12.1 12.2

12.3 12.4

12.5 12.6

12.7 12.8

12.9 12.10

12.11 12.12

12.13 12.14

12.15 12.16

12.17 12.18

12.19 12.20

13. Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

13.1 . 13.2 .

13.3 . 13.4 .

13.5 . 13.6 .

13.7 . 13.8

13.9 . 13.10 .

13.11 (2+x)ⁿ. 13.12

13.13 . 13.14 .

13.15 13.16 .

13.17 2^–n(x+2)ⁿ. 13.18 .

13.19 . 13.20 .

14. а) Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

14.1 а)

14.2 а) y(0) = 3; = 0,5

14.3 а) 4y″ – xy = –3(x + 1)sin;y(0) = 0; = 1,5

14.4 а) y″ + xy′ – y = –xe^–x – 1 ; y(0) = 2 ; = 0

14.5 а) y″ + y′(x+2) = –2(x+2) ; y(0) = 0; = 1,5

14.6 а) y(0) = 0 ; = –2

14.7 а) ; y(0)=0 ; =1

14.8 а) =1

14.9 а) ; y(0) =;= 0

14.10 а) ;y(0) = 0; = 0

14.11 а) ;y(0) = 1 ; =1,5

14.12 а) ; y(0) = 0; = 1,5

14.13 а) ;y(0) = ;=

14.14 а) ;y(0) = 0 ; =–0,5

14.15 а)

14.16 а)

14.17 а)

14.18 а)

14.19 а) ;y(0) = 2; =–1

14.20 а) (x+1) y″ + y′ = –1; y(0) = 0; = –

14. б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

14.1 Б) 14.2 б)

14.3 б) 14.4 б)

14.5 б) 14.6 б)

14.7 б) 14.8 б) x²cos3xdx

14.9 б) 14.10 б)

14.11 б) 14.12 б)

14.13 б) 14.14 б)

14.15 б) 14.16 б)

14.17 б) 14.18 б)

14.19 б) 14.20 б) sin x²dx

15. Дана функция двух переменных . Найти:

1) экстремум функции ;

2) в точкеА(1; –2);

3) наибольшую скорость возрастания в точкеА(1; –2).

15.1 .

15.2 .

15.3 .

15.4 .

15.5 .

15.6 .

15.7 .

15.8 .

15.9 .

15.10 .

15.11 .

15.12 .

15.13 .

15.14 .

15.15 .

15.16 .

15.17 .

15.18 .

15.19 .

15.20 .

16. а) Найти объем тела, ограниченного параболоидом, цилиндром , через тройной интеграл, применяя цилиндрическую систему координат.

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16. б) Найти объем тела, ограниченного сферой и конусом, через тройной интеграл, применяя сферическую систему координат.

16.11

16.12

16.13

16.14

16.15

16.16

16.17

16.18

16.19

16.20

17. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры (в задачах 17.1–17.10 взять меньшую по площади), ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5

17.6

17.7

17.8

17.9

17.10

17.11

17.12

17.13

17.14

17.15

17.16

17.17

17.18

17.19

17.20

18. Вычислить работу, совершаемую переменной силой по контуру, связывающему точкиМ(1; 2) и N(3; 5), и установить независимость от пути интегрирования.

18.1 .18.2 .

18.3 .18.4 .

18.5 .18.6 .

18.7 .18.8 .

18.9 .18.10.

18.11 .18.12 .

18.13 .18.14 .

18.15 .18.16 .

18.17 .18.18 .

18.19 .18.20 .

19. Найти циркуляцию векторного поля вдоль линии пересеченияL плоскости с координатными плоскостями непосредственно и по формуле Стокса (точка пробегает полученную линию против часовой стрелки, если смотреть из начала координат).

19.1

19.2

19.3

19.4

19.5

19.6

19.7

19.8

19.9

19.10

19.11

19.12

19.13

19.14

19.15

19.16

19.17

19.18

19.19

19.20

20. Дано векторное поле и точки,и.

1) Показать, что поле – потенциальное.

2) Найти потенциал , если известно, что, гдеп – номер варианта.

3) Найти работу поля между точками и,и,ии найти циркуляцию по контуру.

20.1

20.2

20.3

20.4

20.5

20.6

20.7

20.8

20.9

20.10

20.11

20.12

20.13

20.14

20.15

20.16

20.17

20.18

20.19

20.20

21. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью(= 1, 2, 3, 4, 5).

.

21.1	21.2
21.3	21.4
21.5	21.6
21.7	21.8
21.9	21.10
21.11	21.12
21.13	21.14
21.15	21.16
21.17	21.18
21.19	21.20

22.1 Инженер высылает запрос на запасные части в 3 города А, Б, В. Вероятность получения запчастей из города А равна 0,4; из Б – 0,6; В – 0,5. Какова вероятность, что запчасти будут получены: а) из всех городов, б) не менее, чем из двух городов, в) хотя бы из одного города, г) ни из одного города, д) только из одного города.

22.2 В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Куплены 3 билета. Какова вероятность, что: а) все три билета выиграют (вещь или деньги), б) не будет ни одного выигрыша, в) хотя бы один билет выиграет, г) не менее двух билетов выиграют, д) только один билет выиграет.

22.3 Известно, что продукция завода состоит из 75% упаковок кабелей 1 сорта. Какова вероятность, что при случайном отборе 4-х кабелей окажутся 1-го сорта: а) три упаковки, б) не менее трех упаковок, в) хотя бы одна упаковка, г) ровно одна упаковка, д) не более одной упаковки.

22.4 В телестудии 4 камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она в данный момент включена, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) все камеры, б) не менее двух камер, в) хотя бы одна камера, г) ровно одна камера, д) ни одна камера не включена.

22.5 Вероятность, что первая строительная организация перевыполнит план, равна 95%, вторая – 75%, третья – 55%. Найти вероятность того, что план перевыполнят: а) все три организации, б) хотя бы одна организация, в) хотя бы две организации, г) только одна организация, д) ни одна организация не выполнит план.

22.6 В насосной станции работают независимо друг от друга 3 насоса. Вероятность того, что в течение часа любой из них выйдет из строя, равна 0,4. Какова вероятность, что в течение часа: а) выйдет из строя хотя бы один насос, б) не менее двух насосов, в) не выйдет из строя ни один насос, г) выйдет менее двух насосов, д) выйдет более одного насоса.

22.7 В валовой продукции завода стандартных деталей в 2 раза больше, чем нестандартных. Наугад берётся 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них будет стандартных: а) ровно три, б) не менее четырех, в) хотя бы одна, г) не более двух, д) ровно одна.

22.8 Вероятность, что первое хозяйство получит новую автомашину, равна 0,7; что получит второе – 0,8; третье – 0,4. Какова вероятность, что новые машины: а) получат все три хозяйства, б) не получит ни одно хозяйство, в) получит только одно хозяйство, г) получит хотя бы одно хозяйство, д) получат любые два хозяйства.

22.9 40% приобретенных аппаратов требуют гарантийного ремонта. Приобретены 5 аппаратов. Какова вероятность, что гарантийного ремонта потребуют: а) три аппарата, б) не менее трех аппаратов, в) не более двух аппаратов, г) ровно два аппарата, д) все пять аппаратов.

22.10 Вероятность того, что первый фермер уберёт урожай в срок, равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что урожай уберут в срок: а) все фермеры, б) не менее двух фермеров, в) хотя бы один фермер, г) ни один фермер, д) менее двух фермеров.

22.11 Вероятность того, что баскетболист бросит мяч в кольцо, равна 0,6. Какова вероятность, что при 5 бросках будет: а) четыре попадания, б) не менее четырех попаданий, в) хотя бы одно попадание, г) ни одного попадания, д) не более одного попадания.

22.12 Одновременно брошены 4 монеты. Найти вероятность того, что выпадет: а) столько «гербов», сколько «надписей», б) ни одного «герба», в) «гербов» больше, чем «надписей», г) только один «герб», д) ни одной «надписи».

22.13 Радиолокационная станция наблюдает за 5 объектами. Опыт показывает, что 10% объектов во время наблюдения «теряются». Найти вероятность того, что будут потеряны: а) все объекты, б) ни одного объекта, в) один объект, г) хотя бы один объект, д) не менее двух объектов.

22.14 Долголетние наблюдения показывают, что в некоторой местности в августе стоит 25% солнечных дней. Найти вероятность того, что в данном году первого и второго августа: а) будет солнечно, б) ни один день не будет солнечным, в) хотя бы один день будет солнечным, г) ровно один день будет солнечным, д) второго будет солнечно, при условии, что первого пасмурно.

22.15 Группа студентов, в которой 20 человек, направляется на практику в 3 бригады РЭС. Первой бригаде требуется 10, второй – 6, а третьей – 4 студента. Студенты А и В тянут жребий по очереди. Какова вероятность, что: а) оба студента попадут в первое хозяйство, б) оба студента попадут в одно хозяйство, в) оба студента не попадут во второе хозяйство, г) студенты попадут в разные хозяйства.

22.16 25 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса каждый, вопросы не повторяются. Студент знает 40 вопросов, но не знает билетов. Найти вероятность того, что студент знает: а) оба вопроса билета, б) один вопрос, в) хотя бы один вопрос, г) ни одного вопроса.

22.17 У сборщика имеются 20 цилиндрических и 15 конусообразных валиков. Сборщик берёт на удачу 1 валик, а затем ещё один. Найти вероятность того, что: а) оба валика цилиндрические, б) хотя бы один цилиндрический, в) первый цилиндрический, а второй нет, г) ни одного цилиндрического, д) ровно один цилиндрический.

22.18 Студент знает 45 вопросов программы из 60. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент, вытянув билет, знает: а) все три вопроса, б) два вопроса, в) хотя бы один вопрос, г) не менее двух вопросов, д) не знает ни одного.

22.19 Из колоды, в которой 36 карт, наудачу берут 3 карты. Какова вероятность, что среди извлечённых карт: а) все тузы, б) нет ни одного туза, в) хотя бы один туз, г) только один туз, д) более одного туза.

22.20 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка – 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа: а) все станки потребуют внимания, б) не потребуют внимания два станка, в) не потребует внимания только первый станок, г) потребует внимания ровно один станок, д) потребует внимания хотя бы один станок.

23. Две независимые дискретные случайные величины Х и У заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины .

23.1	Х	–6	8	9	10		У	–8	2
	Р	0,1	0,1	0,6	0,2		Р	0,4	0,6
23.2	Х	–2	–1	0	3		У	–3	2
	Р	0,2	0,5	0,1	0,2		Р	0,3	0,7

23.3	Х	–5	–4	–2	–3		У	–8	–1
	Р	0,1	0,5	0,2	0,2		Р	0,7	0,3

23.4	Х	–6	–3	2	1		У	–2	8
	Р	0,3	0,3	0,2	0,2		Р	0,2	0,8

23.5	Х	–4	–2	–1	3		У	–3	–1
	Р	0,1	0,3	0,2	0,4		Р	0,4	0,6

23.6	Х	–2	0	1	4		У	1	3
	Р	0,5	0,1	0,2	0,2		Р	0,2	0,8

23.7	Х	–7	–5	–2	3		У	–3	4
	Р	0,4	0,4	0,1	0,1		Р	0,1	0,9

23.8	Х	–1	2	4	8		У	–2	1
	Р	0,2	0,5	0,1	0,2		Р	0,8	0,2

23.9	Х	–8	–6	–1	5		У	3	7
	Р	0,5	0,1	0,2	0,2		Р	0,2	0,8

23.10	Х	–2	1	3	8		У	7	10
	Р	0,1	0,1	0,3	0,5		Р	0,1	0,9

23.11	Х	–7	0	2	6		У	–3	2
	Р	0,5	0,1	0,3	0,1		Р	0,3	0,7

23.12.	Х	–4	–1	3	8		У	1	4
	Р	0,1	0,6	0,2	0,1		Р	0,6	0,4

23.13	Х	–5	–2	3	7		У	1	5
	Р	0,1	0,3	0,2	0,4		Р	0,2	0,8

23.14	Х	–3	–1	0	2		У	–3	2
	Р	0,3	0,2	0,2	0,3		Р	0,5	0,5

23.15	Х	–8	–6	–1	3		У	2	8
	Р	0,1	0,3	0,2	0,4		Р	0,3	0,7

23.16	Х	–2	–1	3	8		У	1	5
	Р	0,1	0,5	0,2	0,2		Р	0,7	0,3

23.17	Х	–3	0	2	7		У	3	4
	Р	0,1	0,6	0,2	0,1		Р	0,2	0,8

23.18	Х	–5	1	2	4		У	2	3
	Р	0,2	0,3	0,1	0,4		Р	0,4	0,6

23.19	Х	–3	2	4	6		У	3	7
	Р	0,3	0,2	0,2	0,3		Р	0,9	0,1

23.20	Х	–7	–3	1	2		У	2	4
	Р	0,2	0,1	0,3	0,4		Р	0,3	0,7

24. Предполагается, что случайные отклонения контролируемого размера детали, изготовленной станком-автоматом, от проектного размера, подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением  (мм) и математическим ожиданием . Деталь, изготовленная станком-автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превышаетт (мм). Сколько процентов годных деталей изготовляет станок?