Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Рассмотрим величину Σa , которая входит в формулу (3.72) для

Σtot

ϕ(E0 , E) :

∑а(E′)		NПσγП(E′)+ NHσаН(E′)
	=		.
∑ tot (E′)		NHσSH (E′)+ NHσаН(E′)+ NПσSП(E′)+ NПσаП(E′)

Водород – слабый поглотитель, поэтому ∑аН<<∑SH , и вторым

членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому члену. Поскольку микроскопическое сечение рассеяния водорода и поглотителя имеют один порядок величины, а концентрация ядер водорода существенно больше, чем поглотителя (случай сильного разбавления), то третьим членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому. Необходимо отметить, что возможен случай резкого возрастания сечения рассеяния поглотителя в области резонанса, но приближение бесконечной массы поглотителя дает возможность этот случай не рассматривать. Рассматривается случай сильного разбавления, т.е. концентрация ядер поглотителя много меньше, чем концентрация ядер водорода. Пусть соотношение концентра-

ции ядер	такое,	что выполняются условия:	∑аН<<∑аП и
∑aП <<∑SH ,	т.е.	требуется, чтобы выполнялось	соотношение:

∑аН<<∑аП <<∑SH . Найдем диапазон отношения концентраций

ядер поглотителя и водорода, при котором последнее соотношение выполняется. Для этого учтем порядок величин для микроскопических эффективных сечений в области замедления: σaH 10–3 б,

σSH 10 б, σаП 104 б в резонансе. С учетом этого легко найти искомый диапазон изменений NП/NЗ:

NHσaH << NПσаП << NHσSH ;

σаН <<

NП

<< σSH ;

σаП

NH

σаН

−7

10−3

N

П

10

−3

10

=

<<

<<

=10

.

104

NH

104

251

Таким образом, случай сильного разбавления соответствует

NH	[				]
NП	10	−6	, 10	−4		.	При	этом	выполняется	условие
∑аН<<∑аП <<∑SH ,							и в числителе анализируемого выражения вто-

рым членом можно пренебречь по отношению к первому, а в знаменателе – четвертым по отношению к первому. Таким образом, в рассматриваемом случае:

∑a (E′)		NПσγП(E′)
	≈		.	(П4.2)
∑ tot (E′)		NHσSH (E′)

σγγnn

1/Ε		σSn
1/E
		σsn
E 1	E r	E 2	ΕE
Ε1	Εr	Ε2

Рис. П4.1. Пояснения к расчету вероятности избежать поглощения при замедлении

Подставим (П4.2) в (3.72) и преобразуем получившееся выражение:

252

N

П

E1

σγП(E′) 1

ϕ(E1, E2 )=exp −

∫ dE′

=

NH

E2

σSH (E′) E′

=[таккак σSH (E)= const

во всей областизамедления]≈

NП

E1

dE′

σγП(E′)

≈ exp −

∫

≈

E′

NH σSH E2

≈[

1

слабо меняетсяв [E2 , E1] посравнению с σγП(E)– рис. П4.1]≈

E

−

NП

E

(E′) .

≈exp

∫1dE′σ

γП

NHσSH Er E2

Рассмотрим отдельно интеграл в последнем выражении, воспользовавшись (П4.1):

E2

′

′

E2

dE′

Гγ

∫ dE σγП(E

)

= ∫

σr

=

2

(E′− Er ) 2

Г

E1

E1 1+

Г

2

(E

−E

)

2

Гγ Г

dx

Г

2

r

=

x =

(E′

− Er )

= σr

∫

=

Г

Г

2

)1

+ x

2

2

(E −E

Г

1

r

2

(E2

−Er )

σr Гγ

=

σrГγ Г

dx

=

arctg(х)

a

2 ,

∫

2

2

(E

−E

r

)1

+ x2

2

a1

Г

1

где a1 = Г2 (Е1 − Еr ) , a2 = Г2 (Е2 − Еr ) .

253

Г

-3Г

-Г

Er

Г

3Г

Рис. П4.2. Выбор пределов интегрирования

Учитывая, что основной вклад в интеграл от функции		1
		+ x2
1

вносит область около х = 0 (рис. П4.2), т.е. около Е = Еr, выберем Е1 = Еr – 3Г и Е2 = Еr + 3Г. В этом случае а1 = –6, а а2 = 6 и c хорошей точностью arctg(6) ≈ π/2, а arctg(–6) ≈ –π/2. Тогда для вероятности избежать поглощения на резонансе поглотителя при замедлении на водороде получим выражение:

ϕ(E , E		2	)≈exp	−	NПσr Гγ π	.
1
					2NHσSH (Er )Er
Оценим ϕ(E1 , E2 ) для первого резонанса 238U, который имеет сле-
дующие параметры: Er	= 6,7 эВ, ГH = 1,5 10–3 эВ, Гγ = 25 10–3 эВ,

Г = 26,5 10–3 эВ. Видно, что поскольку на ядре 238U при энергии 6,7 эВ идут только процессы резонансного рассеяния и поглощения, то Г = ГН + Гγ . При этом вероятность распада составного ядра по ка-

		Г	γ
налу реакции радиационного захвата					примерно в 16,5 раз
		ГН

больше, чем по каналу резонансного рассеяния. Рассчитаем значе-

254

ние сечения образования составного ядра в максимуме резонанса:

σr = 4πD2 ГГН .

Длину волны де Бройля нейтрона можно рассчитать по формуле:

	h		4,55 10−10
D=	2mE	=		[см],
			E

где Е – кинетическая энергия нейтрона, эВ;

D(Er )=4,55 6,710−10 =1,76 10−10 см.

Тогда

σr = 4π (1,76)	2	−20		1,5 10−3			−20		4
	10					2,2 10		см = 2,2 10		б.
				26,5	10−3

Таким образом, видно, что в максимуме резонанса сечение дос-

	тигает десятков тысяч барн.	NП
	Возьмем для определенности		=10−4 , σSH ≈ 30 б. В результа-
	те получим:	NH

ϕ(E	, E	2	)=exp		− 10−4	2,2 104 25 10−3 π				≈
1							2 30 6,7
				{
		≈ exp					}	= 0,99957.
				−0,43 10−3

Видно, что вероятность избежать резонансного поглощения практически равна единице. Это следствие того, что ширина резонанса Г много меньше ступеньки замедления на водороде. Поэтому, хотя в максимуме резонанса сечение достигает нескольких десятков ты-

сяч барн, но в эту область энергий попадает только Г от полно-

E0

го числа нейтронов.

255

Приложение 5

РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ ИЗБЕЖАТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ НА УЗКОМ ИЗОЛИРОВАННОМ РЕЗОНАНСЕ

В ПРИБЛИЖЕНИИ БЕСКОНЕЧНОЙ МАССЫ ПОГЛОТИТЕЛЯ

Получим формулу для расчета вероятности избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя. Рассмотрим выражение:

=ΣaП(Е) + ΣаЗ .

Σtot (E) ΣаП(Е) + ΣSП(Е) + ΣSЗ + ΣаЗ

Вчислителе этого выражения можно пренебречь макроскопическим сечением поглощения замедлителя по сравнению с макроско-

пическим сечением поглощения поглотителя, поскольку микроскопическое сечение поглощения замедлителя (10–3 и менее барн)

меньше микроскопического сечения поглощения поглотителя в максимуме резонанса (порядка 104 б) на 6 – 7 порядков, а концентрация ядер поглотителя в реальных средах меньше концентрации ядер замедлителя всего на один-два порядка. В знаменателе рассматриваемого выражения можно пренебречь сечением поглощения замедлителя по отношению к сечению рассеяния замедлителя (разница в сечениях составляет более трех порядков), а также сечением рассеяния поглотителя по отношению к сечению поглощения поглотителя, поскольку рассматривается приближение бесконечной массы поглотителя.

С учетом вышесказанного подставим в формулу (3.80) выражения для сечений. Согласно (П4.1)

∑aП(E)= ∑r

Гγ

1

, где

x =

2

(E−Er ).

Г 1

+ x

2

Г

Тогда

Гγ

∑ tot (E)= ∑SЗ+ ∑aП(E)

= ∑SЗ+ ∑r

1

Г 1+ x2

256

и

∑r

Гγ

1

E

∑a (E′)

E

Г 1+

2

(E′− Er )2

2

∫2 dE

=

∫2 dE′

Г

=

x =

(E' − Er )

=

∑tot (E′)

Гγ

1

Г

E

E

∑SЗ+ ∑r

1

1

Г

1+ 2 (E′− E ) 2

r

Г

2

(E

−E

)

Гγ

1

=

Г Г

2

r

dx

∑r Г 1+ x2

≈

∑r Гγ

∞

dx

,

∫

∫

Гγ

1

2

+

∑SЗ x2

2 Г(E −E

)

∑

+

∑

−∞ ∑SЗ

+ ∑r

r

SЗ

r Г 1+ x2

2

1

при выполнении последнего равенства учтено,

что

Гγ ≈ Г, далее

получаем:

Гγ ∑r

∞

dx

=

Гγ∑r

arc tg

x

∞

=

∫

2

−∞

2

∑SЗ

∑

2 ∑SЗ

∑r

−∞

1 +

x

2 +

1+

r

∑

∑SЗ

SЗ

=

Гγ ∑r π

∑SЗ

.

2 ∑S

∑SЗ+∑r

В ходе последних преобразований была проведена замена пределов интегрирования по соображениям, аналогичным обсужденным в прил. 4. Кроме того, в знаменателе было использовано приближенное равенство Гγ ≈ Г, которое становится точным в случае

отсутствия резонансного рассеяния (приближение бесконечной массы поглотителя). Вероятность избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя получается после подстановки найденного выражения в

257

	(3.80): ϕ ≈1	−	πГγΣr	Σ	sз	,	где ∑r = NПσr ; ∑SЗ= NЗ σSЗ ;
			2ξ∑SЗEr	∑SЗ
					+ Σr
	σr = 4πD2 ГН . Коэффициент
					k =		∑SЗ	называется коэффи-
	Г						∑SЗ+ ∑r

циентом самоэкранировки резонанса. Он связан с эффектом резо-

нансной самоэкранировки.

Если ∑r <<∑SЗ (слабый резонанс), то k ≈1 . Этот случай соот-

ветствует бесконечному разбавлению.
Если		∑r >>∑SЗ		(сильный резонанс), то		k <<1	и
k ≈	∑SЗ	=	∑SЗ NП		. Используя полученную формулу и		ре-
	∑r		σr

зультаты расчетов, проведенных в прил. 4, выполним численную

оценку	ϕ(E , E		2	) для первого резонанса 238U при замедлении на
		1
12	NП	=10	−4
6 С и					. Сечение рассеяния для углерода примем равным
	NЗ
5 б, а ξ = 0,158 :
	ϕ(E1, E2 )				=1−	πГγ NПσr		NЗσSЗ	=
						2ξNЗσSЗEr
							NЗσSЗ + NПσr
	=1− π 25 10−3 2,2 104 10−4							5	2,2 104	≈ 0,986.
			2 0,158 5 6,7					5 +10−4

Коэффициент самоэкранировки резонанса в этом случае составляет 0,883. Таким образом, вероятность избежать поглощения равна 98,6 %, вероятность поглотиться – 1,4 %. Заметим, что действительно величина, вычитаемая из единицы (в данном случае – 0,014), значительно меньше единицы, поэтому правомерно использованное ранее при выводе формулы (3.80) разложение экспоненциальной функции вблизи нуля.

258

Приложение 6

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕЙТРОНОВ ИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Уравнение Больцмана в случае, если все нейтроны имеют одну

итуже энергию, принимает вид

ΩgradΦ (rr,Ω)+ Σtot (rr)Φ(rr,Ω)= q(rr,Ω)+

+∫πΣS (rr)Φ(rr,Ωr′)WS (rr;Ωr′ → r )dΩr′.Ω4

Проинтегрируем это уравнение по Ω , учитывая в первом члене равенство Ω grad Φ(rr,Ω)= div ΩΦ(rr,Ω):

div ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ + Σtot (rr)∫Φ(rr,Ω)dΩ = ∫q(rr,Ω)dΩ +
4π	r r4π	r	4πr r
+ ∫ΣS (rr)Φ(rr,Ω′)dΩ′ ∫WS (rr;Ω′ → Ω)dΩ.
4π		4π
Введя в рассмотрение		вектор	тока	нейтронов
i (rr)= ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ ,	глобальную	плотность	потока	нейтронов
4π
Φ(rr)= ∫Φ(rr,Ω)dΩ ,	интегральный	источник	q(rr) = ∫dΩq(rr,Ω) и
4π			4π

учитывая, что интеграл от индикатрисы рассеяния равен единицы, из последнего уравнения получим:

div i (rr)+ Σtot (rr)Φ(rr)= q(rr)+ ΣS (rr)Φ(rr).

Принимая во внимание, что Σa = Σtot − ΣS , окончательно полу-

чаем уравнение баланса нейтронов в единичном пространственном объеме:

div i (rr)+ Σa (rr)Φ(rr)= q(rr).	(П6.1)
259

Получим закон Фика, т.е. найдем связь между вектором тока нейтронов i (rr) и плотностью потока нейтронов Φ(r ) . Для этого

разложим функцию Φ(rr,Ω) в ряд по переменной Ω и ограничимся

двумя слагаемыми, т.е. рассмотрим случай почти изотропного потока:

	Φ(rr,Ω)= A(rr)+ B(rr) Ω .	(П6.2)
Проинтегрируем уравнение (П5.2) по Ω :
∫ Φ(rr,Ω)dΩ = A(rr)∫ dΩ + ∫(Ω B(rr))dΩ .
4π	4π 4π

Левая часть этого уравнения равна глобальной плотности потока

нейтронов ∫ Φ(rr,Ω)dΩ = Φ(rr), первый член в правой части урав-

4π

нения легко вычисляется: A(rr)∫ dΩ = 4πA(rr), а второй член в пра-

4π

вой части уравнения равен нулю: ∫(Ω B)dΩ = 0 . Для того, чтобы

4π

это проверить, распишем скалярное произведение под интегралом: (Ω B(rr)) = Ωx Bx (rr) + Ωy By (rr) + Ωz Bz (rr) . Тогда с учетом со-

отношений (рис. П6.1)

Ωz = cosΘ; Ωx	= sin Θcosϕ;	(П6.3)
Ωy = sin Θsin ϕ;	r
	dΩ = sin ΘdΘdϕ

легко показать, что выполняются следующие равенства:

∫ ΩxdΩ = ∫ Ωy dΩ = ∫ Ωz dΩ = 0 ,

4π 4π 4π

а следовательно, ∫(Ω B)dΩ = 0 .

4π

260