Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях r, получим систему:

b0′′(z)+ 4b2 (z)= 0;b2′′(z)+16b4 (z)= 0;

b4′′(z)+36b6 (z)= 0;

. . .

. . .

b		= −			b0′′		;
	2	4
								b0IV				b0IV
			b2′′
b		= −					=			=							;
																4
	4	16					64				(2!)			2	2
				b′′						bIV
b		= −		4			= −			0			;
									(3!)2			26
	6	32
. . .

. . .

С учетом b0 (z)=U (0, z)=U (z)

(потенциал на оси)

получим рас-

пределение потенциала в пространстве в виде:

r

2

1 r 4

IV

1

r

6

IV

U (r, z)=U (z)−

U ′′(z) +

U

(z)−

U

(z) +... +

(3!)2

2

22

2

2

+(−1)k U((2k))2(z) r 2k +...

k! 2

Таким образом, распределение потенциала аксиально-симметрич- ного поля определяется значением потенциала на оси.

3.3.3.Движение заряженных частиц

ваксиально-симметричном электрическом поле

Для приосевых электронов (r2 /L2хар << r/Lхар , где Lхар – характерная длина системы), которые еще называют параксиальными, можно получить уравнение траектории. Так как Eθ = 0 , то элек-

троны не вращаются вокруг оси z. Другие компоненты электрического поля определяются из соотношений:

		∂U	= −Ez =U ′(z)−				r4		U ′′′(z)≈U ′(z);
		∂z
					4
∂U	= −Er = −			r	U ′′(z)+	r3		U IV (z)≈ −		r	U ′′(z).
∂z
			2		16				2

321

Уравнение движения для электрона:

				er		U ′′(z);
mr = −eE		r	= −				(3.4)
					2
			′		(z).
	mz = eU

Первое уравнение системы замечательно тем, что в полях с аксиальной симметрией радиальная фокусирующая или расфокусирующая сила пропорциональна удалению частицы от оси. Возьмем второе уравнение системы (3.4). Учитывая, что левые части уравнения содержат производные по времени, а правые производные по z, можно использовать переход к производной по переменной z:

d 2 z

d dz

dz d dz

1 d dz

2

e

dU (z)

=

=

=

=

.

dt2

dt dt

dt dz dt

m

dz

2 dz dt

Интегрируя последнее уравнение с учетом граничного условия при z = 0 U(z) = 0 и dz/dt 0 = 0 (пренебрегаем начальной скоростью час-

тиц), получим dz/dt = 2eU (z)/m .

Возьмем первое уравнение системы (3.4) и перейдем к произ-

водной по переменной z:

d 2r

=

d dr

=

dz d dr dz

= −

e

rU ′′(z).

dt2

dt dt

2m

dt dz dz dt

Последнее уравнение перепишем в виде:

U (z)

d

U (z)

dr

=

dz

dz

= −

r

U ′′(z), получим

уравнение

траектории r(z)

параксиального

4

пучка:

d 2r

+

U ′(z) dr

+

U ′′(z)

r = 0 .

(3.5)

dz2

2U (z) dz

4U (z)

Это уравнение называется основным уравнением электронной оптики.

Проведем анализ уравнения (3.5).

1.В уравнение входит только U (z), траектория зависит только от значения потенциала на оси.

2.В уравнение не входит me , поэтому траектории электронов и

ионов не отличаются.

322

rA′′

3.Уравнение линейно и однородно относительно U (z) , следовательно, можно заменить на kU (z) .

4.Уравнение линейно и однородно относительно r (z) , а значит, можно заменить на kr (z) .

Таким образом, полученное линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно U(z) и r(z) показывает, что возможно масштабное моделирование, т. е. если потенциал во всех точках пространства увеличить в k раз (увеличить потенциал на всех электродах системы в одинаковое число раз), то уравнение, а следовательно, и траектория электрона не изменятся. Кроме того, можно сделать вывод, что любое аксиально-симметричное поле есть линза, так как в любой плоскости сохраняется подобие траек-

торий относительно расстояния от оси (рис. 3.20): rA′ = rB′ .

rB′′

Рис. 3.20. Изображение в линзе

Фокусная сила линзы Fr = −er2 U ′′(z) возрастает с удалением от

оси.

Линза будет фокусирующей (собирающей), если U ′′ > 0 . Линза будет расфокусирующей (рассеивающей), если U ′′< 0 .

3.3.4. Параметры увеличения в электронной линзе

Основное уравнение электронной оптики (3.5) является однородным дифференциальным уравнением относительно r второго порядка. Решение, как известно, можно представить в виде суммы двух частных решений:

323

Рис. 3.21. Траектории осевых электронов в линзе

Рис. 3.22. Траектории неосевых электронов в линзе

Рис. 3.23. Угловое увеличение в линзе

тронной оптики в виде:

r (z) = C1r1 (z) +C2r2 (z) ,

где C1	и C2 – произвольные константы.
Пусть	C2 = 0 , а частное решение			r1 (z)
таково,	что	при	z = a и	z = b
r1 (a) = r1 (b) = 0 .		Тогда	r (z) = C1r1 (z) –

это совокупность траекторий, которые пересекают ось в точках А и В, т.е. в точке В соберутся все электроны, вышедшие из точки А (рис. 3.21). При

C2 ≠ 0 r (a) = C2r2 (a) и r (b) = C2r2 (b)

для всех электронов, т.е. если источник поместить в точку А, то в точке В будет его изображение (рис. 3.22). Тогда ли-

нейное увеличение линзы: M = r2 (b) . r2 (a)

Рассмотрим снова траекторию с источником на оси, т.е. r (z) = C1r1 (z) (рис. 3.23). Угловое увеличение линзы определяется как отношение тангенсов углов наклона траектории к оси:

Γ= tgγ2 = r1′(b) . tgγ1 r1′(a)

Возьмем основное уравнение элек-

U (z)	d		U (z)	dr		= −	r	U ′′(z) . Для част-
							4
	dz			dz

ного решения

ного решения

умножим		на
U (z) r	d
2
	dz

r1 (z) :

U (z)

d

U (z)

dr

r

′′(z). Для част-

1

= −

1

U

4

dz

dz

r (z) :

U (z)

d

U (z)

dr2

= −

r2

U ′′(z) . Первое

2

4

dz

dz

r2,

второе

–

на

r1

и

вычтем их:

U (z)

dr1

− r

d

U (z)

dr2

= 0 .

Следовательно,

1

dz

dz

dz

324

d	(	U (r r′−r r′)) = 0 , т.е.		U (r r′−r r′) = const . Для z = a и
dz		2 1	1 2	2 1	1 2

z = b r1 (a) = r1 (b) = 0 , т.е.

U (a)r2 (a)r1′(a) = U (b)r2 (b)r1′(b)

или	U (a)		=	r2 (b)			r1′(b)	.
	U (b)
				r2 (a) r1′(a)
Получаем соотношение M Γ =			U (a)		, которое является аналогом
			U (b)

теоремы Лагранжа – Гельмгольца: M Γ = n1 . n2

Найдем фокусные расстояния электронной линзы. Возьмем частные решения r1 (z) и r2 (z) , проходящие через фокусы. Так же,

как это было сделано ранее, напишем для них основные уравнения электронной оптики, домножим на r1 и r2 и вычтем, получим:

U (r2r1′−r1r2′) = const .

Рис. 3.24. Геометрические параметры линзы

Для предметного пространства:

U (a)r2 (a)r1′(a) = c .

325

Для пространства изображения:

− U (b)r1 (b)r2′(b)= c .

Тогда фокусные расстояния слева f1 и справа f2 от главных плоскостей h1 и h2 электронной линзы можно определить через траекто-

рии, проходящие через фокус линзы r1 и параллельно оси r2 систе-

мы:

f

=

r2 (a)

;

f

=

r1 (b)

. Отношение фокусных расстояний

2

r2′(b)

1

r1′(b)

f2

=

U (b)

.

f1

U (a)

3.3.5. Тонкие электростатические линзы

Рассмотрим тонкие линзы, главные плоскости которых находятся при z = a и при z = b. Для тонких линз расстояние между главными плоскостями много меньше фокусных расстояний (b – a) << f1 , f2 , т.е. главные плоскости сливаются. Линейное увеличение линзы

(рис. 3.25) M = f1 = f2 , следо- z1 z2

вательно, z1z2 = f1 f2 . Записав систему:

l1 = z1 + f1;l2 = z2 + f2;z1z2 = f1 f2 ,

Рис. 3.25. Геометрические параметры тонкой оптической линзы

Рис. 3.26. Геометрические параметры тонкой электростатической линзы

из первых двух:		f1	+	z1	+	f2		+	z2		= 2 , из третьего уравнения сис-
		l		l
						l	2		l	2
		1	1
темы	z1z2 = (l1 − z1)(l2 − z2 ).									Из последнего соотношения

326

1 =	z1	+	z2		. Следовательно,	f1	+	f2		=1 – основное соотношение
	l					l
			l	2				l	2
1						1

тонкой линзы. Возьмем основное уравнение электронной оптики в

виде:	U (z)	d		U (z)	dr		= −	r	U ′′(z) , которое можно привести к
		dz			dz			4

виду:							r (z)U ′′(z)
	d		U (z)	dr		= −		.
	dz			dz			4 U (z)

Проинтегрируем:

U (b) dr −dz b

U (a)	dr	= −	1	b	r (z)U ′′(z)	.
			4
dz a				∫	U (z)
				a

Если

линза

–

слабая,

то

r (a) ≈ r (b) .

Тогда

заменяя

dr

r

(b)

и

dr

r (a)

, и вынося

r (z)

из

= −tgβ = −

= +tg α = +

l2

l1

dz b

dz a

r (a) ,

получим:

под

знака

интеграла

как

множитель

U (b)

U (a)

1 b

U ′′(z)

+

=

∫

dz

(сократили на

r (a) ≈ r (b) ). С уче-

l

2

l

4

U (z)

1

a

f1

f2

том основного соотношения тонкой линзы

+

=1 получим фо-

l

l

2

1

b

U ′′(z)

1

1

кусные расстояния

слева

и

справа:

=

∫

dz

и

f

4

U (a)

U

(z)

b

U ′′(z)

1

a

1

1

=

∫

dz .

f

2

4

U (b)

U (z)

a

U (b)

Отношение фокусных расстояний:

f2

=

=

n2

.

Возьмем

f

U (a)

n

b

1

1

1

1

U ′′(z)

выражение для

f2 :

=

∫

dz .

Проинтегрируем по

f

U

(b)

U (z)

2

4

a

частям ( ∫ xdy = xy − ∫ ydx ), получим:

327

1

1

U ′(b)

U ′(a)

1 b (U ′(z))2

D =

=

−

+

∫a U 32 (z)

dz –

f2

4 U (b)

U (b)

U (a)

8 U (b)

оптическая сила.

Если U ′(a) =U ′(b) = 0 (т.е. на границе нет электрического поля), то линза всегда собирающая ( D > 0 ).

			3.3.6. Основные типы электростатических линз
Для			одиночной		диафрагмы с круглым отверстием:
1	=	Ez1 − Ez2		, где Ez1	и Ez2 – напряженности электрических по-
fD			4Ud

лей слева и справа от диафрагмы; Ud – потенциал диафрагмы. Для системы из двух линз – диафрагм с фокусами f1 и f2 и расстоянием между линзами l оптическая сила задается соотношением:

1

=

1

+

1

+

l

. В общем случае аксиально-симметричного по-

f

f

f

2

f

f

2

1

1

ля траектория электрона описывается уравнениями:

er

′′

mr = −eE

≈ −

r

2

U (z);

≈ eU ′(z),

mz = −eEz

т.е. фокусирующая сила определяется знаком второй производной от потенциала на оси системы. Если U ′′(z) > 0 , то система – фоку-

сирующая, если U ′′(z) < 0 , то – расфокусирующая. На рис. 3.27 –

3.31 показаны примеры возможных типов электростатических линз.

328

Рис. 3.27. Фокусирующая электро-	Рис. 3.28. Фокусирующая электро-
статическая линза с тормозящим	статическая линза с тормозящим и
электрическим полем	ускоряющем электрическим полем

329

Рис. 3.29. Расфокусирующая электростатическая линза с тормозя-

щим электрическим полем Рис. 3.30. Расфокусирующая электростатическая линза с ускоряю-

щим электрическим полем

330