Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

∫∫

∂Q

∂P

∫

µD =

dxdy =

−

dxdy =

Pdx + Qdy .

∫∫

∂x

∂y

D

D

γ

Можно предложить три варианта таких функций:

1)

Q=x, P=0 и тогда µD = ∫ xdy ;

γ

2)

Q=0, P= − y и тогда µD = −∫ ydx ;

γ

3)

Q=

x

, P= −

y

и тогда µD = −

1

∫ ydx − xdy .

2

2

2

γ

Пример 2.7. Вычислить площадь астроиды, которая задается

	x = a cos	3
уравнением			t	График кривой показан на рис.
			, t [0,2π].
	y = b sin	3
			t
2.8.

Рис. 2.8

Решение. Воспользуемся формулой Грина для вычисления площади области, ограниченной астроидой

2π 2π

µD = ∫ xdy = ∫a cos3 t 3 b sin 2 t cos t dt = 3ab ∫cos4 t sin 2 t dt =

γ

0

0

41

		3	2π		3	2π	3
	=		ab ∫cos2 t	sin 2 2t dt =		ab ∫(1 + cos 2t) (1- cos 4t) dt =		π ab.
							8
	4		0	16		0

Пример 2.8. Вычислить площадь лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2-y2).

Решение. Уравнение лемнискаты в полярных координатах: r = acos 2ϕ (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Параметризация правой ветви для промежутка имеет вид

x =

y =

a cos 2ϕ cos ϕ , ϕ [− π , π ] .

a cos 2ϕ sin ϕ 4 4

Поэтому

π

µD = 2∫ xdy =

4

1

2 ∫ a2

cos 2ϕ cos ϕ(

(−2 sin 2ϕ) sin ϕ +

γ

−

π

2

cos 2ϕ

4

π

4

+

cos ϕ)d ϕ = −2a2 ∫ cos ϕ sin 2ϕ sin ϕ d ϕ +

cos 2ϕ

−

π

4

π

π

2

4

2

2

4

1 + cos 2ϕ

1 − cos 4ϕ

+2a

∫ cos 2ϕ cos

ϕ d ϕ = 2a

∫

cos 2ϕ

−

d ϕ =

−

π

−

π

2

4

4

4

π

2

4

1 + cos 2ϕ

1 − cos 4ϕ

= 2a

∫

cos 2ϕ

−

d ϕ =

−

π

2

4

4

42

π

4			1		1 + cos 4ϕ		1		cos 4ϕ
= 2a2 ∫				cos 2ϕ +		−		+		dϕ = a	2 π .
−	π		2		4		4		4
	4

2.3.3. Условия независимости интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Определение. Область называется односвязной, если ее грани- ца представляет собой связное множество. Область называется

n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей. Например, для области, показанной на рис. 2.10, произведем разрезы, соединяющие обе связные компоненты границы между собой. В качестве таких разрезов выбраны кривые γ2, γ7 и γ4, γ5. Каждая из этих пар представляет собой одну кривую, проходимую в разных направлениях, как это показано на рисунке. Таким обра-

зом, образовалось 4 контура: γ1, γ2, γ3, γ4; γ7, γ8, γ5, γ5; γ3–, γ6–; γ5, γ6, γ7, γ8.

Рис. 2.10

Тогда можно выписать цепочку равенств

∂Q

∂P

D ∫∫+D

∂Q

∂P

∂Q

∂P

−

dxdy =

−

dxdy =

−

+

∫∫D ∂x ∂y

∂x ∂y

∫∫D ∂x ∂y

1

2

1

43

∂Q

∂P

∫

∫

∫

∫

+

−

=

Pdx + Qdy +

Pdx + Qdy =

+

+

∫∫

∂x

∂y

D

γ +γ

2

+γ

+γ

4

γ

5

+γ

6

+γ

7

+γ

8

γ

γ

2

2

1

3

1

+ ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ = ∫ + ∫ =

γ3

γ 4

γ5

γ6

γ7

γ8

γ1 γ3

γ6

γ8

γ1+γ8

γ3 +γ6

= ∫Pdx + Qdy .

∂D

Теорема

1. Для

того

чтобы

криволинейный

интеграл

∫Pdx + Qdy не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и

γ

достаточно, чтобы ∂Q ≡ ∂P в области D.

∂x ∂y

Теорема 2. Для того чтобы криволинейный интеграл

∫Pdx + Qdy не зависел от пути интегрирования в D, необходимо

γ

и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Pdx+Qdy явля- лось полным дифференциалом некоторой непрерывно дифферен- цируемой функции u(x,y) в области D

du = Pdx+Qdy

Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно. Ранее был рассмотрен пример с ин-

тегралом ∫	xdy − ydx	, где	∂Q	= =	∂P	=	y 2 − x2	. В случае, когда
C x2 + y2			∂x		∂y		( x2 + y 2 )2

область содержит начало координат, полученная область является двусвязной, в частности, интегралы по контурам, содержащим начало координат, не равны нулю.

Замечание 2. При доказательстве теоремы 2 строится функция u(x,y)= ∫Pdx + Qdy , которая определяется с точностью до адди-

A0 A

44

тивной постоянной и называется потенциалом (скалярным) векторного поля V =(P,Q).

Пример 2.9. Решить дифференциальное уравнение

(f ( y)e x − my)dx + (f '( y)e x − mx)dy = 0 .

Решение. Для поля V = (P, Q) = (f ( y)ex − my, f '( y)e x − mx) будет

выполнено условие ∂P = f '( y)ex − m = ∂Q . В этом случае для

∂y ∂x

функции u(x,y)= ∫Pdx + Qdy выполняется равенство du=Pdx+Qdy

A0 A

и, следовательно, u(x,y)=const есть решение исходного дифференциального уравнения. Найдем функцию u. Пусть M =(x,y) текущая точка области и M0=(0,0). В качестве кривой, соединяющей точки

x t

M0 и M , выберем отрезок γ : , t [0,1] . Тогда y t

u( x, y) = u(M ) = ∫Pdx + Qdy =

γ

1		1
= ∫((f ( yt)e xt − myt )x + (f ' ( yt)e xt − mxt )y )dt = x∫ f ( yt)ext dt +
0		0
1	1	1

+ y∫ f ' ( yt)e xt dt − mxy = x∫ f ( yt)ext dt + ∫ext df ( yt) − mxy =

0	0	0
1		1

= x∫ f ( yt)ext dt + [ f ( y)e x − f (0)] − x∫ f ( yt)e xt dt − mxy =

0 0

= f ( y)ex − f (0) − mxy .

45

Глава 3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.1. Поверхностные интегралы 1-го рода

3.1.1.Площадь поверхности, заданной уравнением z=f(x,y)

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими

частными производными				∂f		,	∂f	в области D. Обозначим эти
				∂x
							∂y
производные p=	∂f	, q=	∂f		.	Уравнение касательной плоскости в
	∂x
			∂y

произвольной точке (x,y,z) имеет вид

Z– z = p (X – x)+q(Y–y).

Вэтом уравнении X, Y, Z – текущие точки плоскости. Нормали к

этой плоскости определяются координатами p, q, -1, N =±(p, q, -1).

Единичные нормали будут

.

Направляющие косинусы

n = N /

N

единичных нормалей представлены в таблице:

)

cos( n

, i )

cos( n

, j

cos( n

, k )

cos α

cos β

cos γ

±

p

±

q

1

1 + p2 + q2

1 + p2 + q2

1 + p2 + q2

Площадь поверхности z=f(x,y) определяется по формуле

µS= ∫∫

1 + p2 (x, y) + q2 (x, y)dxdy = ∫∫

N

dxdy .

D

D

Замечание 1. Для поверхности y=ϕ(x,z) аналогично получим формулу

µS= ∫∫		∂ϕ 2			∂ϕ		2
	1 +			+			dxdz .
Dy		∂x			∂z
		46

Для поверхности x=ψ(y,z) площадь будет равна

		∂ψ		2		∂ψ		2
µS= ∫∫
	1 +				+		dydz .
		∂y
Dx						∂z

Замечание 2. Для вычисления площади поверхности, не представимой ни в одном из видов z=f(x,y), y=ϕ(x,z), x=ψ(y,z), можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.

3.1.2. Площадь поверхности,заданной параметрически

Параметрическим заданием поверхности называется отображение следующего вида

x = x(u, v)

:y = y(u, v) , (u, v) D , z = z(u, v)

x(u, v), y(u, v), z(u, v) – непрерывно дифференцируемые функции в области D, а якобианы

A= D( y, z) , B= D( z, x) , C= D( x, y) D(u, v) D(u, v) D(u, v)

не обращаются в 0 одновременно (ни в одной точке области D). Нормалью к поверхности будет вектор

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x ∂y

i

j

k

∂x

∂y

∂z

N = [r

, r

]=

=

∂u ∂u

,

∂u

∂u

,

∂u ∂u

=

u

v

∂u

∂u ∂u

∂y ∂z

∂z

∂x

∂x ∂y

∂x ∂y ∂z

∂v

∂v

∂v

∂v

∂v ∂v

∂v

∂v

∂v

=(A,B,C).

При сделанных предположениях поверхность Ф будет квадрируема, и её площадь будет равна

µФ= ∫∫ N dudv = ∫∫ A2 + B2 + C 2 dudv .

D D

47

Если положить

2

∂x 2

∂y 2

∂z 2

E =

ru

=

+

+

,

∂u

∂u

∂u

2

∂x 2

∂y 2

∂z 2

G=

rv

= =

+

+

, F= (ru , rv ),

∂v

∂v

∂v

то EG – F2 = EG – EG cos2ϕ = =EG sin2ϕ =

[r

, r

]

2 . Тогда

u

v

µФ= ∫∫ EG − F 2 dudv .

D

Выражение

EG − F 2 dudv = A2 + B2 + C 2 dudv

или

1 + p2 + q2 dxdy в случае явного задания, называется элементом поверхности (точнее, площадью элемента поверхности).

3.1.3.Существование и вычисление интеграла 1-го рода

1.Поверхность Φ задана явно z = z(x,y), (x,y) D, где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка,

функция f(x,y,z) определена и непрерывна на Φ. Тогда существует интеграл ∫∫ f ( x, y, z)dS , равный

Φ

	∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫ f [x, y, z( x, y)]				dxdy , p=	∂z	, q=	∂z	.
				1 + p2 + q2
						∂x
	Φ	D						∂y
	2. Поверхность задана параметрически
			x = x(u, v)
		Φ:
			y = y(u, v) , (u, v) D ,
			z = z(u, v)
	с	непрерывно	дифференцируемыми			функциями

x(u, v), y(u, v), z(u, v) . Вектор N =(A,B,C) ≠ 0 в D, а функция f(x,y,z)

непрерывна на Φ. Тогда поверхностный интеграл существует и равен

48

∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫ f [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] A2 + B2 + C 2 dudv .

Φ D

3.1.4.Основные свойства интегралов 1-рода

1.∫∫dS =µΦ.

Φ

2. ∫∫(αf + βg )dS =α ∫∫ fdS +β ∫∫gdS .

	Φ						Φ	Φ
3.	∫∫ fdS = ∫∫ fdS + ∫∫ fdS .
	Φ1 Φ2	Φ1					Φ2
4.	∫∫ fdS ≤ ∫∫			f		dS .

ΦΦ

3.2. Поверхностные интегралы 2-го рода

3.2.1.Определение стороны поверхности

Для поверхностей, которые нам встречались до сих пор, можно ввести понятие стороны поверхности. Такие поверхности характеризуются как двухсторонние поверхности. Их можно выкрасить в два цвета так, что разные цвета не будут граничить между собой. Аналитически сторону поверхности можно определить как множество всех единичных нормалей к поверхности, таких, что любые две нормали данной стороны получаются одна из другой непрерывным движением по поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности.

Существуют поверхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности называются односторонними. Примером односторонней поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 3.1).

Рис. 3.1

49

Другим примером односторонней замкнутой поверхности является «бутылка» Клейна (рис. 3.2). Из любой точки этой поверхности можно попасть в ту же точку с другой стороны поверхности, двигаясь по некоторому непрерывному пути.

Рис. 3.2

Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей. Поверхность называется двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной точки поверхности при движении по любому замкнутому пути, лежащему на поверхности и выходящему из этой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют односторонней. Предполагается, что при движении вдоль пути нормаль изменяется непрерывно. Для листа Мёбиуса такой линией, например, является продольная пунктирная линия. Если произвести разрез по этой линии, то поверхность не распадется на две части, как это может показаться на первый взгляд, а останется единой (рис. 3.4).

50