Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

достигает минимума, когда коэффициенты ak Ck . Таким образом,

b

N

b

N

b

Emin f 2

(x)dx 2 Ck f (x) k (x)dx Ck2

2k (x)dx

a

k 0

a

k 0

a

b

N

N

b

N

f 2 (x)dx 2 Ck2

k

2

Ck2

k

2

f 2 (x)dx Ck2

k

2 .

a

k 0

k 0

a

k 0

Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку Emin можно

сделать сколь угодно малой. Условие полноты

b

f 2

(x)dx Ck2

k

2

a

k 0

I (t)

приобретает энергетический смысл. Действительно, если под

подразумевается электрическое колебание (ток), то

t2

Э I 2 (t)dt Ck2

k

2

t1

k 0

есть не что иное, как энергия сигнала в промежутке t2 t1

(при

условии, что сопротивление, в котором выделяется энергия, равно 1 Ом). При этом имеется в виду, что промежуток времени t2 t1 , в

котором определяется энергия, является интервалом ортогональности.

Очевидно, что средняя за время t2 t1 мощность сигнала рав-

на

I 2 (t)

Э

1 Ck2

k

2 .

t

2

t

t

2

t

k

0

1

1

Для

бесконечной

системы

функций

..., m (x),..., k (x),..., 1 (x), 0 (x), 1 (x),..., k (x),..., m (x),...,

принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом:

– условие ортогональности

21

b k (x) *m (x)dx 0	при k m ;
a

– квадрат нормы функции

k (x)

2 b k (x) *k (x)dx b

k (x)

2 dx ;

a

a

– коэффициент Фурье

Ck

1

b

f (x) *k (x)dx ;

k

2

a

– средняя мощность

1

Ck

2

k

2 .

I 2 (t)

t

t

2

k

1

В этих выражениях *k (x) обозначает функцию, комплексносопряженную функции k (x) .

1.2. ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

При разложении периодического колебания x(t) в ряд Фурье в

качестве ортогональной системы берут [3]

1,cos 0t,sin 0t,cos2 0t,sin2 0t,...,cosk 0t,sink 0t,... (1.5)

или

..., e j 2 0t , e j 0t ,1, e j 0t , e j 2 0t ,... .

(1.6)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с перио-

дом T 2 / 0 функции x(t) .

Система функций (1.5) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (1.6) – к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь.

Воспользуемся сначала ортогональной системой (1.6). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме

x(t) Ck e jk 0t .

k

22

Коэффициенты Фурье определяются с помощью формул, при-

T

веденных в предыдущем подразделе ( k 2 2 e jk 0te jk 0t dt T ),

				T
				2
		T
C	1	2	x(t)e jk 0t dt .	(1.7)

TT2

Вэтих выражениях учтено, что функции e jk 0t соответствует ком- плексно-сопряженная функция e jk 0t . Коэффициенты Ck в об-k

щем случае являются комплексными величинами. Подставив в (1.7) e jk 0t cosk 0t j sin k 0t , получим

T

T

1

2

1

2

Ck

T

T

T

T

x(t) cos k 0tdt j

x(t)sin k 0tdt Ckc jCks .

2

2

Часто бывает, что коэффициенты Ck

удобно записывать в

форме Ck

Ck

e j k , где

Ck

Ckc2 Cks2

, k arctg Cks .

Ckc

Модуль

Ck

является функцией четной относительно k , аргу-

мент k – нечетной (последнее вытекает из того, что Ckc является четной, а Cks – нечетной функциями k ).

Общее выражение ряда можно привести к виду

x(t) Ck e j(k 0t k ) .	(1.8)

k

Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (1.8) пару слагаемых, соответствующую

какому-либо

заданному значению

k

, и учтя соотношения

k k ,

C k

Ck

, получим для суммы этих слагаемых

23

C k e j ( k 0t k ) Ck e j (k 0t k ) Ck e j (k 0t k ) e j(k 0t k )

2 Ck cos(k 0t k ).

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (1.8) необходимо записать так:

x(t) C0 2 Ck cos(k 0t k ) .	(1.9)

k 1

Смысл удвоения коэффициентов Фурье Ck в тригонометриче-

ском ряду при k 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы, приведенной на рис. 1.3.

Вещественная функция 2 Ck cos(k 0t k ) получается как сумма проекций на горизонтальную ось ОВ двух векторов длиной Ck , вращающихся с угловой частотой k 0 во взаимно противо-

положных направлениях.

Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, – отрицательной.

После перехода к тригонометрической форме (1.9) понятие ”отрицательная частота” теряет смысл. Коэффициент C0 не удваива-

ется, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет ”дублера”.

k 0

2 Ck cos(k 0t k )

k

О

k )

В

k 0

Рис. 1.3. Векторная диаграмма

24

Вместо выражения (1.9) в технической литературе чаще используется следующая форма записи

x(t)

A0 Ak

cos( k 0t k )

2

k 1

(1.10)

A0

(ak cos k 0t bk sin k 0t) ,

2

k 1

где

A0

–

постоянная

составляющая функции x(t) ;

2

Ak

cos( k 0t k )

–

k-я

гармоническая составляющая;

Ak

, k 0 , k

– амплитуда, частота и начальная фаза k-й гар-

монической составляющей;

0

2

– частота основной гармо-

T

ники (T – период колебаний).

Из сопоставления (1.9) и (1.10) видно, что модуль амплитуды

k-й гармоники

Ak

связан с модулем коэффициента

Ck

соотно-

шениями

A0

A

2

C

k

(

C

0

) .

k

2

Ряд Фурье (1.10) с учетом

свойств периодической

функции

x(t) приобретает еще более простой вид:

x(t) bk sin k 0t

– нечетная функция,

k 1

A0

x(t)

ak cos k 0t

– четная функция.

2

k 1

Коэффициенты

ak

и bk

вычисляются в соответствии с выра-

жениями

2

T / 2

ak 2Ckc

Ak

cos k

x(t) cos(k 0t)dt,

T

T / 2

2

T / 2

bk 2Cks

Ak

sin k

x(t)sin(k 0t)dt

T

T / 2

25

и связаны между собой формулой

A k

a k2 b k2 .

Соответственно комплексная форма ряда Фурье принимает вид

x(t)

1 Ak e jk 0 t 1

Ak

e j ( k 0 t k ) ,

(1.11)

2 k

2 k

где A

a

k

jb

k

A

e j k – комплексная амплитуда гармо-

k

k

нической составляющей частоты k 0 , вычисляемая по формуле

2

T / 2

2

T / 2

2

T / 2

Ak

x(t)e jk 0t dt

x(t)cos(k 0t)dt j

x(t)sin(k 0t)dt ;

T

T

T

T / 2

T / 2

T / 2

k

arctg

bk

–

начальная

фаза, определяемая на интервале

ak

A

1

T / 2

[ , ];

0

x(t)dt –

постоянная составляющая.

2

T

T / 2

Совокупность модулей амплитуд и соответствующих частот гармоник называют спектром амплитуд – Ak ( ) , совокупность

начальных фаз и соответствующих частот гармоник – спектром фаз k ( ) .

Спектр амплитуд и спектр фаз однозначно определяют сигнал. На рис. 1.4 даны графические изображения спектра амплитуд и спектра фаз гипотетического периодического сигнала.

Ak ( )					A1		A3							k ( )
	A0
2												A5				3	5
															1
				0 0		2 0	3 0				4 0		5 0		0	2 0 3 0 4 0 5 0
													0

Рис. 1.4. Спектральные характеристики периодического сигнала

26

Характерной особенностью спектров периодического сигнала является его дискретность. Расстояние между соседними спектральными линиями одинаковое и равно частоте основной гармоники.

1.3. НОСИТЕЛИ ИНФОРМАЦИИ И ВИДЫ МОДУЛЯЦИИ

Нанесение информации на материальный носитель путем изменения одного из параметров физического процесса в соответствии с законом изменения полезного сигнала называется модуляцией. Модулированный материальный носитель можно трактовать как сигнал, параметр которого содержит информацию [5].

Для образования таких сигналов используются (рис. 1.5) фиксированный уровень, колебание и импульсы любой физической природы. В исходном состоянии эти носители представляют собой как бы чистую поверхность, подготовленную к нанесению необходимых данных – модуляции. Последняя заключается в том, что изменяется какой-либо параметр носителя в соответствии с передаваемой информацией. Эти параметры будем называть информационными.

а)

б)

в)

x(t)

x(t)

A

x(t)

A

T

A

код k

t

t

t

Рис. 1.5. Материальные носители:

а – фиксированный уровень; б – колебание; в – импульсы

Первый тип носителя – фиксированный уровень имеет только один информационный параметр – амплитуду A . Модуляция сводится к такому изменению амплитуды, что она в определенном масштабе представляет передаваемые данные.

Второй тип носителя – колебание содержит три параметра: ам-

27

плитуду A , фазу и частоту 2T .

Третий тип носителя – последовательность импульсов представляет еще большие возможности. Здесь параметрами модуля-

ции могут быть: амплитуда A , частота f T1 , длительность им-

пульсов и комбинация импульсов и пауз, определяющая код k . Перечень основных видов модуляции приведен на рис. 1.6.

1.4. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

Амплитудно-модулированный гармонический сигнал можно представить в следующем виде:

x(t) A(t) cos( 0t 0 ) .

Амплитуда такого сигнала изменяется по определенному закону:

A(t) A0 Af (t) A0 [1 mA f (t)] ,

где A0 – постоянная составляющая амплитуд; A – наибольшее изменение амплитуды при модуляции; f (t) – нормированная

функция (изменяющаяся в пределах от –1 до +1); mA A – глу-

A0

бина амплитудной модуляции. Так как модулируемый параметр сигнала является непосредственным переносчиком информации, то

функция f (t) выражает закон изменения во времени передаваемо-

го полезного сигнала.

Амплитудно-модулированный гармонический сигнал как функция времени в общем случае имеет вид

x(t) A0 [1 mA f (t)]cos( 0t 0 ) .

Рассмотрим частный случай, когда функция f (t) изменяется по закону f (t) cos t, 0 (рис. 1.7). Тогда x(t) примет вид x(t) A0 [1 mA cos t]cos( 0t 0 ) A0 cos( 0t 0 )

		A0 mA	cos[( 0 )t 0 ]	A0 mA	cos[( 0 )t 0 ] . (1.12)
		2		2
				28

x(t)

Носитель первого типа:

ПМ – прямая модуляция

x(t)

t

Носитель второго типа:

t

АМ – амплитудная модуляция;

x(t)

ЧМ – частотная модуляция;

t

x(t)

ФМ – фазовая модуляция;

t

x(t)

Носитель третьего типа:

АИМ – амплитудно-импульсная

t

модуляция;

x(t)

t

ЧИМ – частотно-импульсная мо-

x(t)

дуляция ( const );

ВИМ – времяимпульсная модуля-

t

ция (T const );

x(t)

t

КИМ – кодоимпульсная модуля-

ция

Рис. 1.6. Основные виды модуляции

29

x(t)

A0

A0 (1 mA )

A0 (1 mA )

t

Рис. 1.7. Амплитудно-модулированный гармонический сигнал

Как видно из выражения (1.12), спектр сигнала, изображенного на рис. 1.8, состоит из трех гармонических составляющих: несущей

с частотой 0 и двух боковых – нижней с частотой 0 и верхней с частотой 0 . Ширина спектра сигнала 2 .

Ak	A0

	A0 mA									A0 mA
2								2
								0
0					0

Рис. 1.8. Спектр амплитудно-модулированного гармонического сигнала

Если модуляция гармонического сигнала производится по более сложному закону, причем спектр огибающей амплитуды находится

в диапазоне частот от min до max , то можно показать, что в спектре амплитудно-модулированного сигнала вместо двух боковых частот будут две боковые полосы частот (рис. 1.9). Причем нижняя боковая полоса частот будет находиться в пределах0 max 0 min , а верхняя боковая полоса частот – в преде-

лах 0 min 0 max .

30