- •Задания
- •Ббк 22.1я73–4
- •Предисловие
- •График выполнения расчетно-графических работ
- •Правила оформления расчетно-графических работ
- •Литература
- •Таблицы вариантов
- •Задания расчетно-графических работ
- •12.1 12.2
- •14.1 Б) 14.2 б)
- •24.1 24.2
- •Решение типовых примеров
- •Решение. 1) Построение статистического распределения выборки.
- •2) Оценка среднего значения и дисперсии случайной величины .
- •3) Построение гистограммы относительных частот.
- •4) Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X.
- •Тестовые задания для самопроверки
- •38 Заданий
- •Ответы к тестовым заданиям для самопроверки
- •Задания расчетно-графических работ и решение типовых примеров по математике
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 11
4) Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X.
Из вида кривой эмпирического распределения следует, что случайная величина должна иметь закон распределения, близкий к нормальному. Для сравнения в той же системе координат построим кривую нормального закона распределения
,
где , а величиныибыли получены в предыдущем пункте. Таким образом,.
Одним из критериев, позволяющих установить справедливость нормального закона распределения случайной величины X, является правило трех сигм. В случае нормально распределенной величины вероятность отклонений от больше, чем на величину, мала, следовательно, такие отклонения встречаются крайне редко. Для наших статистических данных. Из графика и таблицы можно сделать вывод, что величинаX редко отклоняется от более, чем на, следовательно, ее закон распределения близок к нормальному.
Рисунок 21
26. Заданные осциллограммы представить приближенно в виде суперпозиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гармоник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ординаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.
Рисунок 22
Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле
. (4 )
Таблица 5
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
x |
0 |
0,524 |
1,05 |
1,57 |
2,09 |
2,62 |
3,14 |
3,67 |
4,19 |
4,71 |
5,24 |
5,76 |
6,28 |
y |
0,11 |
0 |
–1 |
–2 |
–3 |
–3 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
Поскольку измеряется в радианах, причем , формула для разложения функции вряд Фурье имеет вид
(5)
Коэффициенты разложения определяются по формулам
, (6)
, (7)
. (8)
В нашей задаче аналитический вид функции неизвестен, но мы нашли значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегралы приближенно, например, по формуле трапеций:
, (9)
, (10)
, (11)
где
Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, дляполучим
и т.д.
Таблица 6
n | ||||
0 |
–1,99 |
|
|
|
1 |
1,85 |
–1,12 |
2,2 |
2,12 |
2 |
–0,05 |
–0,06 |
0,081 |
–2,46 |
3 |
–0,09 |
–0,03 |
0,096 |
–1,88 |
4 |
–0,1 |
0 |
0,1 |
–1,52 |
Во многих технических приложениях вместо суммы функций записывают одну функцию, которая представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево относительнона. Функциюпринято называть гармоникой. Ее параметры выражаются черезипо формулам
, (12)
(13)
Если значение , вычисленное по формуле (13), превышает, то из него можно вычесть, так как синус – периодическая функция. С учетом формул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид
(11)
По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разложение в ряд Фурье для нашей осциллограммы
(15)
Для построения графика функции вычислим значения функции по формуле (15) для всех значенийиз таблицы 5.
Таблица 7
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
x |
0 |
0,524 |
1,05 |
1,57 |
2,09 |
2,62 |
3,14 |
3,67 |
4,19 |
4,71 |
5,24 |
5,76 |
6,28 |
0,64 |
0,0001 |
–0,95 |
–2,2 |
–2,9 |
–3,1 |
–2,9 |
–2 |
–1 |
0,069 |
1,2 |
1,3 |
0,64 |
Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координатами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем построим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле
Полученный график показан на рисунке 23.
Рисунок 23
На этом графике – исходная осциллограмма,– ее разложение в ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значенияхx за исключением крайних точек и. Дело в том, что– функция непрерывная и периодическая, для нее. В то же время, для нашей осциллограммы. Если ее график периодически продолжить на всю ось0x, то точки истанут точками разрыва. В точках разрываравно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции.