Задание 5
Выполнение этого задания требует знания производственных функций.
Типовой пример:
Пусть дана производственная функция:
y = -2x²+3x+2,
где у – выпуск продукции,
х – ресурс, используемый в производстве.
Определить:
объём выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов;
границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции;
среднюю и предельную производительность ресурса, эластичность ресурса.
Решение:
Объём выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов, то есть кроме затраченного ресурса (х=0) равен у=2, то есть это та часть объёма выпускаемой продукции, которая формируется за счет прочих факторов.
Определим границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции. Для этого решим уравнение:
-2x²+3x+2=0.
Получили,
что
=-
0,5;
=
2.
Зона
[-0,5;0] не учитывается в исследовании, так
как ресурс х не может быть меньше 0.
А вот граница от 0 до 2 – это та самая зона, в пределах которой ресурс х может использоваться.
Теперь определим среднюю производительность:
.
Предельная
производительность
,
приравниваем частную производную к 0
(v=0),
тогда х=0,75
– количество ресурса, при котором у
достигает своего максимума у=3,125.
Найдем вторую производную: d²х=-4<0, следовательно, предельная эффективность ресурса уменьшается с каждой дополнительной единицей. А в точке с координатами (0,75; 3,125) будет достигаться максимум, при этом предельная эффективность v=0, то есть ресурс отдает себя полностью для формирования максимального объёма производства.
Проверим, например, при х=1, тогда у=3, то есть даже если ресурс будет перерасходоваться, объём производства будет уменьшаться.
Найдем эластичность:
.
Выпуск по ресурсу эластичен, так как Е<1 при х>0. это означает, что процентное изменение количества выпускаемой продукции меньше, чем затрат живого труда.
Задание 6
Выполнение этого задания требует составления модели поведения потребителей.
Типовой пример:
Пусть функция полезности потребителей на множестве двух товаров выражается целевой функцией полезности вида:
.
Цена
первого товара
= 43, второго
= 59, уровень доходаD =
1200. Найти численное значение функции
полезности.
Решение:
Функция полезности это отношение между объёмами потребляемых товаров и уровнем удовлетворённости потребителя.
Строим бюджетное ограничение, которое указывает, что доход потребителя должен быть равен расходам по приобретению товаров:
.
Подставляем значения, заданные по условию задачи:
.
Рассчитаем
предельные полезности:
,
которые показывают прирост полезности
при потреблении дополнительной единицы
товара.
Для
первого товара (i=1)
u1
=
,
для
второго товара (i=2)
u2
=
.
Необходимое условие оптимальности вектора У представляется условием Куна-Таккера:
,
подставляем все известные данные и получаем:
.
Решим данное уравнение вместе с бюджетным ограничением. Получим систему линейных уравнений:
.
Отсюда
= 9,69,
= 13,28 – оптимальные размеры покупок двух
товаров при заданном уровне дохода.
Находим численное значение функции полезности:
.
Определить сколько следует выделить средств на приобретение первого ресурса, сколько на приобретение второго. Таким образом, для покупки первого товара следует выделить:
.
А для покупки второго товара следует выделить:
.
Таким образом, найдены оптимальные размеры двух видов товаров, при покупке которых потребитель получит максимальную полезность и удовлетворение.