Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Учитывая, что температура в 11600 К соответствует 1 эВ, следовательно, начальная энергия не более 0,3 эВ. Прикладываемое ускоряющее напряжение, как правило, более 100 В, следовательно, начальная энергия электронов пренебрежимо мала по сравнению с приобретаемой в ускоряющем электрическом поле (eUa >> kTк) .

Зависимость координаты от времени:

x =

1 eE

t

2

. Приобретаемая

2 m

e

электроном энергия W

=

mV 2

= eE x = e

ϕ

−ϕ

= eU

a

.

к

2

2

1

Ускорение при старте под углом к по-

лю. Рассмотрим случай, когда начальная

скорость электрона V0 , влетающего в

промежуток с ускоряющим электрическим

полем, не пренебрежимо мала и направле-

на под углом к полю (рис. 3.2). Система

уравнений для траектории частицы имеет

вид:

Рис. 3.2. Ускорение

x =V0 sin α t;

1

eE

под углом к полю

y =

t2 +V

cosα t.

2 m

0

e

Выразив время из первого уравнения системы и подставив во второе, получим уравнение для траектории:

y(x)=	1 eE					x2		+	cosα	x .	(3.1)
	2 m			V		sin2	α
									sin α
			e	0

Соотношение (3.1) описывает квадратичную зависимость. Следовательно, траектория будет параболой, положение вершины ко-

	торой зависит от угла влета α. При α =	π	y(x)=	eE	x2 – вер-
		2		2mV 2
				0

шина параболы в точке старта.

301

Однородное тормозящее электрическое поле

Рекуператор энергии. Электронный пу-
чок, который до этого был ускорен до неко-
торой энергии и выполнил некоторую
функцию (например, пропущенный через
плазмохимический реактор), направляется в
систему торможения (рис. 3.3). Такая сис-
тема торможения, получившая название
рекуператора энергии, имеет техническое
применение, когда необходимо преобразо-	Рис. 3.3. Схема
вать кинетическую энергию заряженных
частиц в потенциальную (рекуперировать),	рекуператора энергии
вернув ее таким образом в накопитель.

Электроны влетают в промежуток с некоторой начальной энергией Wк0 = eU0 , где U0 – потенциал, в котором электроны были уско-

рены до входа в систему торможения. По мере движения к коллектору электроны теряют скорость, «забираясь» на все поле «высокий» потенциал, придя на коллектор, электроны отдают свой заряд в накопитель. Для того, чтобы электроны полностью потеряли кинетическую энергию и пришли на коллектор с нулевой скоростью, необходимо, чтобы тормозящий потенциал был равен

Ua = ϕ2 −ϕ1 = Weк0 .

Торможение и фокусировка под углом к электрическому полю.

Рассмотрим торможение под углом к полю (рис. 3.4). Траектория будет описываться зависимостью, аналогичной (3.1), с той лишь разницей, что электрическое поле имеет противопо-

ложный	знак: y(x) = −	1		eE		x2		+
		2 m			V 2 sin2		α
				e	0
+ctg αx ,	т.е. траектория тоже является
параболой, но ее ветви направлены вниз.
Положение вершины параболы опреде-									Рис. 3.4. Торможение
ляется из соотношения: y =V0 cosα −									электронов под углом
									к полю

302

к направлению поля.

Рис. 3.5. Торможение немоноэнергетичного пучка электронов

ровка.

Таким образом, тормозящее электрическое поле можно использовать для фокусировки пучков, если направлять их под углом π/4

−

eE

t = 0

tm

=

mV0 cos α

. Тогда координата

m

eE

2

mV

W

x

=V

sin

α t

m

=

0

sin 2α =

к0

m

0

2eE

eE

вершины параболы:

sin 2α

(3.2)

Предположим, что входящий пучок электронов имеет угловой разброс ϕ. Если угол влета пучка будет равен π/4 , то для верхнего граничного электрона вершина параболы будет находиться в точке:

x′

=

W0

sin 2

π +

ϕ =

W0

sin

π +

2ϕ

=

W0

sin

π

+ ϕ , для ниж-

m

eE

eE

4 2

4 2 eE

2

него –

x′′

=

W0

sin

π − ϕ , т.е.,

x′′ = x′ . Учитывая, что электроны

m

eE

m

m

2

вернутся

на

электрод,

с

которого

стартовали,

на расстоянии

l = 2x′

= 2x′′

от точки старта, следовательно, происходит фокуси-

m

m

Рекуператор немоноэнергетического пучка. Часто возни-

кает необходимость рекуперировать энергию пучка, заряженные частицы которого имеют разброс по энергиям. Следовательно, необходимо, чтобы частицы с разными энергиями приходили на электроды, находящиеся на разной высоте

(рис. 3.5).

Требуется найти геометрию электродной системы торможения, т.е., под каким углом необходимо произвести «срез» электродов. Координата xm вершины параболы траектории электрона опреде-

ляется соотношением (3.2), координата						ym определяется из соот-
ношения: y	m	eE =W	cos2 α . Тогда	y	m	=	1	ctgα x , т.е. вершины
		к0					2	m

303

парабол лежат на прямой, наклоненной к поверхности входного

	1
	электрода под углом, равным arctg		ctgα .
		2

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Рассмотрим случай постоянного во времени и однородного в

пространстве поля H = const (рис. 3.6). На движущуюся частицу с зарядом q в магнитном поле дей-

ствует сила Лоренца FGл = qc VG×HG

(в системе СГС множитель

1

).

c

Уравнение

движения

домножим

скалярно

на

скорость:

.

q

mVG =

VG

× HG VG .

Правая часть

c

будет равна нулю, следовательно,

G

.G

∂ mV 2

Рис. 3.6. Вращение заряженных

mV

V = 0

,

= 0,

т.е.

частиц в магнитном поле

2

∂t

mV

2

= const

– стационарное магнитное поле не изменяет кинети-

2

ческую энергию частицы. Разобьем скорость частицы на две со-

ставляющие

V||

и V –

вдоль и поперек поля

V =VG|| +VG ;

G

q

G

G

F

=

V ×H

= 0 ,

т.е. вдоль поля частица движется как свободная.

c

&

.G

q

G

G

Уравнение для поперечной составляющей: mV

=

V

× H , т.е.

c

..

.

..

.

rG

=

qH

rG

. Уравнение rG = ωл rG описывает вращение по окружности

mc

с частотой ωл = qHmc , называемой ларморовской (циклотронной).

Ларморовская частота не зависит от энергии частицы. Период

304

вращения T

=

2π

. Частоты вращения

электронов

и

ионов

л

ωл

[c–1]

сильно отличаются. Ларморовская частота электрона:

ω

=

eH

e

=

=1,76 107 H [Э]. Ларморовская

частота

иона:

ω

[c–1]

=

mec

i

ωле

mi

=

eH

= 9649 H [Э]/ m [a.e.м.], так что

=

>>1 (примерно в

mic

i

ωлi

me

1800 раз), т.е. электрон «осциллирует» на фоне медленно вращающегося иона. Для определения радиуса вращения используем баланс так называемой эффективной центробежной силы (силы инер-

	mV 2		qH				V			c 2mW
ции) и силы Лоренца:		=		V	, получаем r	=			=
	r									eH
			c		л		ω	л
	л

– ларморовский радиус. Ларморовский радиус электрона: rлe

[см] =

V

W [эВ]

=

= 3,37

e

. Ларморовский радиус

иона:

r

[см] =

ωлe

H [Э]

лi

V

W

[эВ] m [а.е.м.]

r

m

=

= 144

i

i

. Отношение

лi

=

i

>>1

(при-

H [Э]

r

m

ω

лi

лe

e

мерно в 40 раз). Таким образом, магнитное поле сильнее «привязывает» электроны к своим силовым линиям. Направление вращения такое, чтобы возникающее за счет движения заряженной частицы собственное магнитное поле было направлено против внешнего, т.е. своим вращением заряженная частица стремится ослабить внешнее магнитное поле. В этом причина диамагнетизма плазмы, она стремится ослабить внешнее поле, «избегает» сильного магнитного поля (выталкивается). Двигаясь по окружности, частица

	создает замкнутый ток	I =	q	=	q ωл	. Круговой ток обладает маг-
			T		2π
			л

нитным моментом, который можно выразить через площадь круга

S = πr2

,

охватываемого

ларморовской

окружностью: μ =

1

IS =

л

c

qωл

qωл

V 2

qmcV 2

W

=

1

πr2

=

1

=

=

.

Магнитный момент на-

c 2 ω2л

c 2π

л

cqH 2

H

305

	правлен против поля μ = −μ	H	= −	W	H . Диамагнетизм плазмы
		H		H 2

будет проявляться, если плазма будет замагничена, т.е. ларморовский радиус много меньше характерного размера системы, и время ларморовского вращения много меньше характерного времени рас-

rл << lхар;
сматриваемого процесса:	1		Таким образом, в маг-
τл =		<<τ	хар.
	ωл

нитном поле заряженная частица равномерно движется вдоль сило-

вой линии поля по спирали с постоянным шагом h =	V||	2π, вра-
	ωл

щаясь вокруг силовой линии по окружности ларморовского радиуса rл с постоянной ларморовской частотой ωл. Вектор угловой скорости положительно заряженной частицы антипараллелен, а отрицательно заряженной частицы (например, электрона) – параллелен магнитному полю, т.е., если магнитное поле направлено в плоскость листа, электрон вращается по часовой стрелке (см. рис. 3.6),

аположительный ион – против.

3.1.2.Движение в скрещенных электрическом

имагнитном полях

Рассмотрим движение заряженных частиц в скрещенных полях

E H в дрейфовом приближении. Дрейфовое приближение применимо в случае, если можно выделить некоторую одинаковую для всех частиц одного сорта постоянную скорость дрейфа, не завися-

щую от направления скоростей частиц: V = u +Vдр , где

Vдр = const – скорость дрейфа. Покажем, что это можно сделать

для движения заряженных частиц в скрещенных E H полях. Как было показано ранее, магнитное поле не влияет на движение частиц в направлении магнитного поля. Поэтому скорость дрейфа может быть направлена только перпендикулярно магнитному, т.е.

пусть: V =V +V|| , причем V = u +Vдр , где Vдр = const . Уравнение

306

.

q

движения:

mV = qE +

V ×H (по-прежнему в СГС пишем множи-

1

c

тель

).

Тогда

для поперечной составляющей

скорости:

.

c

q

mV

= qE +

V × H ,

подставляем разложение

через

скорость

c

.

.

.

q

(u +Vдр)× H , т.е.

дрейфа:

m

u +Vдр

= qE +

mV

др+ mu =

c

= qE +

q

u ×H +

q

V

× H . Заменим это уравнение на два для каж-

c

c др

.

дой компоненты и с учетом Vдр = const , т.е. Vдр = 0 , получим урав-

нение для скорости дрейфа: 0 = qE + qc Vдр × H .

Домножим векторно на магнитное поле, получим:

qE × H =

q

H

V

× H .

c

др

(

(

)

ac

)

−c

ab

, получим

С учетом правила a × b ×c = b

qE × H =

q

V

H 2 ,

c

др

откуда

V

= c

E × H

– скорость дрейфа.

(3.3)

др

H 2

cм

V

E

E [В см]

= c

=108

.

др

H

H [Э]

c

Скорость дрейфа не зависит от знака заряда и от массы. Из соотношения (3.3) видно, что при E > H скорость дрейфа становится больше скорости света, а значит, теряет смысл. И дело не в том, что необходимо учитывать релятивистские поправки. При E > H будет нарушено условие дрейфового приближения и частица перейдет в режим непрерывного ускорения. Условие дрейфового приближения для дрейфа заряженных частиц в магнитном поле заключается в том, что влияние силы, вызывающей дрейф, должно быть незначительно в течение периода обращения частицы в магнитном поле,

307

только в этом случае скорость дрейфа будет постоянна. Это усло-

вие можно

записать в

виде

δV =

eE

δt =

eE

1

<<V ,

откуда

ωл

m

m

чим условие применимости дрейфового движения в E H полях:

E

<<V .

H

c

Для определения возможных траекторий заряженных частиц в

E H полях рассмотрим уравнение движения для вращающейся

скорости u:

.

q

.

qH

компоненты

mu

=

u × H

, откуда u =

[u ×eH ].

c

mc

Пусть плоскость (x, y) перпендикулярна магнитному полю. Вектор u вращается с частотой ωл = qHmc (электрон и ион вращаются в

разные стороны) в плоскости (x, y), оставаясь постоянным по модулю.

В плоскости скоростей (Vx, Vy) можно выделить четыре области характерных траекторий.

Область 1. На рис. 3.7 круг, описываемый неравенством 0 < u <Vдр в координатах (x, y), соответствует трохоиде без петель

(эпициклоида) с «высотой», равной 2re , где re = u / ωл (рис. 3.8).

Если вектор начальной скорости частицы попадет в этот круг, то частица будет двигаться по эпициклоиде.

Область 2. Окружность, задаваемая уравнением u =Vдр ,

соответствует циклоиде. При вращении u вектор скорости на каждом периоде будет проходит через начало координат, т.е. в этот момент скорость будет равна нулю. Эти моменты соответствуют точкам в основании циклоиды. Траектория аналогична той, что

описывает точка, находящаяся на ободе колеса радиуса r	=	Vдр	.
c		ωл

Высота циклоиды равна 2rc , т.е. пропорциональна массе частицы,

поэтому ионы будут двигаться по гораздо более высокой циклоиде, чем электроны, что не соответствует схематическому изображению на рис. 3.8.

308

Рис. 3.7. Области характерных траекторий в плоскости скоростей

Область 3.	Область	вне
круга, в которой	u >Vдр ,	со-

ответствует трохоиде с петлями (гипоциклоида), высота которой 2re > 2rc . Петли соответствуют

отрицательным значениям компоненты скорости Vx , когда

частицы движутся в обратном направлении.

Область 4. Точка u = 0

Рис. 3.8. Характерные траектории

частиц в E H полях: 1 – трохоида без петель; 2 – циклоида; 3 – трохоида с петлями; 4 – прямая

(V0 =Vдр) соответствует прямой. Если запустить частицу с начальной скоростью V0 =Vдр ,

то силы действия электрического и магнитного полей в каждый момент времени уравновешены, поэтому частица движется прямолинейно. Можно представить, что все эти траектории соответствуют движению точек находящихся на колесе радиуса

rc = Vдр , поэтому для всех тра-

ωл

екторий продольный пространственный период L = 2πrc =

= 2πVдр . За период T = 2π для

ωл ωл

всех траекторий происходит взаимная компенсация действия электрического и магнитного поля. Средняя кинетическая энергия час-

тицы остается постоянной Wк =Wк0 . Важно еще раз отметить, что

не зависимо от траектории, скорость дрейфа одинакова для частиц любого заряда. В случае невыполнения условия дрейфового приближения, т.е. при E > H действие электрического поля не ком-

309

пенсируется действием магнитного, поэтому частица переходит в режим непрерывного ускорения. Все выводы, сделанные выше,

верны, если вместо электрической силы F = qE использовать про-

извольную силу F, действующую на частицу, причем Скорость дрейфа в поле произвольной силы:

Vдр = c F ×2H q H

F H .

(3.4)

зависит от заряда. Например, для гравитационной силы F = mg :

Vдр = qHcm2 [g × H ] – скорость гравитационного дрейфа.

3.2.Отклонение и фокусировка заряженных частиц

впостоянном электрическом поле

3.2.1.Отклонение электронного пучка в однородном электрическом поле электростатического конденсатора

Наиболее простой является система в виде плоского конденсатора. Пусть пучок электронов запускается параллельно пластинам (рис. 3.9), найдем угол отклонения пучка α в зависимости от энергии частиц Wк0. Поперечная скорость, приобретаемая в отклоняю-

щем электрическом поле: V	=	eE	t	пр	=	eE		l	, где t	пр	– время про-
						m V
		m
		e				e	0

лета отклоняющей системы; l – протяженность области действия поля. Тангенс угла вылета электрона:

tgα =	V	=	eE		l =	eUоткл		l	,
			mV	2		2W		d
	V
0			0			к0

где Uоткл – отклоняющее напряжение; d – расстояние между пластинами конденсатора. Поперечное смещение электрона в пределах

отклоняющей системы: y

=

1

eE

t2

=

1 eE l2

, следовательно,

2 m V 2

1

2 m пр

0

тангенс угла прямой, соединяющей центр системы с точкой выле-

310