Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

Вопрос о международных нормах на допустимое количество ошибок для различных систем передачи находится в стадии изучения. Однако уже сейчас ясно, что речь может идти о вероятности иска-

жения одного элемента порядка 10 5 10 9 . Для обеспечения высокой достоверности применяются системы передачи данных, использующие специальные методы кодирования, и виды модуляции, обеспечивающие максимальную помехоустойчивость.

Итак, задачей системы связи является передача сообщения о каком-либо событии на расстоянии. Расстояние разделяет отправителя и адресата, датчик команд и исполнительное устройство, исследуемый процесс и измерительный механизм, источник излучения и регистрирующий прибор, различные блоки ЭВМ – словом, источник и потребителя информации.

Расстояние, на которое передается сигнал, может быть очень незначительным (передача команд в ЭВМ от одного блока к другому) или огромным (космическая связь). Передача сообщений осуществляется с помощью проводных, кабельных, волноводных линий или в свободном пространстве. Естественно, что для передачи сигналов целесообразно использовать те физические процессы, которые имеют свойство перемещаться в пространстве без существенного затухания. К числу таких процессов относятся применяемые в радиотехнике и радиолокации, например, электромагнитные колебания – радиоволны.

Рассмотрим общую схему системы передачи информации,

которая в зависимости от характеристик пары источник – потребитель может претерпевать существенные изменения (рис. 2).

Источник информации представляет собой некоторый физический процесс. Физическому процессу необходимо поставить в соответствие эквивалентный электрический сигнал.

Целью кодирования, как правило, является согласование источника информации с каналом связи, обеспечивающее либо максимально возможную скорость передачи информации, либо заданную помехоустойчивость.

Под сигналом понимается изменяющаяся физическая величина, отображающая физический процесс. Другими словами сигнал – это материальный переносчик информации.

Физическая среда, по которой происходит передача сигналов от передатчика к приемнику, называется линией связи.

11

Физический

Полезный

процесс

сигнал

Источник

Кодирующее

x(t)

информации

устройство

Канал связи

Модулятор

Передатчик

Источник

помех

Несущая

s(t, a)

Линия связи

Сигнал

Приемник

Демодулятор

s{t, a[x(t)]}

Декодирующее Потребитель устройство информации

Рис. 2. Общая схема передачи информации

Для передачи исследуемого физического процесса необходимо применять тот переносчик, который способен эффективно распространяться по используемой в системе линии связи. Например, по проводной линии связи наиболее легко проходят постоянный ток и переменные токи невысоких частот (не более нескольких десятков килогерц). По радиолинии эффективно распространяются только электромагнитные колебания высоких частот (до десятков тысяч мегагерц).

Процесс модуляции заключается в том, что высокочастотное колебание s(t, a) , способное распространяться на большие рас-

стояния, наделяются признаками, характеризующими полезное колебание x(t) . Таким образом, s{t, a[x(t)]} используется как

переносчик сообщения, подлежащего передаче. Для этого один или несколько параметров высокочастотного колебания изменяются по закону, совпадающему с законом изменения передаваемого сообщения (рис. 3). В зависимости от материальных носителей и изменяемых параметров различают основные виды модуляции.

12

Обратное преобразование электромагнитных колебаний в исходный сигнал, осуществляемое на приемной стороне, называется

демодуляцией.

x(t)

а)

t s(t, a)

б)

t

s{t, a[x(t)]}

в)

t

Рис. 3. Пример амплитудной модуляции:

а – полезный сигнал; б – несущая частота; в – модулированный сигнал

Модулятор, выполняя функции генератора несущей частоты, начинает процесс преобразования полезного сигнала в высокочастотный сигнал. Передатчик завершает процесс преобразования, например, выполняя усилительные функции. Приемник, демодулятор и декодирующее устройство реализуют процесс восстановления сформированного источником физического процесса по принятому сигналу.

Для пары источник излучения – регистрирующий прибор схема передачи информации может вырождаться в набор технических средств и сигналов, представленных на рис. 4.

Входной сигнал s(t) подвергается сначала дискретизации по времени с помощью электронного ключа (ЭК), работающего с

13

шагом T . Дискретизированный сигнал s1 (t) имеет вид последовательности равноотстоящих коротких импульсов, являющихся отсчетами сигнала s(t) . Каждый из отсчетов запоминается в интег-

рирующей RC-цепи на время, необходимое для срабатывания ана- лого-цифрового преобразователя (АЦП). В результате, на выходе

RC-цепи получается ступенчатое колебание s2 (t) .

Источник	T
излучения		RC-цепь
s(t) x(t) (t)	ЭК s (t)	s2 (t)
	1

Регистрирующий

АЦП

ЦФ

ЦАП

СФ

прибор

s3 (t)

s4 (t)

s1 (t)

s2 (t)

(s)t

x(t)

t

t

t

s3 (t)

s4 (t)

t

t

Рис. 4. Схема передачи информации для пары источник излучения – регистрирующий прибор

В АЦП каждый отсчет квантуется по уровню и преобразуется в кодовое слово. Последовательность кодовых слов обрабатывается в цифровом фильтре (ЦФ). Цифро-аналоговый преобразователь

14

(ЦАП) осуществляет суммирование эталонных напряжений ( s3 (t) ), соответствующих каждому из разрядов.

Наконец, синтезирующий фильтр (СФ) формирует выходной сигнал s4 (t) максимально похожий на x(t) .

Применяемые в современной технике связи сигналы можно разделить на классы, приведенные на рис. 5.

x(t)

а)

x(t)

б)

x(t)

в)

x(t)

г)

– сигналы, произвольные по величине и непрерывные по времени;

t

– сигналы, произвольные по величине и дискретные по времени;

t

– сигналы, квантованные по величине и непрерывные по времени;

t

– сигналы, квантованные по величине и дискретные по времени.

t

Рис. 5. Классы сигналов:

а– континуальный; б – дискретный; в – квантованный; г – цифровой

Вдальнейшем термин «дискретный» будет применяться только по отношению к дискретизации по времени. Дискретность же по уровню будет обозначаться термином «квантование».

15

Каждому из этих классов сигналов можно поставить в соответствие аналоговую, дискретную или цифровую цепи (рис. 6).

Аналоговая цепь

Дискретизация

Дискретная

Восстановление

по времени

цепь

по времени

Цифровая

АЦП

ЦАП

цепь

Цифовой

сигнал

Дискретный

сигнал

Аналоговый

сигнал

Рис. 6. Классификация электрических цепей

Следует отметить, что в настоящее время цифровая обработка сигналов получает все более широкое применение, что связано не только с ее универсальностью, точностью, но и с возможностями достижений микроэлектроники.

Как отмечалось, сигнал – изменяющаяся физическая величина, обеспечивающая передачу информации по линии связи. В технических системах используются в большинстве случаев электрические сигналы.

Все многообразие сигналов можно по своим особенностям разделить на две группы: детерминированные и случайные сигналы. Детерминированные сигналы характеризуются тем, что в любые моменты времени их значения являются известными величинами, а случайные – тем, что их значения в любые моменты времени – случайные величины.

Деление сигналов на детерминированные и случайные условно, так как детерминированных сигналов в точном их понимании в

16

природе нет. На практике нельзя точно предсказать значение сигнала в любые моменты времени, в противном случае сигнал не нес бы полезной информации. Кроме того, любой реальный сигнал случаен в силу воздействия на него многочисленных случайных факторов.

Несмотря на это, исследование детерминированных сигналов весьма важно, так как выводы, полученные в результате анализа математических моделей именно таких сигналов, во многих случаях можно использовать для исследования и анализа случайных сигналов.

Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические. В реальных условиях периодические сигналы не существуют, так как идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, в то время как всякий реальный сигнал имеет начало и конец. Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пренебречь и для его анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.

Предлагаемое учебное пособие представляет собой единую научную дисциплину, основу которой составляют теория сигналов, теория случайных процессов, теория информации и теория помехоустойчивого кодирования.

17

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Периодическим называется любой сигнал (рис. 1.1), для которого выполняется условие x(t) x(t kT ) , где период T является

конечным отрезком, а k – любое целое число ( k 0, 1, 2,...).

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание (рис. 1.2), определяемое законом

x(t) Acos(	2	t ) Acos( t ),	t ,
	T

где A,T , и – постоянные амплитуда, период, угловая частота

и начальная фаза колебания.

x(t)

t

T

Рис. 1.1. Произвольный периодический сигнал

x(t)
0		2
		2
	t

T

Рис. 1.2. Гармонический сигнал:

0 – сдвиг в сторону запаздывания; 0 – сдвиг в сторону опережения

18

Любой сложный периодический сигнал, как правило, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами,

кратными основной частоте 2T . Основной характеристикой

сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

1.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПО ЗАДАННОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ

Для техники формирования и обработки сигналов особое значение имеет разложение заданной функции по разным ортогональным системам функций [14]. Напомним основные определения, относящиеся к свойствам ортогональных систем.

Бесконечная система действительных непрерывных функций

0 (x), 1 (x), 2 (x),..., k (x),..., m (x),...
называется ортогональной на отрезке a,b , если
b k (x) m (x)dx 0	при k m .	(1.1)
a
Отрезок a,b , на котором выполняется это условие, называется
интервалом ортогональности.
При этом предполагается, что	b 2k (x)dx 0 , т.е.	никакая из
	a

функций рассматриваемой системы не равна тождественно нулю. Условие (1.1) выражает попарную ортогональность функций.

Величина				k (x)					b k2 (x)dx называется нормой	функции
									a
k (x) .
Функция				k (x) ,					для которой выполняется	условие

b

k (x) 2 2k (x)dx 1 , называется нормированной функцией, а

a

19

система нормированных функций 0 (x), 1 (x), 2 (x),... , в кото-

рой две различные функции взаимно ортогональны, называется

ортонормированной системой.

В математике доказывается, что если функции k (x) непрерыв-

ны, то произвольная кусочно-непрерывная функция, для которой выполняется условие

		f (x)		dx ,	(1.2)
L
может быть представлена в виде ряда
f (x) Ck k (x) C0 0 (x) C1 1 (x) ...					(1.3)

k 0

Интеграл в выражении (1.2) вычисляется по области L определения f (x) .

Умножим обе части уравнения (1.3) на k (x) и проинтегрируем в пределах a,b :

b

f (x) k (x)dx Ck b k2 (x)dx Ck

k

2 .

a

a

Откуда следует важное соотношение

Ck

1

b

f (x) k (x)dx .

(1.4)

k

2

a

Ряд (1.3), в котором коэффициенты Ck определены по формуле (1.4), называется обобщенным рядом Фурье по данной системе

k (x) , а сами Ck – коэффициентами Фурье. Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функции k (x) и при фиксированном числе слагаемых ряда (1.3), он обеспечивает наилучшую аппроксимацию данной функ-

ции f (x) . Это означает,		что среднеквадратическая ошибка, под
которой подразумевается величина
b		N		2
				dx ,
E f (x) ak k (x)
a		k 0
		20