- •Предмет теории вероятностей
- •Построение вероятностной математической модели случайного явления
- •Случайные события
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Свойства действий над событиями
- •Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)
- •Свойства вероятностей (следствия из аксиом)
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Условная вероятность
- •Свойства условных вероятностей
- •Свойства независимых событий
- •Формула Байеса
- •Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли
- •Обобщение формулы Бернулли. (Полиномиальное распределение)
- •Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли
Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)
Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):
Р(А)³0 , для любого АÎ E или АÎF
Каждому событию А соответствует неотрицательное число – вероятность этого события.
Аксиома №2 (аксиома нормировки):
Р(W)=1.
Вероятность достоверного события равна 1.
Аксиома №3 (аксиома аддитивности):
Если заданы события такие, что при i¹j, то
(*)
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.
Замечание: Функции множеств, обладающие свойством (*) при n< называются аддитивными мерами, а при n= – счетно-аддитивными мерами.
Определение: Вероятность – неотрицательная, нормированная к единице мера, заданная на измеримом пространстве событий, характеризующая степень возможности появления событий.
Соответствие между событиями и их вероятностями называется распределением вероятности.
Таким образом, Р(А), как функция множеств АÎF, (E) определяет распределение вероятностей на F,( E). Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй E (или s-алгеброй F) подмножеств и определенной на E (F) вероятностью Р называется вероятностным пространством.
Обозначение вероятностного пространства: (W,E,Р) или (W,F,Р). Вероятностное пространство определяет вероятностную модель рассматриваемого случайного явления.
Свойства вероятностей (следствия из аксиом)
1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ)=0
Доказательство: Так как невозможное событие Æ несовместно с любым другим событием А, АÆ=Æ, то из аксиомы 3 следует, что Р(АÈÆ)=Р(А)+Р(Æ). С другой стороны, так как АÈÆ=А (добавление невозможного события не изменяет события А), то Р(АÈÆ)=Р(А). Следовательно, Р(Æ)=0.ð
2. Р()=1-Р(А)
Доказательство: Из А+=W, А=Æ и аксиом 2,3 следует:
P(A)+P()=P(W), P()=1-P(A)
3. Если АÌВ, то Р(А)£Р(В)
Доказательство: Разложим В на два несовместных события: В=А+. Получим в силу аксиомы 3: Р(В)=Р(А)+Р(), откуда следует, что Р(В)³Р(А).
Таким образом, если событие А может произойти только вместе с событием В, то вероятность события А не может быть больше вероятности события В.
4. Р(А)£1 для любого А.
Доказательство: Из того, что любое событие А может произойти только с достоверным событием: А=АWÌW, а также из свойства 3 и аксиомы 2 следует Р(А)£Р(W)=1.
5. Теорема сложения вероятностей. Для любых А и В справедливо
Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Доказательство: AÈB=A+B,
P(AÈB)=P(A)+P(B) (1)
C другой стороны, любое событие можно разложить на два несовместных события:
B=AB+B,
P(B)=P(AB)+P(B), откуда
P(B)=P(B)-P(AB).
Подставляя это выражение для Р(В) в (1) получаем:
Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
6. Теорема сложения вероятностей для n событий:
Доказательство: Методом математической индукции. При n=2 теорема доказана. Пусть она верна для (n-1) события; покажем, что при этом она верна для n событий. Обозначим В=, тогда
(2)
В свою очередь для (n-1) событий вида имеем:
(3)
Подставляем (3) в (2) и получаем утверждение теоремы.
7. Если ВÌА, то Р(А-В)=Р(А)-Р(В)
Доказательство:
А=В+(А-В);
Р(А)=Р(В)+Р(А-В); а это влечет:
Р(А-В)=Р(А)-Р(В).
8. Аксиома непрерывности.
Функция множеств Р(А) - непрерывна. Если Аn есть монотонно возрастающая последовательность множеств: A1ÌA2ÌA3...ÌAnÌ... и , , тогда
Доказательство: Согласно определению:
Если А0=Æ
Определение вероятности, как меры измеримого пространства событий, позволяет по заданным (или определенным из эксперимента) вероятностям одних событий находить вероятности других более сложных событий, используя действия над событиями и свойства вероятности. Однако, данное определение не задает конкретную величину вероятности событий. Её можно определить теоретически лишь в некоторых частных случаях, и в общем случае - оценить экспериментально. Рассмотрим частные случаи, в которых вероятности событий можно рассчитать теоретически.