Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

Рис. 4.2

	4.1.2.	Дифференцирование интегралов,
		зависящих от параметра
Теорема (Лейбница). Если f и ∂f			непрерывны в [a,b]×[c,d] , то
		∂y
b				b
F(y) = ∫ f ( x, y)dx дифференцируема на [c,d] и ∂F				= ∫ ∂f (x, y) dx.
a			∂y	a	∂y
Рассмотрим область типа В, указанную на рис. 4.3, и функцию f ,
определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.
		Рис. 4.3
Теорема.	Если f и ее производная		∂f непрерывны на R, x1(y),
			∂y
x2(y) имеют	непрерывные на [c,d]		производные,	то	функция
		81

x2 ( y)

F(y) = ∫ f ( x, y)dx также имеет производную

	x1( y )
	∂F	x2 ( y)		∂f ( x, y)
		=	∫		dx + f (x2 ( y), y )x2 ' ( y) - f (x1 ( y), y )x1 ' ( y) .
	∂y
		x1	( y )	∂y

4.2.Несобственные интегралы, зависящие от параметра

4.2.1.Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра

Рассмотрим интеграл

b
Φ( y) = ∫ f ( x, y)dx , − ∞ < a < b ≤ +∞ , y Y.	(4.1)

a

Предположим, что при некоторых y интеграл (4.1) является несобственным. Так, если − ∞ < a < b ≤ +∞ и при некотором y интеграл (4.1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (4.1) будет существование конечного предела

η

lim ∫ f (x, y)dx .

η→b−0 a

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого η [a,b)

b

интеграл ∫ f (x, y)dx (называемый остатком) будет существовать, и

η

b

условие сходимости можно записать в видеηlim→b−0 ∫ f ( x, y)dx = 0 . В

η

случае расходимости этого интеграла естественно считать, что ус-

b

ловие ηlim→b−0 ∫ f ( x, y)dx = 0 не выполнено. Таким образом, условие

η

сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

82

b

lim ∫ f (x, y)dx = 0 .

η→b−0 η

b

Определение. Пусть интеграл с параметром ∫ f ( x, y)dx для

a

всех или для некоторых y Y имеет единственную особенность в точке b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в +∞ (интеграл 1-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если выполнено условие

		b
ε >0δ >0η(b-δ,b) y Y:		∫ f (x, y)dx		< ε	(для интеграла 2-го
		η
рода),
	+∞
ε >0 Mη(M,+ ) y Y:	∫ f ( x, y)dx		< ε		(для интеграла 1-го
	η
рода).

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Если суще-

ствует функция g(x), определенная на отрезке [a,b) (b – конечное или +∞), интегрируемая на любом отрезке [a, η), η (a,b) и такая,

b

что: 1) |f(x,y)| ≤ g(x), a ≤ x < b, y Y; 2) ∫ g ( x)dx сходится, то ин-

							a
b
теграл ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на множестве Y.
a
Утверждение следует из неравенств
	b		b				b
	∫ f (x, y)dx		≤ ∫		f ( x, y)		dx ≤ ∫ g( x)dx .
	η		η				η
Теорема (переход		к пределу под					знаком интеграла). Пусть

− ∞ < a < b ≤ +∞ и функция f(x,y) определена и непрерывна на от- резке [a,b) по x для всех y Y. Если для любых η(a,b) функция f(x,y)

83

равномерно сходится к функции g(x) на отрезке [a,b -η] при y→y0,

b

интеграл ∫ f ( x, y)dx равномерно сходится на Y и интеграл

a

b

∫ g ( x)dx сходится, то имеет место равенство(рис. 4.4)

a

b b

lim ∫ f ( x, y)dx = ∫ g ( x)dx .
y→ y0	a	a

Рис. 4.4

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го

b

рода). Для равномерной сходимости интеграла ∫ f ( x, y)dx необ-

a

ходимо и достаточно, чтобы

η''

ε >0 δ>0 y Y η′,η′′ (b-δ,b): ∫ f (x, y)dx < ε .

η'

84

4.2.2. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)×[c,d] и

b

интеграл Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на [c,d] , то

a

этот интеграл является непрерывной функцией (рис. 4.5).

Рис. 4.5

4.2.3. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на

b

[a,b)×[c,d], интеграл Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на

a

bd

[c,d] , существует интеграл ∫dx∫ f ( x, y)dy , то

ac

d d b b d

∫Φ( y)dx = ∫dy∫ f ( x, y)dx = ∫dx∫ f ( x, y)dy .

c c a a c

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на

b

[a,b)×[c,d), интеграл ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на любом

a

d

[c,η] , интеграл ∫ f ( x, y)dy сходится равномерно на любом [a,ξ] и

c

85

d b

существует один из повторных интегралов ∫dy∫ f ( x, y) dx ,

c a

bd

∫dx∫ f ( x, y) dy , то существует и другой и выполняется равенст-

ac

во

d	b	b	d
∫dy∫ f ( x, y)dx = ∫dx∫ f ( x, y)dy .
c	a	a	c
4.2.4.	Дифференцирование интегралов,
		зависящих от параметра

Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)×[c,d] , то схо-

	b
димость интеграла	∫ f ( x, y)dx эквивалентна условию: для любой
	a
последовательности	ηk→b, η0=a , ηk [a,b)	сходится ряд

∞ ηk +1

∑ ∫ f ( x, y)dx . Аналогично для равномерной сходимости: равно-

k =0 ηk

b

мерная сходимость интеграла ∫ f ( x, y)dx на множестве Y эквива-

			a
	лентна условию: для любой		последовательности ηk→b, η0=a,
	ηk [a,b)	равномерно на	Y сходится функциональный ряд
	∞ ηk +1
	∑ ∫ f ( x, y)dx .
	k =0 η
	k
	Теорема. Пусть функции f(x,y) и			∂f	непрерывны на [a,b)×[c,d] .
				∂y
	b				b	∂f ( x, y)
	Если ∫ f ( x, y)dx сходится для всех y, а ∫						dx сходится рав-
	a				a	∂y

86

b

номерно на [c,d] , то функция Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx дифференцируема

				a
на этом отрезке и
	d	b	b	∂f ( x, y)
		∫ f ( x, y)dx = ∫			dx .
	dy	a	a	∂y

4.2.5. Функции Эйлера

∞

Гамма-функция Эйлера Г(p) = ∫ x p−1e−x dx , p > 0, непрерывна на

0

( 0 , ). Для доказательства этого утверждения разобьем интеграл

1 ∞

на два интеграла Г(p) = ∫x p−1e−x dx + ∫x p−1e− x dx . Докажем непре-

	0	1
	1	∞
рывность функций ∫x p−1e−x dx ,		∫ x p−1e−x dx на ( 0 , ). Из нера-
	0	1
1	1

венства ∫x p−1e−x dx ≤ ∫ xε−1e− x dx , p [ε , A], и сходимости интеграла

0	0
1
∫ xε−1e− x dx	по признаку Вейерштрасса следует, что интеграл
0
1

∫x p−1e−x dx сходится равномерно на [ε , A] и, следовательно, явля-

0

ется непрерывной функцией на этом множестве [ε , A].

Для доказательства непрерывности второго интеграла выпишем

∞ ∞

неравенство ∫ x p−1e−x dx ≤ ∫ x A−1e−x dx , p [ε , A]. Из сходимости

1	1
∞	∞

интеграла ∫x A−1e− x dx следует, что интеграл ∫x p −1e− x dx сходится

1 1

87

равномерно на [ε , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [ε , A].

Для гамма-функции Эйлера справедлива формула

( p)

∞

= ∫ x p−1e−xy dx.

(4.2)

p

y

0

Это равенство получается после замены x → xy . Действительно,

∞

∞

∞

(p) = ∫ x p−1e−x dx = ∫ y p−1x p−1e− xy ydx = y p ∫ x p−1e−xy dx .

0

0

0

1

Бета-функция Эйлера: В(p,q) = ∫x p−1 (1 − x)q−1 dx , p > 0 , q > 0 .

0

Сделаем замену x =

y

,

dx =

dy

, тогда

1 + y

(1+ y)2

∞

y

p−1

1

dy

∞

y

p−1

В(p,q) = = ∫

= ∫

dy ,

(1

+ y)

p−1

(1 + y)

q−1

(1 + y)

2

(1 + y)

p+q

0

0

откуда получается формула

∞

y

p−1

B( p, q) = ∫

dy.

(4.3)

(1

+ y)

p+q

0

4.2.6. Свойства функций Эйлера

( p + q)

∞

Из формулы (4.2) следует, что

∫ x p+q−1e− x(1+ y) dx .

=

(1 + y)

p+q

0

Умножая обе части этого равенства на y p −1 , получим равенство

y p−1

∞

( p + q)

= y p−1 ∫ x p+q−1e− xy e−x dx .

(1 + y) p+q

0

Далее интегрируем от 0 до ∞ :

88

	∞		y	p−1	∞	∞
	( p + q) ∫				dy = ∫ y p−1dy ∫ x p+q−1e− x( y+1) dx =
		(1	+ y) p+q
	0				0	0

∞∞

= ∫ xq−1e− x dx ∫( xy) p−1 e− xy xdy .

0 0

Откуда, используя (4.3), получим: B( p, q) = ( p) (q) . В част-

				( p + q)
∞	y	p−1		π
ности, B( p,1 − p) = ( p) (1 − p) = ∫			dy =		,0 < p < 1 .
	1 + y
0				sin pπ

Непосредственно из определения следует, что Г(1) = 1, Г(p+1) =

=p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что гамма-функцию

∞

достаточно знать на интервале (0, 1/2). Интеграл ∫ x p−1e−x dx схо-

0

∞

дится (p >0) , а интеграл ∫ x p−1 ln k x e− x dx сходится равномерно на

0

любом отрезке [ε , A ] для 0 < ε < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходи-

∞

мость интегралов ∫ x p−1 ln k x e− x dx .

0

Вокрестности нуля |ln x| ≤ C1 (δ) для δ > 0 существует C1(δ). В xδ

окрестности бесконечности |ln x| ≤ C2 (δ)xδ для δ > 0 существует

∞

C2(δ). Равномерная сходимость интеграла Г(k)(p)= ∫ x p−1 ln k x e− x dx

				0
на		любом отрезке [ε , A ]		следует из оценок
	∞		1	∞
	∫ x p −1 ln k x e− x dx		≤ ≤ ∫xε−1 | ln k x | e− x dx + ∫ x A−1 | ln k x | e− x dx ≤
	0		0	1

89

1 ∞

C1k (δ)∫ xε−kδ−1e− x dx + + C2k (δ) ∫x A+kδ−1e− x dx , для всех p [ε , A].

0 1

Здесь для ε >0 следует выбрать δ так, чтобы ε - k δ оставалось больше нуля.

4.2.7. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл

∫

x

∞

f ( x)

dx существует для любого A > 0, тогда справедлива формула

A

Фруллани

∞

f (ax) − f (bx)

b

∫

dx = f(0) ln

, (a>0, b>0).

0

x

a

Доказательство. b f ' ( xy)dy =

1

b d f ( xy) =

f (bx) − f (ax)

. Ин-

x

∫

∫

y

x

a

a

тегрируя последнее выражение, получим

∞

∞

b

b

∞

∫

f (bx) − f (ax)

dx = ∫dx∫ f '( xy)dy = ∫dy ∫ f ' (xy)dx =

0

x

0

a

a

0

b

dy

∞

b

dy

b

= ∫

∫ f ' (u)du = ∫( f (∞) − f (0))

= − f (0) ln

,

a

y

0

a

y

a

откуда и следует требуемое утверждение.

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

∞

α

∞

β

∫e−αx cos βx dx =

, α ≥ 0,

∫e−αx sin βx dx =

, α ≥ 0 .

α2 + β2

α 2 + β2

0

0

Другой способ вычисления этих интегралов: положим γ =–α+iβ, тогда

90