- •Предмет теории вероятностей
- •Построение вероятностной математической модели случайного явления
- •Случайные события
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Свойства действий над событиями
- •Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)
- •Свойства вероятностей (следствия из аксиом)
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Условная вероятность
- •Свойства условных вероятностей
- •Свойства независимых событий
- •Формула Байеса
- •Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли
- •Обобщение формулы Бернулли. (Полиномиальное распределение)
- •Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли
Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли
Наступление события А в испытаниях называют успехом. Исследуем, как изменяется вероятность Рn(m) от числа успехов m. Рассмотрим отношение
(5)
Как следует из (5):
Рn(m+1)>Pn(m), если (n-m)p>(m+1)q, т.е. np-q>m;
Pn(m+1)<Pn(m), если np-q<m;
Pn(m+1)=Pn(m), если np-q=m, т.е. с увеличением m вероятность Pn(m) вначале увеличивается, когда m<np-q, а затем уменьшается, когда m>np-q.
Наибольшая вероятность Pn(m0)= Pn(m0+1), когда m0=np-q. Значения m0 и m0+1 - наивероятнейшее висло успехов в схеме независимых испытаний Бернулли. Если np-q - не целое число, то Pn(m) достигает максимума при [np-q]+1=m0 , где [...] - означает целую часть.
Пример. Каково наивероятнейшее число присутствующих на занятиях студентов из предыдущего примера?
Очевидно, m0=[10*0.9-0.1]+1=9 человек. P10(9)=0.387 - максимальная вероятность.
Обобщение формулы Бернулли. (Полиномиальное распределение)
Если в каждом из n независимых испытаний может произойти одно и только одно из событий A1, A2,..., AL, т.е. пространство элементарных событий k-го испытания есть Wk={A1 A2 ... AL} и вероятность появления события Аi P(Аi)=pi , то вероятность того, что в n испытаниях событие A1 появится m1 раз, событие A2 появится m2 раз и т.д. .. событие AL появится mL раз определяется следующим выражением:
(6)
Формула (6) - полиномиальное распределение вероятностей, причем .
Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли
Несмотря на простоту формулы (1) для подсчета вероятности числа успехов в схеме испытаний Бернулли, непосредственное вычисление по ней связано с большой вычисленной работой. Поэтому были получены формулы, позволяющие рассчитывать приближенно Pn(m) при n®¥. Предельные теоремы определяют поведение вероятности Pn(m) при n®¥.
Теорема 1 (теорема Пуассона)
Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n®¥, а р®0, причем np=l, где l>0 , то вероятность
, (7)
при любых m=0,1,2...
Доказательство
При n®¥: (n-m+1)(n-m+2)... n®nm, , отсюда: ,при n®¥.
Формула (7) является законом распределения Пуассона.
Замечание: Формулой (7) для приближенных расчетов Pn(m) следует пользоваться при n>>1 и p<<1.
Теорема 2 (локальная теорема Муавра-Лапласа):
Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число n®¥ , р - фиксировано, причем р¹0 и р¹1. Тогда для всех x, xÎ(-¥,¥) и справедливо соотношение
(8)
Формула (8) описывает закон распределения Гаусса или нормальное распределение. Эта формула приближенная, наибольшая точность расчетов вероятности обеспечивается при p=q=1/2 и при фиксированных n и m.