Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

291

Рис. 2.28. Зависимость величины D от параметра P/F для прямоугольного каскада (L/P=10, q0=1,4)при различных значениях полного числа ступеней n. «Легкую» группу компонентов составляют: 126Xe, 128Xe и 129Xe

4

Эта величина в точности совпадает с величиной суммы ∑cjF . В

j=1

табл. 2.11 приведены максимальные значения функции D при различном числе ступеней в прямоугольном каскаде. Следует отметить, что на рис. 2.28 кривые для N = 41 и N = 61 практически совпадают.

Таблица 2.11. Максимальные значения функции D при различных значениях полного

числа ступеней в прямоугольном каскаде ( FP = 10, q0 = 1,4; l = 4 )

	N		5			11		21		41		61
	Dmax		0,88586			0,964870		0,991783		0,999580		0,999980

Из приведенных результатов следует, что при небольших обогащениях на ступени в каскадах ограниченной длины для заданного значения величины l – числа компонентов, обогащаемых

						l
	P	l		P		∑c jF
						j 1
в отборе, подбором величины		= ∑c jF ,			=	=				можно
	F					m
		j=1	W			∑	c
								jF
						j=l+1

достичь разделения смеси на «легкую» и «тяжелую» группы ( l - число компонентов «легкой» группы, т.е. число компонентов, обогащаемых в отборе). При этом формулы (2.367) и (2.369) позволяют оценивать значения концентраций в потоках отбора и отвала. В частности, в рассматриваемом примере при расчета каскада из пяти ступеней ( N = 5), относительное различие между расчетной концентрацией произвольного промежуточного компонента и значением, полученным по выражению (2.367), не превышает 10-12 отн. %. В работе [48] показано также, чем длиннее каскад, тем меньше влияют на достижение функцией D

292

максимального значения, равного 1, такие факторы, как профиль каскада и номер ступени, на вход которой подают поток питания.

Для иллюстрации в табл. 2.12 для прямоугольного каскада,

предназначенного для разделения изотопов ксенона, ( FL = 10,

q0 = 1,4; l = 4 ;

N = 41) приведены

максимальные

значения

функции D для случаев f = 11, 21, 31.

Таблица 2.12

Значения Dmax при различных величинах f для прямоугольного

каскада при разделении изотопов ксенона

f

11

21

31

Dmax

0,999087

0,999580

0,999137

Рассмотренные закономерности позволяют не только определить оптимальные рабочие параметры каскада заданного профиля, но и оценить требования к точности их поддержания.

2.4.4. Модельные каскады и их свойства

Под модельными каскадами будем понимать каскады, математические модели которых адекватны процессу разделения, но позволяют существенно упростить анализ закономерностей массопереноса в каскаде и соответствующие расчеты. При таком подходе искусственным подбором профиля потока можно добиться наиболее эффективного обогащения целевого компонента.

2.4.4.1.Каскад с постоянными относительными коэффициентами разделения на ступенях («квазиидеальный» каскад)

[1, 4, 49, 50]

Рассмотрим противоточный симметричный каскад, состоящий из N ступеней и предназначенный для разделения m-компонентной смеси. Поток исходной смеси F с концентрациями компонентов

293

ciF (i =1, 2,..., m) подают на вход ступени с номером f. В потоках

отбора P и отвала W, выходящих из ступеней с номерами s = N и s = 1, концентрации компонентов соответственно равны ciP и

ciW (i =1, 2,..., m) .

Рассмотрим случай каскада с постоянными по его длине относительными коэффициентами разделения qik , αik , βik (i = 1, 2,..., m; k-номер «опорного» компонента). Уравнения

коммутации потоков на входе в произвольную s-ую ступень каскада с учетом обозначений (2.5) имеют вид

	Gi′(s −1) +Gi′′(s +1) −Gi (s) +δsf FciF = 0,		i ≠ k	(2.377)
	Gk′(s −1) +Gk′′(s +1) −Gk (s) +δsf FckF		= 0,	(2.378)
где δsf	0,	s ≠ f
	=	s = f
	1,

С учетом соотношений (2.17) – (2.18) уравнения (2.377), (2.378)

приводятся к виду

gi +1

G′(s −1) +

1

G′(s +1) −

G′(s) +δ

Fc

= 0,

i ≠ k,

(2.379)

i

i

i

sf iF

gi

gi

G′(s −1)

+

1

G′(s +1)

−

gk +1

G′(s) +δ

sf

Fc

= 0,

(2.380)

k

gk

k

k

kF

gk

где gi и gk определяются по формулам (2.19) и(2.20).

Уравнения (2.378)-(2.379) представляют собой нелинейные разностные уравнения второго порядка относительно неизвестных

функций Gi′(s) .

Граничные условия имеют вид:
Gi′(0) = Gi′(N +1) = 0, i =1, 2,..., m
		=1, 2,..., m
Gi′(N ) = PciP , i			(2.381)
	= giWciW ,
Gi′(1)		i ≠ k
	= gkWci,W .
Gk′′(1)
	294

Ступени с номерами s =1 и s = N являются крайними ступенями каскада, что делает возможным формально записать

Gi′(0) = Gi′(N +1) = 0 .

Фундаментальное решение (2.378) – (2.379) в случае

постоянства коэффициентов gi и	gk	может быть представлено в
виде
G′(s) = A ωs + B ωs ,				(2.382)
i	i 1	i	2
где ω1(gi ) и ω2 (gi ) –корни характеристических уравнений
ω2 − (gi	+1)ω + gi		= 0 ,	(2.383)
соответственно равные
ω1(gi ) = gi ,				(2.384)
ω2 (gi ) =1,				(2.385)

Ai , Bi –константы.

Используя уравнения баланса (2.287) и граничные условия (2.382), в результате получим:

для отборной части:

Gi′(s) = PciP gig−i 1(1− gis−N −1 ), i ≠ k, s =

PciP = FciF 11−−ggi−i−Nf−1 , i ≠ k

для отвальной части:
g	1(gis −1) ,
Gi′(s) =WciW gi −i		s =1, 2,..., f −1,

WciP = FciF giN +1+− f−−1 .

giN 1 1

f ,..., N

(2.386)

(2.387)

(2.388)

(2.389)

В соотношениях (2.386)-(2.387) и далее величины gi для i ≠ k

определяются соотношениями (2.19), а для i = k формулой (2.20). Из (2.386)-(2.389) можно получить

295

P

m

− f

=

∑cjF

1− g j

,

s

= f ,..., N .

F

1

−N −1

j=1

− g j

W

m

N +1− f

−1

= ∑cjF

g j

,

s =1,..., f −1.

F

N

+1

−1

j=1

g j

1− gi− f

ciP

1− gi−N −1

, i =1, 2,..., m

= ciF

m

− f

∑cjF

1− g j

−N −1

j=1

1− g j

giN +1− f

−1

ciW

= ciF

giN +1 −1

m

N +1− f

−1

, i =1, 2,..., m

∑cjF

g j

N +1

−1

j=1

g j

(2.390)

(2.391)

(2.392)

. (2.393)

Далее с использованием решений (2.386) – (2.389) и соотношений (2.8) – (2.10), (2.17) определяем распределение потока L(s) , концентраций компонентов и коэффициента деления

потоков по ступеням каскада

L(s)

ci (s)

m

g

j

+1

P∑

cjP (1− gsj−N −1 ),

s = f ,..., N,

m

1

+ g j

= ∑G′j (s)

j=1

g j −1

=

m

g j

+1

g j

s

j=1

W ∑

cjW (g j

−1),

s

=1,..., f −1.

g

j

−1

j=1

g j

s−N −1

ciP

(1− g j

)

g j −1

,

s = f ,..., N,

g

+1

m

j

(1− gsj −N −1 )

+ g j

∑

cjP

1

Gi′′(s)

j=1

g j −1

=

=

g j

g

G

(s)

s

j

i

(g j −1)

ciW g j

−1

,

s =1,..., f −1.

m

g j +1

cjW (g sj −1)

∑

g −1

j=1

j

296

(2.394)

(2.395)

m

g j

cjP (1

s−N −1

)

∑

− g j

g j −1

j=1

,

s = f ,..., N,

g

+1

m

m

j

∑G′j (s)

∑

cjP (1

− gsj −N −1 )

θ(s) =

j=1

j=1

g j −1

=

g j

(2.396)

Gi

(s)

m

cjW (gsj −1)

∑

g j

−1

j=1

,

s

=1,..., f −1.

∑ g j +1cjW (g sj −1)

m

j=1

g j

−1

Формулу для расчета суммарного потока в каскаде легко получить, суммируя (2.394) по всем ступеням каскада

N

∑

s=1

L(s)	m	gi		+1 W
	= ∑							ciW ( f ) +ciP (N +1− f ) .	(2.397)
P				−1			P
	i=1	gi

Рассмотренный выше каскад отличается тем, что относительные коэффициенты разделения qik , αik , βik (и, соответственно, срезы

парциальных компонентов ϕi , ϕk и параметры gi , gk ) остаются

постоянными по длине каскада. Для каскадов такого типа в работе [1] введен термин «квазиидеальный» каскад.

Если ввести обозначения

Qi = ln gi ,	(2.398)
SP = N +1− f ,	(2.399)
SW = f ,	(2.400)

то формулы (2.392) и (2.393) переходят в соответствующие соотношения для концевых концентраций Q-каскадов [17].

	1−exp(Qi sW )
ciP =				ciF
	exp(−Q s	P	) −exp(Q s )
	i		i W

i =1, 2,..., m,

	m	1−exp(Qj sW )
	∑		cjF	,(2.401)
		exp(−Qj sP ) −exp(Qj sW )
	j=1

297

	exp(−Qi sP ) −1
ciW =				ciF
	exp(−Q s	P	) −exp(Q s )
	i		i W

i =1, 2,..., m.

	m	exp(−Qj sP ) −1
	∑		cjF	(2.402)
		exp(−Qj sP ) −exp(Qj sW )
	j=1

Другими словами, понятия «Q-каскад», «квазиидеальный» каскад оказываются идентичными с уточнением лишь выбора

параметров gi (или Qi ) для случаев «слабого разделения» и произвольного (немалого) обогащения на ступенях каскада.

При заданных величинах ciF , N, f , qik ,αik , βik формулы (2.386)–

(2.387) позволяют решить задачу расчета "квазиидеального" каскада (Q-каскада или «свободного» каскада с произвольным (немалым) обогащением на ступенях).

Разделительные свойства «квазиидеальных» каскадов идентичны свойствам Q-каскадов: выбор номера «опорного» компонента полностью определяет распределение потока в каскаде и, соответственно, направление обогащений компонентов разделяемой смеси.

2.4.4.2. Квазиидеальный каскад с несмешением относительных концентраций двух заданных компонентов смеси

(R-каскад) [4, 49-52]

Рассмотрим так называемый R-каскад, в котором выполняется несмешение относительных концентраций l-го и k-го компонентов

смеси, т.е. Rnk = cn ck

R′	(s −1) = R (s) = R′′		(s +1)	(2.403)
nk	nk	nk
Вследствие (2.403)	коэффициенты	αnk	и βnk	совпадают для

двух соседних ступеней. При постоянных полных коэффициентах разделения равенство

αnk = βnk = qnk ,

(2.404)

приводит к каскаду со ступенями симметричными относительно пары компонентов с номерами n и k . При этом на всех ступенях каскада αik ≠ βik (i ≠ n) . Так как соотношение (2.20) справедливо

298

для любого i, включая i = n , то, следовательно, учитывая (2.404), имеем

gk =		1			,	(2.405)
			qnk
а учитывая, что gi = qik gk i ≠ k) , получим
gi =		qik		, и		(2.406)
			qnk
в частности,						gn = qnk .

(2.407) Из (2.393) и (2.394) с учетом (2.405), (2.407) непосредственно

получается

N − f +1 =

1

ln

RP

nk

,

ln g

RF

n

nk

f =

1

R F

ln

nk

,

ln gn

RnkW

где

RP

=

cnP

,

RW

=

cnW

,

RF

=

clF

.

nk

ckP

nk

ckW

nk

ckF

(2.408)

(2.409)

Соотношения (2.408) – (2.409) позволяют исключить числа ступеней N и f из числа параметров решаемой задачи. С учетом

(2.405) – ( 2.409) формулы (2.391) – (2.394) могут быть переписаны виде:

P

m

W

)

−d j

−

(R

F

)

−d j

= ∑cjF

(R

nk

nk

,

(2.410)

F

W

−d j

−

P

−d j

j=1

(Rnk )

(Rnk )

W

m

(RF

)

−d j −(RP

)−d j

= ∑cjF

nk

nk

,

(2.411)

F

W

−d j

−

P

−d j

j=1

(Rnk )

(Rnk )

ciF

(RW )−di

−(RF )−di

nk

nk

ciP =

(RW )−di

−(RP )−di

m

(RW )−d j

−(RF )−d j

(2.412)

nk

nk

∑cjF

nk

nk

,

W

−d j

P

−d j

j=1

(Rnk )

−(Rnk )

299

ciF

(RF

)−di −(RP

)−di

nk

nk

ciW

=

(RW )−di −(RP )−di

m

(RF )−d j

−(RP )−d j

, (2.413)

nk

nk

∑cjF

nk

nk

,

W

−d j

P

−d j

j=1

(Rnk )

−(Rnk )

где

di

=

ln qik

−1.

(2.414)

ln gn

Поскольку при решении уравнения каскада (2.387) – ( 2.389) для отборной и отвальной частей каскада должны совпадать при s = f ,

то
PciP (1− gif −N −1 ) =WciW (gif −1) .	(2.415)

Используя уравнения баланса (2.43), соотношения (2.408), (2.409), уравнения (2.415) легко привести к виду

Pc (RP )−di +Wc		(RW )−di − FcF		(RF )−di	= 0 .	(2.416)
iP nk	iW	nk	iF	nk

Соотношения типа (2.416) получили название уравнений H- баланса [16]. Следует иметь в виду, что уравнения (2.416) при i = n и i = k вырождаются в обычные уравнения покомпонентного баланса по каскаду, и выражение (2.416) имеет место именно для тех компонентов, по которым следует выполнить условие

N

несмешения. Суммарный поток каскада ∑L(s) можно получить,

s=1

используя соотношения (2), (2.395), (2.405) – ( 2.409). Простые преобразования приводят к следующему результату

N

m

Pc

jP

ln RP

+Wc

jW

ln RW

− Fc

jF

ln RF

∑ L(s) = ∑

nk

nk

nk

(2.417)

g j

−1

s=1

j=1

ln gn

g j

+

1

Выясним, из каких соображений целесообразно задавать номера «опорных» компонентов l и k. Будем считать, что полный относительный коэффициент разделения qij можно

аппроксимировать соотношением
qij = q0M j −Mi ,	(2.418)
300