}∞n=1 в кожному з просторiв, що наведенi в задачi 1?

6.Перевiрьте, що в наступних просторах виконуються аксiоми лiнiйного простору та аксiоми норми. Чи будуть цi простори повними?

(a) Простiр Rn з нормою ||x|| = max1≤k≤n |xk|;

(b) Простiр Rn з нормою ||x|| =			kn=1 |xk|;
(c)	M[a;b] простiр обмежених	P	[a; b]	функцiй з нормою
	||x|| = supa≤t≤b |x(t)|;	íà

(d) Простiр C2([a; b]) неперервних на [a; b] функцiй з нор-

q

ìîþ ||x|| = Rab |x(t)|2dt;

(e)Простiр неперервно диференцiйованих на [a; b] функцiй з нормою ||x|| = maxa≤t≤b |x(t)|.

7.Виявiть, в якому випадку функцiя ||x|| ¹ нормою на вказаному лiнiйному просторi

(a)||x|| = |arcctg x|, x R;

39

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

||x|| = a≤t≤a+2 b |x(t)|, x C[a;b];

max

||x||

= a t b |x(t)|, x

1

;

C[a;b]

max

≤ ≤

x

= max x0(t)

, x

C1

;

|| ||

a t b |

|

[a;b]

≤ ≤

||x|| = Za

b

|

0

(t)|, x C[a;b];

|x(t)|dt + a≤t≤b

max

x

1

x

=

|

x(b)

−

x(a)

|

+ max

|

x0(t) , x

C1

.

|| ||

a

t b

|

[a;b]

≤ ≤

8.Нехай X лiнiйний нормований простiр над полем дiйсних (комплексних) чисел. Доведiть:

(a)ßêùî xn → x, λn → λ, xn X, λn R, òî λnxn → λx;

(b)ßêùî xn → x, òî ||xn|| → ||x||;

(c)ßêùî xn → x, i ||xn − yn|| → ||x − y||, òî yn → y;

(d)ßêùî xn → x, òî ||xn − y|| → ||x − y|| y X;

(e)ßêùî xn → x, yn → y, òî ||xn − yn|| → ||x − y||.

9.Наведiть приклад послiдовностi xn = (xn1 , xn2 , ...xni , ...) xni R, яка б належала кожному простору зi вказано¨ пари i:

(a)збiгалась в l∞ але розбiгалась в l1;

(b)збiгалась в l∞ але розбiгалась в l2;

(c)збiгалась в l2 але розбiгалась в l1;

(d)збiгалась в c але розбiгалась в l1.

10.Порiвняйте мiж собою збiжностi послiдовностi функцiй:

a) поточечну на [a, b];	b) в просторi C[a,b];
c) в просторi L2	d) çà ìiðîþ íà	[a, b].
[a,b];

11.Чи будуть фундаментальними i збiжними в просторi C[0;1] вiдносно норм

||x||1	= 0≤t≤1	|	x(t)	|		||x||2 = Z0	1
							| |	dt,
	max				i		x(t)

40