Пример решения задачи 6

Условие.Однородный каток В весом Q=3,5 кН и радиусомRпомещен на гладкую плоскость, составляющую с горизонтом угол=30⁰, соединен гибкой невесомой и нерастяжимой нитью с грузом А, вес которого Р=1,5 кН (рис. 14). Груз А перемещается по шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом=30⁰. Нить переброшена через невесомый блок О радиусомr=20 см. К оси с катка В приложена силаF, линейно зависящая от величины перемещения s: F=8,5+0,2s(кН).Каток катится без скольжения; коэффициент трения скольжения груза о плоскостьf=0,1, момент сил сопротивления в подшипнике блока М=200 Нм. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину s=2,5 м.В начальный момент система находилась в покое.

Рис. 14

Решение:

1. Изобразим механическую систему, состоящую из катка В, блока О, груза А и нити, в промежуточный момент времени. Система действующих на нее сил включает активные силыQ,P,F, момент трения М в блоке О и реакции связейN_A,N_B,F_сц,F_тр,R_x,R_y.

2. Запишем формулу, выражающую теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме:

(1)

где T₁,T₀–кинетическая энергия механической системы соответственно в конечный и начальный моменты времени;–суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, действующих в данной системе.

Рассматриваемая механическая система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных идеальной нитью. Для таких систем с идеальными связями сумма работ всех внутренних сил равна нулю, т. е.

(2)

3. Найдем кинетическую энергию механической системы в начальном и конечном положениях.

По условию задачи система в начальный момент времени находилась в покое; следовательно, ее кинетическая энергия в этот момент равна нулю (T₀=0).

Кинетическую энергию груза А, движущегося поступательно, вычислим как

,

где  –масса груза А; –скорость груза.

Кинетическая энергия катка В, совершающего плоское движение, определяется как

,

где  – масса катка В;v_C –скорость центра масс С катка,; –момент инерции катка относительно осиz, проходящей через его центр масс;_В– угловая скорость катка,.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в нее:

(3)

4. Найдем сумму работ всех внешних сил системы на соответствующих перемещениях точек их приложения:

.

Работы сил и равны нулю, так как направления этих сил составляют прямой угол с направлениями перемещений точек их приложения.

Работа силы сцепления F_сцравна нулю, поскольку приложена к точке катка, совпадающей в данный момент времени с мгновенным центром скоростей (каток движется без проскальзывания).

Работы реакций R_xиR_уравны нулю, так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Работы силF, Р,Q,F_три пары сил с моментом М определим следующим образом:

После суммирования получим

. (4)

Подставляя выражения (2) –(4) в формулу (1), получим

.

Отсюда искомая скорость груза А, в момент, когда он переместится на расстояние 2,5 м, определяется как

2. Контрольная работа по сопротивлению материалов Задача 7. Тема «Растяжение – сжатие»

Условие.Произвести расчет стержня постоянного сечения (рис. 1) на прочность и жесткость. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ] = 210 МПа и модулем Юнга Е=2,1·10⁵ МПа. Требуется:

 вычислить продольные силы на участках стержня и построить эпюру продольных сил N по его длине;

 определить размеры поперечного сечения (сторону квадрата или диаметр);

 вычислить нормальные напряжения на участках стержня и построить эпюру нормальных напряжений σпо его длине;

 вычислить деформации участков стержня и построить эпюру перемещений δ.

Исходные цифровые данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Цифра шифра	Параметр	Цифра шифра
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1-я	1, м	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3
	2, м	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4
	3, м	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	2.0
	4, м	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3
2-я	F1, МН	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
	F2, МН	2,1	2,2	2,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	F3, МН	2,0	1,9	1,8	1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1
3-я	Номер схемы (рис. 1)	10	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Форма сечения	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат

Рис. 1. Схемы к задаче 7