Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

называется линия, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с вектором V .

Определение. Совокупность всех векторных линий данного по- ля, проходящих через некоторый контур, называется векторной трубкой (рис. 3.18).

Рис. 3.18

x = x(t)

Векторная линия y = y(t) есть решение системы z = z(t)

x' = P(x, y, z)

y' = Q( x, y, z) . z' = R( x, y, z)

Количество жидкости, протекающей через малую площадку S, перпендикулярную потоку жидкости, за единицу времени равно

	| V | t S				Для наклонной площадки это количество будет
		=| V | S .
	t
				cos(V , n) S = (V , n) S (рис. 3.19).
		V
равно

Рис. 3.19

71

Составляя интегральные суммы вида ∑(n,V ) Sk и переходя

k M k

к пределу, можно получить выражение для количества жидкости, протекающей через ориентированную поверхность Ф в направлении ее нормали в единицу времени. Эта величина называется потоком векторного поля V через ориентированную поверхность Ф, и она равна интегралу

∫∫ (V,dS).

Φ

Формула Остроградского–Гаусса

∫∫∫	div V dW = ∫∫ (V,dS)
W	∂W

связывает количество вытекающей жидкости через границу области с тройным интегралом от дивергенции. Возьмем в качестве области шар, стягивающийся в точку. Тогда для потока через его границу получим

∫∫	(V,dS)= ∫∫∫				W,
		div V dW =div V		M
					θ
∂W	W

откуда при переходе к пределу получается выражение для дивергенции векторного поля в заданной точке области:

∫∫(V , dS )

div V = lim	∂W	.

W →M 0 W

Величина справа имеет смысл обильности источника. Таким образом, неравенство нулю дивергенции означает наличие в данной точке источника или стока в зависимости от знака дивергенции.

72

Известно, что поток векторного поля магнитной индукции B через замкнутую поверхность ∂W всегда равен нулю

∫∫(B, dS )= 0. Отсюда следует, что divB = 0 (уравнение Максвелла)

∂W

и, таким образом, в природе не существует источников магнитного поля (магнитных зарядов).

В терминах потока жидкости можно сформулировать и формулу Стокса. Предположим, что векторное поле скоростей стационарного потока жидкости является соленоидальным. Тогда поток этого векторного поля через заданную поверхность равен циркуляции векторного потенциала этого поля по краю этой поверхности в направлении, согласованном с направлением потока через поверхность. Например, для векторного поля напряженности магнитного

поля H будет выполнено ∫(H , ds)= ∫∫(rotH , dS )= I , циркуляция

∂Φ Φ

напряженности магнитного поля по краю поверхности Ф равно полному току I , протекающему через поверхность Ф (уравнение Максвелла).

Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным, необ-

ходимо и достаточно, чтобы div V = 0.

Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W1 = W + +grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u(x,y,z).

Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен (рис. 3.20).

Рис. 3.20

73

3.6.Дифференциальные операторы

3.6.1.Дифференциальные операторы 1-го порядка

1. Оператор набла = i

∂

+ j

∂

+ k

∂

.Этот оператор дейст-

∂x

∂y

∂z

вует на скалярное поле по правилу

u= i

∂u

+ j

∂u

+ k

∂u

= grad u.

∂x

∂y

∂z

Свойства оператора набла:

1)(α u + β v) = α u + β v ;

2)(uv) = v u + u v ;

	u			v u − u v
3)			=		;
				v2
	v

4) f(u) = f′(u) u.

Пример 3.15. Найти r .

, r =

r

.

Решение. r = x i + y j + z k

, r =

x2 + y2 + z 2

r

Пример 3.16. Найти grad

1

.

r3

Решение. grad

1

=

1

= −

3

r = − 3

r

.

r3

r3

r 4

r5

Пример 3.17. Вычислить grad

1

.

r

r

r

Решение. grad

1

=

1

= −

1

r = −

1

= −

. Таким обра-

r

r

r 2

r 2

r

r3

r

зом, гравитационное поле V = −m

потенциальное и его потенци-

r3

ал равен m 1 . r

74

2. Дивергенция div V = (

,V ) =

∂P

+

∂Q

+

∂R

, V=(P,Q,R).

∂x

∂y ∂z

Свойства оператора:

1) ( ,αV+βW ) =α( ,V )+β ( ,W );

2) ( ,fV ) =f ( ,V )+ ( f,V ).

Пример 3.18. Вычислить div

r

.

r3

Решение.

div

r

= ( ,

r

)=

1

( , r )+(

1

, r )=

3

+( − 3

r

, r ) = 0.

r3

r3

r3

r 3

r3

r5

Пример 3.19. Пусть

r = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) , r =

( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 , где (x0,

y0, z0) – фиксированная точка. Доказать, что div

r

=

2

.

r

r

r

Решение. Векторное поле

V будет равно

V =

= (P,Q,R)=

r

			x − x								y − y			z − z
												0			0
=			0							,			,
		( x − x )2	+ ( y − y	0	)2	+ (z − z	0	)2			r			r
		0

Для производный получим

.

∂P 1

(x − x )2

∂Q 1

( y − y

0

)2

∂R 1

(z − z

0

)2

=

−

0

,

=

−

,

=

−

,

∂x r

r

3

∂y

r

r

3

∂z

r

r 3

откуда следует требуемое равенство.

Пример 3.20 . Доказать, что

r = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) и точка

∫∫∫	dxdydz	=	1	∫∫cos(r , n)dS , где
	r
W		2		∂W

M 0 (x0 , y0 , z0 ) не лежит на границе

75

области. Отметим, что cos(r, n)=	r	, n .
r

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда точка М0 не лежит в области W. Тогда по формуле Остроградского–Гаусса

		r				r				r
∫∫cos(r	, n)dS = ∫∫			, n dS = ∫∫				, dS	= ∫∫∫div		dxdydz =
∂W	∂W	r			∂W	r			W	r

=∫∫∫W 2r dxdydz .

Вслучае, когда М0 лежит внутри области W , окружаем ее сферой достаточно малого радиуса ε так, чтобы она целиком лежала внутри W. Эту сферу, ориентированную отрицательно, обозначим

Фε . Шар радиуса ε с центром в М0 обозначим Kε . Через Wε обозначим область W, из которой удалена шаровая полость Kε . К области Wε можно применить формулу Остроградского–Гаусса:

		r				r				r
∫∫cos(r	, n)dS = ∫∫			, n dS = ∫∫				, dS	= ∫∫∫div		dxdydz =
∂W	∂W	r			∂W	r			W	r
ε	ε				ε				ε

= ∫∫∫2r dxdydz .

Wε

С другой стороны,

r

r

r

r

r

∫∫

, dS = ∫∫

, dS + ∫∫

, dS =

∫∫

, dS

+ ∫∫

∂W

r

∂W

r

Φ

r

∂W

r

Φ

r

ε

ε

ε

= ∫∫

r

− ∫∫dS = = ∫∫

r

, dS

, dS − 4πε2 .

∂W

r

Φε

∂W

r

∫∫

r

r

Таким образом,

, dS → ∫∫

, dS

при ε→0 .

∂W

r

∂W

r

ε

r

,− dS = r

76

Аналогично, для тройного интеграла

∫∫∫

2

dxdydz = ∫∫∫

2

dxdydz - ∫∫∫

2

dxdydz .

r

r

W

W

K

r

ε

ε

Интеграл ∫∫∫

2

dxdydz будет стремиться к 0 при ε→0.

r

Kε

π

π

2π

2

ε

2π

2

ε

2

∫∫∫

2

dxdydz = 2

∫ dϕ ∫ dθ∫

1

ρ2 cos θdρ = 2 ∫dϕ ∫

cos θdθ =

Kε

r

0

−

π

0 ρ

0

−

π

2

2

2

= 4πε2 .

3. Ротор rot V = [ ,V].

Свойства оператора:

1)[ ,αV+βW ] =α[ ,V ]+β [ ,W ];

2)[ ,fV] =f [ ,V])+[ f, V].

3.6.2.Дифференциальные операторы 2-го порядка

Вэтом пункте перечисляются наиболее употребительные дифференциальные операторы второго порядка.

1.rot grad u = [ , u]= 0.

2.div rot V = ( ,[ ,V]) = 0.

Определение 1. Оператор Лапласа обозначается						u и опреде-
ляется по формуле	u = div grad u = ( , u) =	∂ 2u			+	∂ 2u	+	∂2u	.
		∂x	2			∂y 2		∂z 2
Определение 2. Функция u называется гармонической в неко-
торой области, если	u =0 в этой области.

3. grad div V.

77

4. rot rot V.

Пример 3.21. Найти поток вектора гравитационного поля то-

	чечной массы, расположенной в начале координат V= − m	1	r, че-
		r3

рез замкнутую поверхность Ф, не проходящую через начало координат в направлении внешней нормали.

Решение. В примере 3.18 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат. В случае, когда гравитационная масса находится внутри области D, ограниченной поверхностью Ф, рассмотрим сферу S с центром в начале координат, целиком лежащую в области D, и ориентированной внутренней норма-

лью (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Тогда поток V через границу области с границей Ф + S (область D с шаровой полостью) будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен

r

r

r

∫∫(V , dS ) = − ∫∫(V , dS ) = − ∫∫(V ,

)dS =

= m∫∫

3 ,

dS

Φ

S

S

r

S

r

r

= = m∫∫

1

dS = m

1

µS =4π m .

2

2

S

r

ε

Пример 3.22. Доказать, что ∫∫

∂u

dS = ∫∫

u dxdydz .

S

∂n

V

Решение.

∂u

=(grad u , n) , откуда из равенства

u = div grad u и

∂n

78

формулы Остроградского–Гаусса следует требуемое равенство. Замечание. Количество тепла, протекающее в поле температуры

u за единицу времени через поверхность Ф в направлении ее нормали (поток градиента температуры), равно Q= − k ∫∫( u, dS ) , где k

Φ

– коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле Остроградского–Гаусса

− k ∫∫( u, dS ) = = −k ∫∫∫ u dxdydz . Эта величина имеет смысл коли-

Φ D

чества тепла, накопленного телом за единицу времени.

Глава 4. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

4.1.1. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра

x2 ( y)

Рассмотрим интеграл F(y) = ∫ f ( x, y)dx для области типа B,

x1 ( y )

D={(x,y):x1(y)≤x≤x2(y), y [c,d]}. Предполагается, что f определена в некоторой прямоугольной области R, содержащей D, как показано на рис. 4.1 (D – замкнутая), x1(y), x2(y) – непрерывные функции, определенные на [c,d].

Рис. 4.1

79

Теорема. Если f непрерывна на R , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].

Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для лю- бого y Y . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b]

при y→ y0, если

ε >0δ >0 x [a,b] y Uδ(y0): |f(x,y) - g(x)|<ε .

Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной последовательности fn ( x) , где вместо дис-

кретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y .

Теорема 1 (аналог теоремы о непрерывности предельной функ- ции, равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y→y0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Теорема 2 (аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что то же самое, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функ- ций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y→y0 , то

b b

lim ∫ f ( x, y)dx = ∫ g ( x)dx .
y→ y0	a	a

4.1.2. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра

Предположим, что область является областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы (рис. 4.2):

x2	( y)	d
F(y) =	∫ f ( x, y)dx , ∫ F ( y)dy = ∫∫ f ( x, y)dxdy ;
x1	( y )	c	D
y2	( x)	b

G(x)= ∫ f ( x, y)dy , ∫G( x)dx = ∫∫ f ( x, y)dxdy .

y1( x) a D

80