Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Рис. 3.31. Фокусирующая электростатическая линза с ускоряющем электрическим поле

331

3.4.Магнитные линзы

3.4.1.Движение заряженных частиц

ваксиально-симметричном магнитном поле

Фокусировку пучков в аксиально-симметричном магнитном поле проще всего продемонстрировать на примере параксиального пучка электронов, скорость которых вдоль оси системы много больше скорости в радиальном направлении Vz >>Vr . На электрон

в магнитном поле действует сила Лоренца F = −ecV ×B . Радиаль-

ная составляющая этой силы является фокусирующей: Fr = −(e/c)VϕBz (рис. 3.32). Азимутальная составляющая скорости

электрона появляется за счет азимутальной составляющей силы Лоренца: Fϕ = −(e/c)(Vz Br +Vr Bz ) ≈ −(e/c)Vz Br , так как Vz >>Vr .

Составляющая скорости Vz не

меняет знака, радиальная составляющая магнитного поля Br может менять знак, при этом азимутальная составляющая

скорости электрона Vϕ будет

уменьшаться (вращение замедляться), но направление вращения никогда не меняется, поэтому фокусирующая составляющая силы Лоренца Fr

Рис. 3.32. Фокусировка в аксиаль- но-симметричном магнитном поле

всегда сохраняет знак. Таким образом, магнитная линза – всегда собирающая. Скорость частицы в цилиндрической системе коор-

динат	разложим			по компонентам:				V =Vre1	+Vϕe2 +Vze3 = re1		+
+rϕe2 + ze3 ,		тогда			ускорение:		V = re1 + re1 + rϕe2 + rϕe2 + rϕe2 +
+ze + ze		или		V = (r −rϕ)2 e			+(2rϕ+ rϕ)e		+ ze , где	e	=
3	3					1		2	3	1
= lim	e1 = ϕe ;		e		= lim	e2 = −ϕe .		Уравнения движения элек-
t→0	t	2	2		t→0	t	1

332

тронов в магнитном аксиально-симметричном поле B = (Br Bϕ = 0 можно записать в виде системы:

r −rϕ2 = −

e

rϕBz − радиальное движение;

mc

2

e

1 d

(r

ϕ)= −

(zBr − zBz )−азимутальное движение;

mc

r dt

e

z

=

rϕB

−

продольное движение.

mc

r

, Bz ),

(3.6)

По теореме Гаусса: 2πrBr dz + πr2 (Bz+dz − Bz )= 0 , где первое слагаемое – поток через боковую поверхность условного цилиндра,

а второе – разность потоков через торцы, тогда Br = − 2r dBdzz . Учтем

это соотношение при записи уравнений движения.

Рассмотрим второе уравнение для азимутального движения:

1 d

2

dϕ

e dz

r dBz

dr

d

2

dϕ

r

= −

−

−

Bz

,

т.е.

r

=

dt

r dt

dt

mc dt

2 dz

dt

dt

e

r2 dB

dr

=+

z

+ zBz

; следовательно,

dt

mc

2 dt

2

dϕ

e

r2

r

2

dϕ

d r

= +

d

Bz

=

mc

2

dt

dt

но записать:

ddtϕ = 2eBmcz –

d	r2	dϕ		=+	e	d	r2		B
					mc			2	z
		dt

er2 Bz + const . Тогда мож-

2mc

(3.7)

частота так называемой ларморовской прецессии. Линейная скорость Vϕ = rϕ пропорциональна r, угловая скорость от расстояния

не зависит, т.е. картинка вращается как целое.

Рассмотрим движение вдоль оси z:	d 2 z	=	e	rϕB	=		ϕ =	eBz	,
	dt2		mc	r				2mc

B = −	r		dBz		= −	e2	B	z	dB	r2	, т.е.
r	2					4m2c2			dz
			dz

333

d 2 z

= −

e2

B

dBz

r2

–

(3.8)

dt2

4m2c2

z

dz

ускорение, пропорциональное r2.

Теперь

рассмотрим

движение

по

радиусу:

d 2r

e2rB2

e2B2

d 2r

e2B2

−

z

= −

z

r , т.е.

= −

z

r . Перейдем от произ-

dt2

4m2c2

2m2c2

dt2

4m2c2

e2Bz

водной по t к производной по z:

d dr

=

dz d dz dr

= −

r , с

dt dt

4m2c2

dt dz dt dz

учетом

dz

=Vz =

2eU

получим:

m

dt

d 2r

e2B2

= −

z

r .

(3.9)

dz

2

2

8mc U

Следует помнить, что траектория частицы закручивается, и данное уравнение описывает траекторию в плоскости, которая вращается с ларморовской частотой.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (3.7), представив

его в виде:

	dϕ	=	e
	dt		8mc	2U

dϕ dz			=	eBz	,	с учетом				dz	=Vz =
dz dt										dt
				2mc
Bz , следовательно:
			ϕ(z) =				e	b	Bzdz .
							8mc2U ∫a

Таким образом, угол поворота в магнитной линзе:

		0,15			b
	ϕ [рад] =				∫Bz [Гс]dz .
		U	0	[эВ]
					a

Общие следствия из уравнений (3.9), (3.10):

2eUm , получим

(3.10)

(3.11)

1)траектории рассчитываются только по значениям Bz ;

2)в уравнения входят заряд и масса, следовательно, разные частицы двигаются по разным траекториям;

3)уравнения однородны относительно r, следовательно, акси- ально-симметричное поле есть линза;

4)ускорение по радиусу всегда направлено к центру, т.е. магнитная линза всегда – собирающая.

334

3.4.2. Параметры тонкой магнитной линзы

Тонкая магнитная линза соответствует случаю, когда толщины

линзы много меньше фокусных расстояний (

<< l1, l2 ), а магнит-

ное поле на оси быстро падает по ме-

ре удаления от линзы (рис. 3.33).

Проинтегрируем уравнение (3.9):

b d 2r

b

er

∫a

dz = −∫a

Bz2dz .

dz2

8mc2U

Учитывая, что для тонкой магнит-

Рис. 3.33. Траектория час-

ной линзы r (a) ≈ r (z) ≈ r (b)(z [a,b] ,

тицы в магнитной линзе в

получим:

плоскости,

вращающейся с

dr

dr

er

b

частотой

ларморовской

2

−

= −

Bz dz .

прецессии

8mc2U ∫

dz b

dz a

a

При отсутствии магнитного поля слева и справа от линзы ( Bz = 0 )

можно принять

dr

= tgα =

r (a)

;

dr

= −tgβ = −

r (a)

, тогда

l1

dz a

dz b

l2

r (a)

r (a)

er (a)

b

+

=

∫Bz2dz .

Если

сопоставить это

уравнение с

l

l

8mc2U

2

1

a

уравнением для тонкой оптической линзы: 1 + 1 = 1 , то получим l1 l2 f

величину оптической силы:

		1		e	b
	D =		=		Bz2dz .
		f		8mc2U
					∫a

Для фокусного расстояния:

1		1			0,022		b	2
				=			∫Bz		[Гс]dz .
f		см			U0 [эВ] a

(3.12)

(3.13)

Найдем оптическую силу для магнитной линзы витка с током (рис. 3.34), магнитное поле которого рассчитывается по известному закону Био – Савара:

335

	H0	(z) =		Hm			,	Hm =	2πI	.
			1+ z2			3/2			cR
					R2

Подставив это выражение в (3.12), полу-

чим, что оптическая сила определяется

Рис. 3.34. Магнитная

из соотношения:

линза витка с током

1

π2eI 2

∞

dz

3π3eI 2

=

∫

=

,

f

2

2

1+

z

2

2

2mc UR

−∞

16mc UR

R2

а фокусное расстояние – из соотношения:

	f [см] ≈ 96,8			U0 [эВ] R [см]						.	(3.14)
						I 2 [A]
		e	∞				e
Угол поворота ϕ =			∫ H (z)dz =							I . Для катушки из N
		8mcU					8mcU
			−∞
витков вместо I берем NI, так что фокусное расстояние:
	f [см] ≈ 96,8			U0 [эВ] R [см]						.	(3.15)
					(NI [A])2
Угол поворота для катушки из N витков:
		ϕ [рад] ≈10,7				NI [A]		.			(3.16)
						U0 [эВ]

3.4.3. Аберрация электронных линз

Ранее было показано, что в аксиально-симметричных системах точная фокусировка происходит для параксиальных пучков. При фокусировке широких или расходящихся пучков качество изображения ухудшается из-за расфокусировки как удаленных от оси электронов, так и расходящихся (рис. 3.35). Такие искажения

изображения называются	геометриче-
ской аберрацией.	Рис. 3.35. Геометрическая
	аберрация
	336

К геометрическим же аберрациям относят искажение ния вследствие нарушения аксиальной симметрии электроннооптической системы. Другим источником аберраций является емный заряд электронного пучка, который, как правило, не обладает аксиальной симметрией.

Качество изображения может существенно ухудшаться вследствие неоднородности скоростей электронов, в этом случае аберрацию называют хроматической (рис. 3.36).

Рис. 3.36. Хроматическая аберрация

Величина отклонения электронов зависит от скорости электронов, чем больше скорость, тем меньше они отклоняются.

3.4.4. Электронные микроскопы

Преимущество электронного микроскопа перед оптическим заключается в его гораздо большей разрешающей способности. Разрешающая способность оптического микроскопа ограничена явлением дифракции (рис. 3.37). Вследствие дифракции света на крае отверстия диафрагмы вместо точечного изображения возникнет пятно (размытое изображение) и дифракционные круги. Невозможность снижения дифракции лучей путем уменьшения длины волны для оптического микроскопа объясняется ограниченным диапазоном длин волн видимого света. Если рядом с источником О помещен другой источник O′, то их изображения

могут наложиться друг на друга. Расстояние d – расстояние между источниками, когда круги изображения не перекрываются, и называется разрешающей способностью. Разрешающая спо-

собность определяется соотношением: d = n0,61sinλu , где λ – длина

337

Рис. 3.37. Дифракция в оптической линзе: D – диафрагма (справа объектива); I – интенсивнось

волны света; n – показатель преломления среды между предметом и линзой; u – апертура (угол при вершине конуса). Наилучший случай для u ~ 70°, n =1,5 (кедровое мас-

ло), λ = 5 10−5 см – длина волны средней части видимого света,

d ~ 2 10−5 см = 0,2 мкм (можно уви-

деть микробы и бактерии, но нельзя увидеть вирус). Если перейти на ультрафиолет, используя кварц (стекло не пропускает), λ = 0,2 мкм,

d ~ 0,1мкм (всего в 2 раза). Для

меньших длин волн излучение поглощается вплоть до рентгена, но рентгеновские лучи не преломляются. В электронных микроскопах возможно уменьшать длину волны де Бройля λ = h/(mv) до нескольких ангстрем путем использования ускоренных электронов высоких напряжений (до нескольких десятков и

даже сотен килоэлектрон-вольт). Длина волны электрона

	λ =	h	=	12,25	A , для U =10 кэВ, λ = 0,1A , т.е. разрешение в
		mV		U [эВ]

50000 раз лучшее.

Рассмотрим электронный микроскоп просвечивающего типа (рис. 3.38). Исследуемый объект просвечивается пучком монохроматических электронов. Диафрагма D задерживает электроны, которые рассеялись на большие углы. Просвечивающий микроскоп формирует светопольные изображения (рис. 3.38, а), когда от менее рассеивающих участков изображение более светлое. Если направить электронный пучок на предмет под некоторым углом к главной оптической оси электронно-оптической системы, так, чтобы нерассеянные электроны не попадали в отверстие диафрагмы, то будет формироваться темнопольное изображение (см. рис. 3.38, б),

338

Рис. 3.38. Просвечивающий микроскоп, формирующий изображения: а – светопольные, б – темнопольные

когда от более рассеивающих участков изображение более светлое. Для получения больших увеличений одной линзы не достаточно, поэтому в электронном микроскопе (рис. 3.39) первичное изображение объекта после первой объективной линзы попадает в фокальную плоскость второй проекционной линзы, которая дает увеличенное изображение объекта на экране. Одним из существенных требований к электронному микроскопу является поддержание в области линз высокого вакуума (порядка 10–410–5 мм рт. ст.), так как при таких высоких напряжениях возможно возникновение электрического разряда, нарушающего необходимое распределение потенциала.

Поэтому электронный микроскоп откачивается высоковакуумным насосом. Разрешающая способность электронного микроскопа ухудшается при нарушении моноэнергетичности пучка электронов.

Монохроматичность электронного пучка нарушается из-за колебаний ускоряющего напряжения и разброса энергий электронов, излучаемых накаленным катодом. В магнитном электронном микроскопе колебание силы тока в обмотке линз приводит к дополнительному размытию изображения. Если магнитные линзы заменить на одиночные электрические, то микроскоп называется электростатическим просвечивающим. Для повышения контрастности при просвечивании органических объектов иногда применяют напыление металла (Cr, Pa).

339

Рис. 3.39. Магнитный электронный микроскоп

Отражательный электронный микроскоп (рис. 3.40) служит для получения изображения поверхности непрозрачных тел.

340