Paragraf_5

					1		2
					1		2
sin(ab )														.	(5.17)
			2			2			2			2
			1	2			1					2

Проведем аналогичные выкладки для cos ab :

				1 1 2 2
cos ab								.	(5.18)
			12 22			12 22

Формула (5.18) для вычисления косинуса ориентированного угла совпадает с соответствующей формулой для вычисления неориентированного угла между векторами

(см. § 4). Такое совпадение объясняется тем, что значения косинусов ориентированных и

неориентированных углов между векторами одинаковы.

Выведем формулы перехода	от	одного прямоугольного	декартового базиса к
другому. Будем предполагать, что	нам даны два таких базиса: i , j			и i , j , причем
ориентация плоскости определена с		помощью первого из	них.	Прямоугольные

декартовые базисы – частные случаи афинных. Поэтому формулы перехода имеют вид

(5.3). Напомним, что коэффициенты a1,a2 и b1,b2 этих формул равны соответственно

координатам векторов i , j в базисе i , j : i {a1;a2}, j {b1;b2}. Покажем, что в данном

случае эти координаты зависят только от одного параметра - ориентированного угла

ii .

Рассмотрим первый случай. Базисы i , j

и i , j имеют одинаковую ориентацию.

. Из соотношений (5.15) следует, что

Поэтому i j

2

a1

i

cos(ii ) cos ,a2

i

sin(ii ) sin ,

j

j

b1

cos(ij ) cos(ij),b2

sin(ij) sin(ij).

Далее воспользуемся соотношениями (5.14):

cos(ij

) cos(ii

) cos

sin ;

i j

2

sin(ij

) sin(ii

i

) sin

cos .

j

2

11

Таким образом, вектор

j имеет координаты

j{ sin ;cos }, формулы перехода равны:

1

1 cos 2 sin ,

(5.19)

2

1 sin 2 cos .

Во втором случае

данные базисы

.

имеют различные ориентации. i j

2

Координаты вектора i

имеют такой же вид,

;sin }.

что и в первом случае: i {cos

Oпределим координаты

j :

b1

j

cos(ij

) cos(ii

) cos(

) sin ,

i j

2

b2

j

sin(ij

) sin(ii

) sin(

) cos .

i j

2

Поэтому формулы перехода в этом случае имеют вид:

1

1 cos 2 sin ,

(5.20)

2

1 sin 2 cos .

Формулы (7.9) и (7.10) можно объединить:

1

1 cos 2 sin ,

(5.21)

2

1 sin 2 cos .

где = 1, если ориентации базисов одинаковы, и = -1, если они различны.

12