Математика РГР

где угол равен углу между осью Ох (х>0) и OM , угол равен углу между

осью Оz (z>0) и OM , r OM и 0 2 ,

0 , 0 r Ґ.

Якобиан перехода от декартовых координат к

цилиндрическим координатам	I r 2 sin
.

Для вычисления объема тела в сфериче-

ской системе координат справедлива следую-

щая формула:

		2	r2
V r 2 sin d d dr d sin d r 2 dr .
V		1	r1

Рисунок 14 – Декартова и сфери-

ческая система координат точки

М

В нашем случае (см. рис. 14) 0 2 , 0 4 , 0 r 3 и

																3
2	4		3		2		4					r	3					2				4				27
V d sin d r 2 dr d sin d																			d sin d
0	0		0			0	0				3					0		0				0				3
2					2																							2
							2											2						2					2
				4																					18
9 d ( cos )				0	9 d		2			1			1					2				9		0				2
0					0
9 2		.
	2

Ответ: V 9 2 2 ед3.

17. а) С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра

тяжести фигуры (меньшей по площади), ограниченной эллипсом					х2		у 2	1
			25				9
и прямой	х		у	1 (поверхностную плотность считать равной единице).
5			3
Решение. В случае однородной пластины, занимающей область								D
плоскости хОу, координаты центра тяжести x, y находят по формулам:

101

	x	1		xdxdy,		y	1	ydxdy,
							S
		S			D			D
где S – площадь области D ,
	S dxdy .
		D
									3
	В рассматриваемом случае фигура ограничена кривыми y										25 x2
									5
			x			x 5.
и	y 3 1				при 0
			5

Рисунок 15 – Эллипс и прямая

Поэтому

							3
				5						25x2			5
							5								3													x
S dxdy dx										dy											25 x2
																									3 1				dx
		D		0							x	0			5													5
							3 1
											5
	3	5												3x2				5				3	5						15
				2																						2
	5		25 x		dx					3x			10									5		25 x			dx .
		0																0					0						2

Полученный интеграл вычислим заменой переменной.

102

																				x 5sin t
																				dx 5costdt
3			5																														3					2											2
						25 x2 dx														t1		0																					25 25sin 2 t 5costdt 15 cos2 tdt
5			0																											5								0										0
																				t2
																								2
					2		1 cos2t															15					sin 2t							2									15
15																dt							t																							.
					0		2															2					2							0									4
								S	15					( 2) . Далее
Итак,
							4
																														3
																											5								25x2
					1																	4								5
	x							xdxdy																			xdx										dy
					S
								D										15( 2)									0													x
																															3 1
																																								5
							4				5				3																								x
																	x 25 x 2										3x 1															dx
			15( 2)												5																							5
											0
							4				5																			4												5					x 2
																								2
											x 25 x
				25( 2)																					dx																	x					5	dx.
											0																	5( 2)														0

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены пере-

менной:

							z 25 x 2
							dz 2xdx																						3								0
5																0
										1												1					1			z 2									125
x		25 x 2 dx																							dz															.
												dz xdx							z
0									2						25							2				2					3								3
							z1 25																						2								25
							z2 0
Отсюда
	4				125						4			x2				x3						5		20											10					10
x																																											.
	25( 2)				3							5( 2)			2			15								3( 2)												3( 2)				3( 2)
																								0
Наконец,

103

																			3
																	5				25x2
		1											4						5
y			ydxdy														dx					ydy
		S							15( 2)
			D														0								x
																			3 1
																								5
			2	5				9														x					2
									25 x2 9 1																		dx
15( 2)								25														5
				0
			12					5x	2				x3			5			2
																							.
125( 2)								2					3					2
																0
			17. б) С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра
тяжести фигуры,												ограниченной линиями y2 x 9,																	y2 3x 9 (поверх-
ностную плотность считать равной единице).

Решение.

Рисунок 16 – Две параболы

Поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то у 0 . Вычислим

x	1		xdxdy .
	S
			D
						1	9 у2
				3	3				3		1
S			dxdy 2		dу			dх 2					9 у 2	у 2	9	dу 48;
	D			0			у2 9		0		3

104

								1	9 у2							1	9 у2
						3		3			3	х 2												3 1
			1							1						3						1					2						2
х					2 dу				хdх										dу								9 у 2		у 2 9							dу
	48					0			у2 9	24	0	2				у2 9						48		0 9
			3																								у3				3
	1					8											1			8													12
							у 4 16 у 2 72 dу															у5		16				72 у							.
																				9
	48		0			9											48				5						3				0		5

Таким образом, х 2,4; у 0 .

18.

Вычислить

работу,

совершаемую

переменной

силой

3

F

x2 3xy i

x2

y j

по контуру, связывающему точки М(1; 1) и N(2;

2

3), и установить независимость от пути интегрирования.

Решение. Для того, чтобы найти работу, совершаемую переменной си-

				3
лой F	x2	3xy i			x2	y		j	, вычислим криволинейный интеграл
				2
						3
	А	x2 3xy dx					x2	y dy
						2

по контуру, соединяющему точки М(1; 1) и N(2; 3).

Выберем в качестве контура интегрирования наиболее простой контур,

связывающий точки М и N, например, ломаную, звенья которой параллель-

ны осям координат.

105

Рисунок 17

Имеем

на

первом

участке

у 1, dy 0, 1 x 2 ,

на

втором участке

x 2, dx 0, 1 y 3. Таким образом,

2

x2 3x dx

3

3

3x

2

2

y

2

3

5

А

(6 y)dy

x

6 y

22

.

2

2

6

1

1

3

1

1

В данном случае выполнено условие независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования

P

Q ,

y

x

где P x2 3xy , Q

3

x2 y . Действительно,

P

3х,

Q

3х .

2

y

x

19. Найти циркуляцию векторного поля

F (x 2y

5z) j

вдоль линии

пересечения L плоскости S4 : 2x y 2z 6 0 с координатными плоско-

стями непосредственно и по формуле Стокса (точка пробегает полученную линию против часовой стрелки, если смотреть от начала координат).

Решение. 1) Вычислим циркуляцию					по контуру L непосредственно
				F
по формуле
Ц Fdr Fdr		Fdr	Fdr ,
L	AB	BC	CA
Fdr	Pdx Qdy Rdz.
AB	AB

106

Рисунок 18 – Построение направленной линии L

В нашем случае P R 0, Q x 2y 5z и уравнение АВ: z 0,

2x y 6 , откуда y 6 2x и dz 0, dy 2dx , причем x 3;0 . Поэтому

				0														0							0
					(x 12 4x)2dx 2 ( 3x 12)dx 6 (x 4)dx
Fdr
AB					3													3							3
			2							0						9							15
x
6							4x						6	0				12		6					45.
		2														2							2
										3
ВС: x 0 , y 2z 6 ,												y 6 2z и dx 0, dy 2dz , и z 0;3 .
																3									0
					(x 2 y 5z)dy ( 12 4z 5z)( 2)dz 6 (3z 4)dz
Fdr
BC					DC											0									3
												3
		3z		2										27							3
						4z							6					12	6				9.
6
			2											2							2
												0

СА: y 0, dy 0 .

Fdr (x 2 y 5z)dy 0 .

CA CA

Окончательно Ц 45 9 54 .

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса.

				ds , где S S1 S2					S3
Ц rotF		n	0
S
												.
S : z 0, n0	k ; S		2	: y 0, n	0	j; S	3	: x 0, n		0	i
1
						107

Предварительно найдем ротор вектора F

(x 2y 5z) j :

i

j

k

rotF

i

y

z

j

x

z

x

y

z

x 2 y 5z

0

0

0

0

x 2 y

5z

0

k

x

y

5i k .

0 x 2 y 5z

За поверхность, натянутую на контур, берем поверхность

S S1 S2 S3 .

Тогда

Ц rotF ( k )ds rotF

( j )ds

rotF

i ds ( 5i

k ) ( k )ds

S1

S2

S3

S1

( 5i

k )

( j )ds ( 5i k ) i ds ds 0 5 ds S1

5 S3 (

S2

S3

S1

S3

1

6 3 5

1

6 3 9 45 54

2

2

S

– площадь OAB ,

S

– площадь OBC ).

1

3

20. Найти поток векторного поля

(x 2y

через треугольник, кото-

F

5z) j

рый получается в сечении плоскости S4 : 2x y 2z 6 0 координатными плоскостями в направлении вектора нормали, образующего с положитель-

ным направлением оси 0Z острый угол. Найти поток векторного поля						че-
					F
рез замкнутую поверхность, образованную плоскостью S4 и координатными
плоскостями в направлении внешней нормали.
Решение.
1) ABC на рисунке является сечением плоскости S4 координатными
плоскостями.	Поток поля F через этот треугольник можно вычислить по
формуле
	P x, y, z 'x Q x, y, z 'y	R x, y, z 'z		dxdy
	'
ABO	z			z f x, y

108

ABC

	В этой формуле P,Q, R - коорди-
наты векторного поля. По условию за-			z
дачи	P x, y, z R x, y, z 0 ,	а
Q x, y, z x 2y 5z .			C
	x, y, z 0 - уравнение поверхно-
сти, через которую вычисляется поток.
В нашем случае это плоскость		S4 , по-					A
этому	x, y, z 2x y 2z 6 . Отсюда		O
' 1, а ' 2 .
y	z		x
	Перед формулой следует	брать

знак «+», так как по условию задачи направление вектора нормали образует острый угол с осью 0Z. После подстановки найденных выражений в формулу, получим

B y

y

B

		x 2 y 5z
		2
	ABO

dxdy

z f x, y

Далее	z f x, y получается из уравнения
нашей поверхности, если из него выразить перемен-
ную z . Таким образом, z		6 2x y	. Необходимо
									x
	2
подставить это выражение на место переменной z в				A					O
формулу для потока. После простых преобразова-
ний получим
	3, 75 3x 2, 25y dxdy
ABO

Таким образом, задача свелась к вычислению двойного интеграла. Область интегрирования - ABO . Этот треугольник получается проецированием

на плоскость 0xy.

Изобразим ABO на координатной плоскости 0xy на отдельном рисунке. Из рисунка видно, что для области интегрирования 3 x 0 . Снизу область ограничена графиком y 0 , а сверху прямой y 2x 6 . Таким образом, можно записать двойной интеграл в виде повторного:

0	2 x 6	dy 3, 75 3x 2, 25y
dx
3	0

Осталось вычислить этот интеграл, начиная с внутреннего интеграла по y:

0	2 x 6	0						0
dx		dy 3, 75 3x 2, 25y dx 3, 75y 3xy 1,125y2			2 x 6		3		x2 x 12 dx 33, 75
3	0	3			0	2		3

2) Для вычисления потока через замкнутую поверхность тетраэедра ABOC воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса, согласно которой

divFdxdydz

ABOC

109

Для дивергенции

F получим

divF

P

Q

R

2

x

y

z

Тогда

2 dxdydz 2 dxdydz 2 VABOC 2

1

SABO

OC

3

ABOC

ABOC

2

1

1

OB

OA

OC

2

1

1

6 3 3 18

3

2

3

2

21.

Дано

векторное поле

V

z 2i (z 2

2 y) j

(2xz 2 yz)k и точки

M1(2;2; 1) , M 2 (6;1;1) и M 3 (1;1;2) .

1)Показать, что поле V – потенциальное.

2)Найти потенциал U (x; y; z) , если известно, что U (0;0;0) 30.

3)Найти работу поля между точками M1 и M 2 , M 2 и M 3 , M 3 и M1 и найти

циркуляцию по контуру M1 M 2 M 3 M1 .

Решение. 1) Одним из признаков потенциального поля является равен-

ство нулю ротора вектора поля.

		i		j		k
rotV
		x		y		z
		P		Q		R

R

Q

R

P

R

P

i

j

k

.

y

x

z

x

z

y

В нашем примере P z

2 , Q z 2

2y, R 2xz 2 yz и

i

j

k

rotV

i

y

z

x

y

z

z 2 2 y

2xz 2 yz

z 2

z 2 2 y

2xz 2 yz

j

x

z

k

x

y

z 2

2xz 2 yz

z

2 2 y

z 2 2 y

(2z

(0

0) 0.

i

2z) j

(2z 2z) k

Таким образом,

rotV 0 и заданное векторное поле является потенци-

альным.

110