- •Предмет теории вероятностей
- •Построение вероятностной математической модели случайного явления
- •Случайные события
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Свойства действий над событиями
- •Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)
- •Свойства вероятностей (следствия из аксиом)
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Условная вероятность
- •Свойства условных вероятностей
- •Свойства независимых событий
- •Формула Байеса
- •Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли
- •Обобщение формулы Бернулли. (Полиномиальное распределение)
- •Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли
Свойства условных вероятностей
Р(В/В)=1
Доказательство: Р(В/В)=
2. P(Æ/B)=0
Доказательство: Р(Æ/В)=
3. Если ВÌА, то Р(А/В)=1
Доказательство: Р(А/В)=
4.Р(А/В)+Р(/В)=1
Доказательство:
5. P(AÈC/B)=P(A/B)+P(C/B)- P(AC/B)
Доказательство: Представим в виде несовместных событий
АÈС=А+С;C=AC+C, тогда
P(АÈС/B)= P(А/B)+ P(С/B) и P(С/B)= P(АС/B)+ P(С/B),
откуда P(АÈС/B)= P(А/B)+ P(С/B)- P(АС/B).
Теорема 1. (Теорема умножения вероятностей)
Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р). На нем определены события А, В такие, что Р(А)>0 и P(B)>0. Тогда вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий и условной вероятности другого при условии, что первое произошло.
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) (2)
Доказательство: По определению условной вероятности:
P(A/B)=P(AB)/P(B) и P(B/A)=P(AB)/P(A), откуда
P(AB)=P(A)P(B/А)=Р(В)Р(А/В).
Замечание: Формула (2) применима и том случае, если одно из событий невозможное, например, Р(А)=0, тогда Р(А/В)=0 и Р(АВ)=0.
Теорема 2: (Обобщение теоремы умножения на n событий).
Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р), на котором определены события А1, А2,..., Аn . Для этих событий Р(Аi)>0.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
P(A1A2...An)= P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1A2...An-1) (3)
Доказательство: Обозначим . ТогдаP(A1A2...An)= P(A1В2). По теореме 1 имеем:
P(A1B2)= P(A1) P(B2/A1)= P(A1) P(A2B3/A1)= P(A1)P(A2/A1)P(B3/A1A2) = = P(A1)P(A2/A1)P(A3B4/A1A2)=...= =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1...An-1)
Независимые события
Определение: Пусть имеется вероятностное пространство (W,F,Р). События А и В (АÎW и ВÎW) называются статистически независимыми, если
P(AB)=P(A)P(B) (1)
(обычно слово «статистически» опускается и говорят, что А и В независимы, если (1) верно)
Свойства независимых событий
1. Если Р(В)>0, то для независимых событий А и В
Р(А/В)=Р(А) (1’)
Доказательство:
Замечание: Иногда определение независимости событий дают на основе (1’). События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.
2. Если А и В независимы, то независимы и и В; А и;и.
Доказательство: Докажем первое утверждение.
P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(B)P(A)=
=P(B)(1-P(A))=P(B)P().
Доказательство второго утверждения аналогично. Докажем третье утверждение.
P()=P()=1-P(AÈB)=1-P(A)-P(B)+P(AB);
P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(AB)
Сравнивая эти равенства, видим, что у них одинаковы правые части, следовательно
Р()=Р()Р()
Пусть А и В1 независимы, А и В2 независимы, причем В1В2=Æ, тогда А и В1+В2 - независимы.
Доказательство:
P(A(В1+В2))=P(AВ1+ AВ2)= P(A)P(В1)+P(A)P(В2)=
=P(A)(P(В1)+P(В2))=P(A)P(В1+В2)
Два несовместных события всегда зависимы, т.к. появление одного исключает появление другого
Если А и В несовместны (АВ=Æ), причем P(А)>0, P(B)>0, то Р(А/В)=Р(В/А)=0.
Доказательство: P(A/B)=
Независимость событий в совокупности: События А1,А2,..., Аn называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:
P(А1А2...Аn)=P(А1)P(А2)...P(Аn)
или короче, пользуясь знаком произведения:
Т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Лекция № 4
Формула полной вероятности.
Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B1, B2,..., Bn, вероятности которых известны Р(Bi), . Событие А может появиться при появлении одного из событийBi, причем условные вероятности Р(А/Bi) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:
(1)
- формула полной вероятности.
Доказательство: Событие А можно представить
А=АW=А()=,
т.к. Bi - несовместны, то АBi - тоже несовместны, поэтому
Р(А)==
Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?
Решение: Обозначим: Bi={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/Bi) зависят от того, как разложены шары:
1) Все шары положены в одну урну
Р(А/B1)=2/4=1/2, Р(А/B2)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4
2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.
Р(А/B1)=1, Р(А/B2)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.
В каждой урне по одному белому и одному черному шару.
Р(А/B1)=Р(А/B2)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2
В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.
Р(А/B1)=0, Р(А/B2)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3
В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные
Р(А/B1)=1, Р(А/B2)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3
Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.