Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

∞

∞

1

∞

1

∞

∫e−αx (cos βx + i sin βx)dx = ∫eγx dx =

∫deγx =

eγx

γ

0

0

0

γ

x=0

= −

1

= −

− α − iβ

=

α

+ i

β

,

− α + iβ

α2 + β2

α2 + β2

α2 + β2

откуда и следуют указанные формулы.

∞

Пример 4.1. Вычислить интеграл ∫e−αx cos bx − cos cx

x

0

=− 1 =

γ

dx .

Решение. Обозначим этот интеграл через Φ(α) . Дифференцируя эту функцию, получим

∞

α

α

Φ' (α) = ∫e−αx (cos cx − cos bx) dx =

−

.

α

2

+ c

2

α

2

+ b

2

0

Откуда

α

αdα

α

αdα

1

α

1

ln(α2 +

Φ(α) − Φ(0) = ∫

− ∫

=

ln(α2 + c2 )

−

2

2

2

2

2

0 α

+ c

0 α

+ b

2

0

α

2

2

2

2

2

+ b2 )

1

b

1

α + c

c

1

α + c

+

ln

=

ln

− ln

, Φ(α) = =

ln

.

0

2 c2

2

α2 + b2

b

2

α2 + b2

∞	2 dx =		π
Пример 4.2. Доказать, что интеграл Пуассона I= ∫e− x				.
0		2

Решение. Возведем интеграл в квадрат

I 2 =

			∞		∞				∞			∞
			∫e− x2 dx ∫xe− x					2 y 2dy = ∫dy ∫e− x								2 (1+ y2 ) xdx =
			0	0					0			0
	1	∞	dy		∞	2 (1+ y		2 ) dx2 (1 + y 2 ) =							1		∞		dy		∞
=		∫			∫e− x												∫				∫e−u du =
			1 + y	2															+ y	2
2		0		0								2					0	1		0
						=	1		arctg y		∞	=	π	.
						2					0	4

91

∞

Пример 4.3. Вычислить интеграл I = ∫e−ax2 cos bx dx .

0

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

	1	∞	2		1			∞	∞
I =		∫e−ax		d sin bx =		sin bx e	−ax2		+ 2a ∫ x sin bx e−ax	2 dx =
	b
		0			b			0	0

2a

∞

=

∫ x sin bx e−ax2 dx .

b

0

Вычислим

производную

по

параметру

b :

∞

b

Ib ' = − ∫ x sin bx e−ax2 dx = = −

I

. Таким образом,

получено диф-

0

2a

ференциальное уравнение

dI

= −

bdb

,

решая которое, получим

I

I

2a

b2

∞

∞

e−

1

π

. Так

так

= ∫e−ax2 dx =

∫e−u2 du =

,то

=C

4a

I(0) =

I

0

a

0

2

a

−

b2

1

π

=

e 4a .

2

a

Пример 4.4. Вычислить интеграл

π

F(a,b) = ∫2 ln(a2 sin 2 x + b2 cos2 x)dx , a > 0, b > 0.

(4.4)

0

Решение. Вычислим частные производные

π

∂F

2

sin 2 x

= 2a∫

dx,

(4.5)

∂a

a

2

sin

2

x + b

2

cos

2

0

x

π

sin2 x

∂F

2

= 2b∫

dx .

∂b

2

2

x + b

2

2

0

a

sin

cos

x

Складывая эти выражения, получим:

92

a ∂F + b ∂F = π. Из (4.5) следует, что

∂a	∂b
												π
						a					2									sin 2 x
	F(a,b) = ∫2udu ∫																													dx +С(b).
														u	2	sin			2	x + b			2	cos				2
						0					0																		x
Отметим, что справедливо разложение:
						t	2													1							b		2						1
															=																	−						,
			2		2			2		2								2			2				2		2				2			2
		(a		t		+ b			)(t		+ 1)						b			− a						t			+ b				t		+ 1
																						a

которое проверяется непосредственно приведением к общему знаменателю. Действительно, выражение в правой части этого равенства можно преобразовать следующим образом:

1

b

2

1

1

2

(t

2

2

t

2

− b

2

−

=

b

+ 1) − a

=

b2 − a2

a2t 2

+ b2

t 2 + 1

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

1

b

(t

+ 1)

− a

t

− b

=

1

b

t

− a

t

=

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

=

1

(b2 − a2 )t 2

=

t 2

.

b2 − a2

(t 2

+ 1)(a2t 2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

+ b2 )

Используя это равенство, преобразуем интеграл

π

π

sin2 x

tg 2 x

2

2

∫

dx =

∫

dx =

2

sin

2

x + b

2

cos

2

2 2

+ b

2

0 a

x

0 a tg

x

∞

t

2

1

2

∞

dt

∞

dt

= ∫

dt =

∫

− ∫

=

b

(a

2

t

2

+ b

2

)(t

2

+ 1)

2

− a

2

2

2

+ b

2

2

+ 1

0

b

0 a

t

0 t

1

b π

π

π

=

−

=

.

b2 − a2

a 2 2

2a(a + b)

93

Откуда следует, что

	a	π		a + b
	F(a,b) = ∫2u		du +C(b)= π ln		+C(b).
		2u(u + b)
	0			b

Из определения функции F(a,b) получаем выражение для значения функции F в точке (b,b). Именно, F(b,b)=π ln b. С другой стороны, из предыдущего равенства получаем F(b,b)=π ln 2 + C(b), откуда

находим значение C(b) = π ln b .Таким образом, 2

F(a,b) = = π ln	a + b	+ π ln	b	= π ln	a + b	.
	b	2		2

94

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2. – М.: Наука, 1971.

2.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.2.

– М.: Наука, 1971.

3.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2,3. – М.: Наука, 1966.

4.Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.2. – М.:

Наука, 1973.

5.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.2. – М.: Высшая школа, 1973.

95

Александр Сергеевич Логинов Николай Васильевич Мирошин Светлана Григорьевна Селиванова

ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ КУРСА

«ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ»

(ТЕОРИЯ И ПРИМЕРЫ)

Редактор Е.Н. Кочубей

Подписано в печать 16.03.2009. Формат 60х84 1/16. Изд. №044-1. Печ. л. 6.0. Тираж 100 экз. Заказ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет) Типография МИФИ. Москва, Каширское ш., 31