Пример решения задачи 11

Настоящая задача относится к задачам на расчет вала, испытывающего одновременно изгиб и кручение. Подобные задачи часто возникают при расчете различных передач (ременных, зубчатых, фрикционных).

Условие.Рассмотрим решение задачи по варианту, соответствующему шифру 000. По табл. 5 принимаем: схему 10 (см. рис. 10, 11,а); Р₁ = 100 кВт; ω = 100 рад/с; а = 1 м;b= 0,9 м; с = 1,3; D₁ = 0,5 м;D₂= 0,3 м; [σ] = 160 МПа.

Решение. Определим крутящие моменты, действующие на шкивы:

Т₁ = Р₁ /ω = 10⁵ / 100 = 10³ Нм = 1,0 кНм;

Т₂= Р₂ /ω = 5 · 10⁴ /100 = 5 · 10² Нм = 0,5 кНм.

По полученным значениям построим эпюру крутящих моментов Т по длине вала (рис. 11, б).

Рис. 11

Определим силы, воспринимаемые валом в результате действия натяжения ремней в вертикальной плоскости:

Т₁ = (F₁ − f₁) D₁/2 = (2f₁ − f₁) D₁/2,

откуда

f₁= 2T₁/D₁= 2·10³/0,5 = 4·10³Н = 4 кН.

Определим реакции в опорах в вертикальной плоскости YOZ:

∑М_А (_i) = 0;

3f₁∙ (a+b) − R_Bу ∙ (а + с) = 0;

R_Bу = ;

∑М_B (_i) = 0;

3f₁∙ (2a+b+c) −R_Ay ∙ (а + с) = 0;

R_Аy ==

Проверка:

∑F_у= 0;

− 3 f₁+R_Аy−R_Вy= − 3 ·4 + 21,9 − 9,9 = 0.

Составим уравнения для определения изгибающих моментов на участках вала. Вал разделим на два участка. Наличие двух ведущих шкивов не учитываем, так как на них действуют силы в горизонтальной плоскости.

М_х^I= − 3f₁·z;

М_х^I|_{z = 0}= 0;

М_x^I|_{z= a + b}= − 3f₁∙ (a+b) = − 3 · 4∙ (1 + 0,9) = − 22,8 кНм.

М_x^II = − 3f₁ · z + R_Аy = (z − (a +b));

М_x^II|_{z = a + b} = − 3f₁ · (a + b) = − 22,8 кНм;

М_x^II|_{z = 2a + b + c} = − 3f₁∙ (2a + b + c) + R_Ay · (2а + b + c − (a + b)) =

= − 3 · 4∙ (2 · 1 + 0,9 + 1,3) + 21,9 (1 + 1,3) = 0.

Определим силы, воспринимаемые валом в результате действия натяжения ремней в горизонтальной плоскости:

Т₂ = (F₂ − f₂) · = (2f₂ − f₂) · ;

f₂= =3,3 кН.

Определим реакции в опорах в горизонтальной плоскости XOZ:

∑M_A (F_i) = 0; 3f₂ · b – 3f₂ · c + R_Bx· (a + c) = 0;

R_Bx = ;

∑M_B (_i) = 0;

3f₂ (a + b + c) − R_Ax (a + c) + 3∙f₂∙a = 0;

R_Ax =

Проверка:

∑F_x= 0;

− 3f₂+R_Ax − 3f₂+R_Bx= − 3 · 3,3 + 1,7−3 · 3,3 + 18,1 = 0.

Составим уравнения для определения изгибающих моментов от горизонтально направленных сил. Вал разобьем на четыре участка.

M_y^I = 0;

М_y^II = − 3f₂· (z − a);

M_y^II|_{z = a} = 0;

М_y^II|_{z = a + b} = − 3f₂·b = − 3 · 3,3 · 0,9 = − 8,9 кНм;

М_У^III = − 3f₂ · (z − a) + R_Ax· (z − (a + b));

М_y^III|_{z = a + b + c} = − 3f₂· (b + c) + R_Bx ·c = − 3 · 3,3· (0,9 + 1,3)·18,1·1,3 = 1,8 кНм;

М_У^IV = − 3f₂ · (z − a) + R_Ax · (z − (a + b)) − 3f₂ · (z – (a + b + c));

М_y^IV|_{z = 2a + b + c} = − 3f₂· (a + b + c) + R_Ax· (a + c) − 3f₂ ·a =

= − 3 · 3,3 · (1 + 0,9 + 1,3) + 18,1· (1 + 1,3) − 3 · 3,3 · 1 = 0.

По результатам вычислений моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях построим эпюры М_Xи М_У.

По эпюрам М_xи М_yвычислим значения суммарных изгибающих моментов, используя равенство

М = .

Вычислим значение суммарного изгибающего момента на границах участков:

М|_z=0 = 0;

М|_{z = a} = 12 кНм;

М|_{z = a + b} = = 24,5 кНм;

М|_{z = a + b + c} = = 10 кНм;

М|_{z = 2a + b + c} = 0.

Как следует из совместного рассмотрения эпюр Т и М, опасное сечение вала расположено на опоре А. Вычислим эквивалентный момент, соответствующий этому сечению:

М_{А экв}=== 24,5 кНм.

Из условия прочности

определим момент сопротивления сечения вала:

W=

Зная, что момент сопротивления Wпри изгибе круглого сечения равен 0,1d³, определим диаметр вала:

d=

В соответствии с ГОСТ 6936–69 принимаем окончательно d= 120 мм.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов.-19-е изд., стер.-М.: Высш.шк., 2009.- 416 с.: ил.

2. Сопротивление материалов: учеб.пособие/З.А.Наседкина, А.В.Песков, А.В. Шитиков.Екатеринбург: Изд-во ГОУ ВПО «Рос.гос.проф.-пед.ун-т», 2008, 135 с.

3. Колегова Е.Д., Наседкина З.А. Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов». Екатеринбург: изд-во Рос.гос.проф-пед.ун-та, 2005.107 с.

Дополнительная:

1. Никитин Е.М. Теоретическая механика для техникумов.- 12-е изд., испр.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988.- 336 с.

2. Эрдеди А.А. и др. Техническая механика: Учеб. для техникумов / - 2-е изд. перераб.- М., Высш. школа, 1980.- 446 с., ил.

3. Ицкович Г.М., Минин Л.С.,Винокуров А.И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. Л.С. Минина.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк., 2001.- 592 с.: ил.

Задания и методические указания

для выполнения контрольных работ по дисциплине

«Теоре­тическая и прикладная механика»

и по дисциплине «Техническая механика»

(ГОС-2000).

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. ____ . Уч.- изд. л.___ . Тираж____ экз. Заказ____

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

7