Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Z

ΩzΩ

Θ

Ωy

Ωx Y

X ϕ

Рис. П6.1. Система пространственных и угловых координат

Таким образом, из уравнения (П6.2) после его интегрирования по Ω, получаем, что коэффициент A(rr) определяется выражени-

ем: A(rr) = 41πΦ(rr) , а следовательно, разложение (П6.2) имеет вид

	r	1		r	r
	Φ(rr,Ω)=			Φ(rr)+ B(rr) Ω.		(П6.4)
		4π
	Для нахождения коэффициента B(r )				умножим уравнение (П6.4)

на Ωz и проинтегрируем полученное уравнение по переменной Ω:

	r r	1		r	r		r r
	∫ΩzΦ(rr,Ω)dΩ =			Φ(rr)∫Ωz dΩ + B(rr)∫		Ω	ΩdΩ. (П6.5)
		4π
	4π			4π	4π	z

Для вычисления интегралов в последнем равенстве воспользуемся соотношениями (П6.3). Тогда интеграл в первом слагаемом в правой части (П6.3) примет вид

r	π	2π
∫Ωz dΩ = ∫sin ΘcosΘdΘ ∫dϕ = 0 ,
4π	0	0
		261

Рассмотрим в уравнении (П6.5) второе слагаемое

B(rr) ∫ Ωz	ΩdΩ = ∫ Ωz (Ω B(rr))dΩ .
4π	4π

Скалярное произведение под интегралом можно расписать как

Ωr Br(rr)= (Ωxerx + Ωyery + Ωzerz ) B(rr)= Ωx Bx (rr)+ Ωy By (rr)+ Ωz Bz (rr).

И, следовательно,

∫Ωz (B(rr) Ω)dΩ = Bx (rr) ∫ΩzΩxdΩ +
4π	r	4π	r
+ By (rr) ∫ΩzΩy dΩ + Bz (rr) ∫ΩzΩz dΩ.
	4π	4π

Рассчитаем интегралы в правой части последнего выражения, учитывая (П6.3):

r

π

2π

∫ΩzΩxdΩ = ∫dΘcosΘsin2

Θ ∫dϕcos

ϕ = 0 ,

4π

0

0

r

π

2π

∫ΩzΩy dΩ = ∫dΘcosΘsin2

Θ ∫dϕsin

ϕ = 0 ,

4π

0

0

π

3

π

r

2

2π

cos

Θ

4π

∫Ω2z dΩ = ∫sin Θcos2

ΘdΘ ∫dϕ = 2π −

=

.

3

3

0

0

0

Следовательно,

Br(rr) 4∫πΩzΩrdΩr = 43π Bz (rr) .

262

Рассмотрим правую часть уравнения (П6.3):

∫ΩzΦ(rr,Ω)d Ω = iz (rr),

4π

так как по определению i (rr)= ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ.

4π

Таким образом, после умножения уравнения (П5.4) на Ωz и соответствующих математических преобразований получили:

J z (rr)= 43π Bz (rr).

Совершенно аналогично, умножив уравнение (П5.4) на Ωy , можно

получить:

iy (rr)= 43π By (rr),

а после умножения на Ωx

						ix (rr)=	4π	Bx (rr).
							3
	Таким				образом,	получено		следующее	соотношение:
r	r	4π r			r
i	(r )=			B(r ), а следовательно,			коэффициент B(r )		определяется
		3

соотношением:

Br(rr)= 43πir(rr).

Таким образом, с учетом найденных коэффициентов разложение (П6.2) принимает вид

	r	1			3		r	r
	Φ(rr,Ω)=			Φ(rr)+			i	(rr)Ω .	(П6.6)
		4π			4π
				263

Подставим разложение (П5.6) в уравнение Больцмана для моноэнергетических нейтронов с изотропным источником:

1

r

r r

1

r r

Ω [Φ(rr)+3Ωi

(rr)]+

Σtot (rr)[Φ(rr)+

3Ωi (rr)]=

4π

4π

(П6.7)

1

r

1

r

r

r

′

r

r

r′r

r

r

′

=

q(r )+

4∫πΣS (r )WS (r;Ω

→ Ω)[Φ(r )+

3Ω i (r )]d

Ω .

4π

4π

Рассмотрим интеграл рассеяний:

r

r

′

r

′

r

′

∫ΣS (r )WS

(r;

Ω → Ω)[Φ(r )+

3Ω i

(r )]d Ω =

4π

r r

′

r

r′

r

′r

r r

′

r r′

r

r

r

r

= ΣS (r )Φ(r )∫WS (r;Ω → Ω)d

Ω + ΣS (r )∫3Ω i

(r )WS

(r;Ω → Ω)d Ω .

4π

4π

В последнем выражении ∫WS (Ω′ → Ω)d Ω′ =1

по определению

4π

индикатрисы рассеяния.

С учетом преобразованного интеграла рассеяния умножим (П6.7) на Ωz и проинтегрируем по переменной Ω:

r		r r		r	r		Ω +
∫ΩΩz Φ(r )d Ω +3 ∫ΩΩz (Ω i (r ))d Ω + Σtot (r )Φ(r )∫Ωz d
4π	r r	4π r	r		4π	r
+3Σtot (rr)∫Ωz (Ω i		(rr))Ω = q(rr)∫Ωz d Ω + ΣS (rr)Φ(rr)∫Ωz dΩ + (П6.8)
4π	r	r r′r r4π	r r′	r r′	4π
+3ΣS (r )∫Ωz d Ω ∫Ω i (r )WS (r;Ω → Ω)d Ω .
	4π	4π

Рассмотрим интегралы в последнем уравнении. Уже было полу-

чено, что ∫Ωz d Ω = 0 .

4π

Теперь разберем интеграл во втором слагаемом в левой части

(П6.8) I1 = ∫ΩΩz (Ω ir(rr))d Ω . Скалярное произведение под

4π

интегралом можно представить следующим образом:

264

(Ω i ) = Ωxix (rr) + Ωyiy

жения имеет вид

(Ωr ir(rr

(rr) + Ωziz (rr) . Тогда градиент от этого выра-

))= erxΩx	∂ix	+ eryΩy	∂iy	+ erzΩz	∂iz	,
	∂x		∂y		∂z

поскольку оператор градиента действует только на пространственную переменную. Таким образом, с учетом того, что вектор Ω может быть представлен как Ω = erxΩx + eryΩy + erzΩz , рассматриваемый интеграл принимает вид

∂ix

2

r

∂iy

2 r

∂iz

3

r

I1

=

∫Ωz

Ωxd Ω +

∫ΩzΩy d Ω +

∫

Ωz dΩ .

∂ x 4π

∂ y 4π

∂ z 4π

Используя равенства (П5.3), можно вычислить I1:

∂i

π

2π

∂iy

π

2π

I1 =

x ∫d

ΘcosΘsin3Θ ∫ dϕcos

2 ϕ+

∫d ΘcosΘsin3Θ ∫ d ϕsin2 ϕ+

∂ x 0

0

∂ y 0

0

+

∂i

z

π

2π

∫d Θcos3Θsin Θ ∫dϕ = 0,

∂ z

0

0

поскольку

2π

n

π

cos

4

Θ

π

sin

ϕ

а ∫sin Θcos3 Θd Θ = −

∫

dϕ = 0,

= 0 .

n

4

0

0

cos

ϕ

0

Рассмотрим интеграл в первом слагаемом в левой части (П6.8):

I2 = ∫ΩzΩ Φd Ω . Используя уже полученные результаты, этот

4π

интеграл находится как

265

r

r

∂Φ

+ Ωy

∂Φ

+ Ωz

∂Φ

r

I2 = ∫ΩzΩ Φd Ω = ∫

Ωz Ωx

∂ x

∂ y

dΩ =

4π

4π

∂ z

∂Φ

2

r

4π ∂Φ

=

∫Ωz dΩ =

.

∂ z

3 ∂ z

4π

Вычислим интеграл в четвертом члене в правой части уравнения (П6.8), используя полученные ранее результаты:

	r	r	r	r	r	4π
	I3 = ∫Ωz (Ω i )d Ω = ∫Ωz (Ωxix + Ωyiy + Ωziz )d Ω = iz ∫Ω2z d Ω =						iz .
						3
	4π		4π		4π

Z

Ω'z Θ Ω

Y

X ϕ

Рис. П6.2. Схема рассеяния нейтрона

Рассмотрим интеграл в последнем члене в правой части уравне-

ния (П6.8) ∫Ω	r r r	(rr)W	r r r
	d Ω ∫Ω′i		(rr;Ω′ → Ω)d Ω′ и преобразуем его,
z	4π	S
4π

учитывая, что индикатриса рассеяния в случае практически изотропного в ЛС рассеяния зависит не от конкретных значений на-

r

правления скорости нейтрона до столкновения с ядром – Ω' и на-

r

правления скорости нейтрона после столкновения с ядром – Ω , а только от косинуса угла между этими двумя направлениями (угла Θ на рис. П6.2), который обозначим µ0 .

266

∫Ω	d Ω ∫Ω′i (rr)W	(rr;Ω′ → Ω)d Ω′ = ∫Ω′i (rr)d Ω' ∫Ω W		(rr;µ	)d Ω .
z	S	4π	z S	0
4π	4π		4π

Интеграл по Ω может быть преобразован, используя тригонометрические тождества и тождества поворотов к следующему виду:

	r	π
∫ΩzWS (rr,µ0 )d Ω = 2π∫sin ΘcosΘWS (rr,µ0 )d Θ =
4π		0
1	µ0 )Ω′z dµ0	1	µ0WS (rr,µ0 )dµ0	≡ µΩ′z .
= 2π ∫µ0WS (rr,		= Ω′z 2π ∫
−1		−1

В последнем равенстве введено обозначение µ – средний косинус угла рассеяния. Подставив последнее равенство в выражение для

интеграла по Ω' , получим, учитывая результаты, полученные при вычислении I3:

4∫πΩr′ir(rr)dΩr'4∫πΩzWS (rr;µ0 )d Ωr = µ4∫πΩ′z (Ωr′ ir(rr))dΩr' = µ 43πiz .

Таким образом, после вычисления всех интегралов (П6.8) принимает вид

4π ∂Φ(rr)		+ 3	4π		Σtot (rr)iz = 3ΣS	4π	µ ,
3 ∂ z			3			3

или после тождественных математических преобразований –

3iz (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .

∂ z

Совершенно аналогично можно выполнить преобразования после умножения (П6.7) на Ωx или Ωy и интегрирования по переменной

Ω . В результате получим следующие равенства соответственно:

267

3ix (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr)

∂ x

и

3iy (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .

∂ y

Последние три равенства можно записать в векторной форме:

3i (Σtot (rr) − µΣS (rr))= − Φ(rr) ,
или в виде закона Фика:
i (rr) = −D(rr) Φ(rr) ,
где введен коэффициент диффузии D(rr) ≡	1 r	и транспортное
	3Σtr (r )

сечение Σtr (r ) ≡ Σtot (r ) − µΣS (r ) .

Полученное ранее уравнение (П6.1) вместе с законом Фика представляют собой систему уравнений модели диффузии моноэнергетических нейтронов. В данном случае она была найдена в приближении почти изотропного потока нейтронов, практически изотропного рассеяния и относительно интегральных по угловой переменной функций. Требование наличия лишь слабой анизотропии функции плотности потока нейтронов эквивалентно одновременному требованию слабого поглощения, практической неизменности сечения рассеяния от пространственной координаты в рассматриваемой области и удаленности рассматриваемой области от локальных неоднородностей. Ограничение случаем практически изотропного рассеяния в ЛС эквивалентно требованию того, чтобы среда состояла из тяжелых ядер.

268

Приложение 7

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Рассмотрим интегродифференциальное уравнение Больцмана

(6.1):

Ω Φ(rr, E,Ω)+ Σtot (rr, E)Φ(rr, E,Ω)=

=∞∫dE′ ∫ΣS (rr, E′)Φ(rr, E′,Ωr′)WS (rr; E′,Ωr′ → E,Ωr )d Ωr′+ q(rr, E,Ωr ).

0 4π

Выберем в среде точку О, характеризующуюся радиусомвектором r0 , и точку А, характеризующуюся радиусом-вектором r

(рис. П7.1).

		Вакуум
		Среда
		A
	r	RS (rr0, −Ω)
		l

O

r0 Ω

Рис. П7.1. Схема для преобразования уравнения Больцмана

269

Перепишем уравнение Больцмана для отрезка [0, A] в декартовых координатах, имея ввиду следующие соотношения:

rr = rr0 − Ωl ; x = x0 − Ωxl; y = y0 − Ωyl; z = z0 − Ωzl ;

Ωr Φ = Ωx ∂∂Φx + Ωy ∂∂Φy + Ωz ∂∂Φz = −∂∂Φx ∂∂xl − ∂∂Φy ∂∂yl − ∂∂Φz ∂∂zl = −∂∂Φl ;

−∂Φ(rr0 −∂Ωl l, E,Ω)+Σtot (rr0 −Ωrl, E)Φ(rr0 −Ωrl, E,Ωr)= q(rr0 −Ωrl, E,Ωr)+(П7.1)

+∞∫dE′ ∫ΣS (rr0 −Ωrl, E′)Φ(rr0 −Ωrl, E′,Ωr′)WS (E′,Ωr′→E,Ωr)d Ωr′.

0 4π

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение типа:

	dy(x)		− Σ(x)y(x)= − f (x)	(П7.2)
	dx

на интервале [x0 , x] с начальным условием y(x)x=x0 = y(x0 ).

Известно, что решение подобного дифференциального уравнения имеет вид

x
y(x)= y(x0 )exp ∫	Σ(x′)dx′
x
0

−	x	x
	∫	f (x′)exp ∫	Σ(x′′)dx′′ dx′ . (П7.3)
	x0	x′

Проверим это. Действительно при x = x0 из уравнения (П7.3) с очевидностью следует начальное условие y(x)x=x0 = y(x0 ). Рассчитаем производную функции (П7.3):

	dy(x)			d		x
			= y(x0 )		exp ∫		Σ(x′)dx
	dx
				dx		x
						0

′

	d	x	x
−		∫	f (x′)exp ∫	Σ(x′′)dx′′ dx′			=
	dx x		x′
		0

270