Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

Решение. Для сферических координат имеем:

x = ρ cos θ cos ϕ y = ρ cos θ sin ϕ ,

z = ρ sin θ

21

В этом случае область D можно описать неравенствами в ци-
линдрических координатах D = {(r,ϕ,h): 0≤h≤1 ,0≤ϕ ≤2π ,0 ≤ r ≤ h}.
Тогда для указанного в условии интеграла по формуле замены пе-
ременных получим
	∫∫∫	x2 + y2 dx dy dz = ∫∫∫r 2dr dϕ dh =
	V			D
1		1	2π	h	1		3	π .
= ∫dh ∫∫r 2dr dϕ = = ∫dh ∫dϕ∫r 2 dr = 2π∫ h							dh =
0	D	0	0	0	0	3		6
	h
		Рис. 1.17
Пример 1.7. Сферические			координаты.		Вычислить интеграл

A= = ∫∫∫ xyzdx dy dz по области V, расположенной в первом октанте,

V

внутри единичного шара: x2 + y 2 + z 2 ≤ 1,0 ≤ x,0 ≤ y,0 ≤ z .

	D( x, y, z)		− ρ cos θ sin ϕ	cos θ cos ϕ − ρ sin θ cos ϕ
		=	ρ cos θ cos ϕ	cos θ sin ϕ	− ρ sin θ sin ϕ	=
	D(ϕ, ρ, θ)
			0	sin θ	ρ cos θ

= − sin θ(ρ2 sin θcos θsin 2 ϕ + ρ2 sin θ cos θ cos2 ϕ) −

−ρ cos θ(ρ cos2 θ sin 2 ϕ + ρ cos2 θ cos2 ϕ) =

=− sin θρ2 sin θcos θ − ρ cos θρ cos2 θ = −ρ2 cos θ .

Область x2 + y 2 + z 2 ≤ 1,0 ≤ x,0 ≤ y,0 ≤ z изображена на рис. 1.18.

Рис. 1.18

Геометрическая интерпретация сферических координат показана на рис. 1.19.

Рис. 1.19

22

Решение. Расставляя пределы интегрирования в сферических координатах, получим

1			π / 2						π / 2
A= ∫ρ5dρ ∫cos ϕ sin ϕdϕ ∫cos3 θ sin θdθ															=
0			0						0
						π					π
	1	sin 2		ϕ		2			cos4 θ		2		1
=								−			=			.
	6		2						4				48
						0					0
								1	1−x	x+ y
Пример 1.8. В		интеграле						∫dx ∫dy			∫ f (x, y, z)dz				расставить
								0	0		0
пределы интегрирования				в			порядке				∫dx∫dz∫ f (x, y, z)dy					и
∫dz∫dx∫ f (x, y, z)dy . Область,							соответствующая пределам интег-

рирования в исходном интеграле, показана на рис. 1.20 для первого случая и на рис. 1.21 для второго

Рис. 1.20

Рис. 1.21

Решение. Обозначим область интегрирования W. Тогда исходный интеграл будет равен

1 1

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫dx ∫∫ f ( x, y, z)dydz =∫dz ∫∫ f ( x, y, z)dxdy .

W 0 Dx 0 Dz

23

Далее, в двойных интегралах ∫∫ f ( x, y, z)dydz ,	∫∫ f ( x, y, z)dxdy
Dx	Dz

можно расставить пределы интегрирования в нужном порядке для указанных сечений (трапеций) (рис. 1.22).

Рис. 1.22

Для этих трапеций повторные интегралы будут иметь следующий вид

	x	1−x	1	1−x
∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫dz ∫ f ( x, y, z)dy + ∫dz ∫ f ( x, y, z)dy,
Dx	0	0	x	z−x
	z	1−x	1	1−x
∫∫ f ( x, y, z)dxdy = ∫dx ∫ f ( x, y, z)dy + ∫dx ∫ f (x, y, z)dy .
Dz	0	z−x	z	0
			1	1	x+ y
Пример 1.9. Заменить тройной интеграл ∫dx∫dy					∫ f (z)dz
			0	0	0

однократными интегралами. Так как подинтегральная функция f зависит только от одного переменного z, то пределы интегрирования нужно расставить так, чтобы внешнее интегрирование проис-

24

ходило по переменной z. Таким образом, во внутреннем двойном интеграле интегрирование будет происходить по x, y. Обозначения для сечений области, соответствующей интегралу, заданному в условии задачи, указаны на рис. 1.23.

Рис. 1.23

Решение. Для решения этого примера выполним следующие преобразования интегралов

1 1 x+ y 1 2 1

∫dx∫dy ∫ f (z)dz = ∫ f ( z)dz ∫∫dxdy + ∫ f ( z)dz ∫∫dxdy = = ∫ f ( z)µDz dz

0 0 0	0	Dz				1	Dz			0
2	1			z	2		2	1		2
+ ∫	f ( z)µDz dz = ∫ f ( z) 1		−	2		dz + + ∫ f ( z)		2	(2	− z )	dz.
1	0						1

25

1.3.4. Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

x1 = x1 (u1, u2 ,...,un )
x		= x		(u , u		,...,u		)
	2		2	1	2		n	( кратко x=x(u) )
...
x	n	= x	n	(u , u	2	,...,u	n	)
				1

из области Σ в область V. При измеримости областей Σ , V справедлива формула замены переменных

	∫ f ( x)dx	= ∫	f [ x(u)]	∂x		du .
				∂u
	V	Σ

Существование интегралов предполагается.

Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1.Криволинейные интегралы 1-го рода

2.1.1.Вычисление интегралов

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

	x = x(t)
	y = y(t) , t [α, β ].			(2.1)
	z = z(t)
Теорема. Если кривая (2.1) гладкая (непрерывно дифференци-
руема без особых точек (x′ 2+y′ 2+z′		2≠0)), функция f(x,y,z) непре-
рывна на (2.1), тогда криволинейный интеграл				∫ f ( x, y, z)ds суще-
				γ
ствует и имеет место равенство
	β
∫ f ( x, y, z)ds = ∫ f [ x(t), y(t), z(t)]			x'2 (t) + y'2 (t) + z'2 (t)dt. (2.2)
γ	α

26

2.1.2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1. ∫(αf + βg)ds = α∫ fds + β∫ gds .

γ γ γ

2. (Аддитивность по множеству.) Если дуга AB составлена из

двух дуг AC

и CB и существует

∫ f ds , то существуют инте-

AB

гралы ∫ f ds ,

∫ f ds

и справедлива формула

AC

CB

∫ f ds = ∫ f ds + ∫ f ds .

AB

AC

CB

3. Если существует

∫ fds , то существует и ∫

f

ds и выполнено

AB

AB

неравенство

∫ fds

≤

∫

f

ds .

AB

AB

4. (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.) При поворотах системы координат

вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Поясним это свойство на примере отображения

x = u cos α − v sin α

y = u sin α + v cos α ( поворот на угол α вокруг оси Oz).

z = w

Если функция f (x,y,z) определена на γ, то в системе координат (u,v,w) функция

F(u,v,w)=f (u cosα - v sinα , u sin α + v cos α, w)

будет определена на образе	кривой γ. И в данном случае это
свойство означает равенство интегралов
∫ f (x, y, z)ds = ∫F (u, v, w)ds .
γ

27

2.2.Криволинейные интегралы 2-го рода

2.2.1.Вычисление интегралов

Определение. Замкнутая кривая называется контуром. Криво- линейный интеграл второго рода в этом случае обозначается ∫.

C

Теорема. Пусть кривая γ задана в параметрическом виде

x = x(t)
y = y(t) , t [α, β].	(2.3)

z = z(t)

Если кривая (2.3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференци- руема, функция f непрерывна на γ, то криволинейный интеграл по этой кривой от функции f существует и имеет место формула

β

∫ f ( x, y, z)dy = ∫ f [x(t), y(t), z(t)]x' (t)dt .

	AB			α
Замечание. Обычно рассматривают интегралы вида
∫P(x, y, z)dx + ∫Q( x, y, z)dy + ∫R(x, y, z)dz = ∫Pdx + Qdy + Rdz =
γ		γ			γ			γ
				β
			= ∫(Px'+Qy'+Rz' )dt .
				α
Последний интеграл записывают в векторной форме:
		β		β
		∫	(V , r	' )dt = ∫	(V , ds ) = ∫(V , ds ) ,
		α		α		γ
где V = (P, Q, R)		заданное векторное поле.
Интеграл ∫(V , ds ) можно интерпретировать, как работу силово-
	γ
го поля	V вдоль пути γ.

28

2.2.2. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов ви-

		но они справедливы и для интегралов ∫Pdx ,	∫Qdy ,
да ∫(V , ds ) ,
γ		γ	γ
∫Rdz. Через		γ − обозначается кривая, отличающаяся от γ	только
γ

направлением обхода. Кривую γ будем предполагать кусочногладкой, а функции P, Q, R непрерывными на этой кривой. Если

V = (P,Q, R) , то справедливы следующие свойства:

1.	∫(V , ds ) = − ∫(V , ds ) ;
	γ			γ−
2.	∫(αV + βW , ds ) =α ∫(V , ds ) +β ∫(W , ds ) ;
	γ				γ		γ

3.(Аддитивность по множеству.) Если существует интеграл

∫(V , ds ) и кривая AB разбита точкой C на два участка AC, CB ,

AB

то

∫(V , ds ) =		∫(V , ds ) + ∫(V , ds ) ;
AB		AC			CB
4. Если существует интеграл				∫(V , ds )		, то
				AB
	∫(V , ds )			≤ sup | V | µγ ;
	γ			γ

5. (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

2.2.3. Связь с интегралом 1-го рода

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую γ и непрерывную функцию f(x,y,z), определенную на γ. Справедливо равенство

29

∫Pdx + Qdy + Rdz = ∫(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds ,

(2.4)

γ

γ

cos α =

x' (t)

, cosβ =

y' (t)

,

x'2 (t) + y'2 (t) + z'2 (t)

x'2 (t) + y'2 (t) + z'2 (t)

cos γ =

z' (t)

.

x'2 (t) + y'2 (t) + z'2 (t)

Обозначим

орт вектора касательной

n = (cos α, cos β, cos γ) и

введем понятие вектора элемента длины дуги ds = nds . В этих обо-

значениях интеграл справа в	(2.4)	может быть записан в виде
∫(V , n)ds – это интеграл первого рода. Интеграл слева в (2.4) явля-
γ
ется интегралом второго рода	∫(V , ds ) . Таким образом, формула

γ

(2.4) в векторном виде может быть записана следующим образом:

∫(V , ds ) = ∫(V , n)ds .

γγ

Эта формула является одной из основных формул для вычисления интеграла второго рода.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называ- ется ориентированной кривой.

Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положи- тельным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (рис. 2.1).

Рис. 2.1

30