Математика РГР

3.11у 14 х 1 2 ;

3.12у 14 х 2 2 ;

3.13у 14 х 3 2 ;

3.14у 14 х 4 2 ;

3.15у 14 х 5 2 ;

3.16у 13 х 1 2 ;

3.17у 13 х 2 2 ;

3.18у 13 х 3 2 ;

3.19у 13 х 4 2 ;

3.20у 13 х 5 2 ;

х2у 11 0 .

х2у 10 0 .

х2у 9 0 .

х2у 8 0 .

х2у 7 0 .

2х у 2 0.

2х у 4 0.

2х у 6 0 .

2х у 8 0.

2х у 10 0 .

4. Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1)записать векторы АВ, АС, АD в системе орт i , j, k и найти модули этих векторов;

2)найти угол между векторами АВ и АС ;

3)найти проекцию вектора АD на вектор АВ ;

4)найти площадь грани АВС;

5)найти объем пирамиды АВСD;

6)составить уравнение ребра АС;

7)составить уравнение грани АВС.

11

4.1	А(1;2;1),	В( 1;5;1),	С( 1;2;7), D(1;5;9).
4.2	А(2;3;2),	В(0;6;2),	С(0;3;8), D(2;6;10).
4.3	А(0;3;2),	В( 2;6;2),	С( 2;3;8), D(0;6;10).
4.4	А(2;1;2),	В(0;4;2),	С(0;1;8), D(2;4;10).
4.5	А(2;3;0),	В(0;6;0),	С(0;3;6), D(2;6;8).
4.6	А(2;2;1),	В(0;5;1),	С(0;2;7), D(2;5;9).
4.7	А(1;2;1),	В( 1;6;1),	С( 1;3;7), D(1;6;9).
4.8	А(1;2;2),	В( 1;5;2),	С( 1;2;8), D(1;5;10).

4.9А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).

4.10А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).

4.11А(1;3;2), В( 1;6;2), С( 1;3;8), D(1;6;10).

4.12А(0;1;2), В( 2;4;2), С( 2;1;8), D(0;4;10).

4.13А(0;3;0), В( 2;6;0), С( 2;3;6), D(0;6;8).

4.14А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).

4.15А(0;2;1), В( 2;5;1), С( 2;2;7), D(0;5;9).

4.16А(1;1;1), В( 1;4;1), С( 1;1;7), D(1;4;9).

4.17А(1;2;0), В( 1;5;0), С( 1;2;6), D(1;5;8).

4.18А(0;1;0), В( 2;4;0), С( 2;1;6), D(0;4;8).

4.19А(0;1;1), В( 2;4;1), С( 2;1;7), D(0;4;9).

4.20 А(0;2;0), В( 2;5;0), С( 2;2;6), D(0;5;8).

5. Функция у задана различными аналитическими выражениями для

различных областей изменения аргумента х. Требуется:

1)найти точки разрыва функции, если они существуют;

2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;

3)сделать чертеж.

12

	2х,		х 1,
5.1		1,	1 x 2,
	у x
		1,	x 2.
	x
	3 х,		х 2,
		2 5,	2 x 3,
5.3	у x
	7 2x,		x 3.
	2х 1,		х 1,

уx2 , 1 x 2,

6 x, x 2.

	х 1,			х 0,
5.7				0 x			,
	у cos x,					2
		x			.
	2,
				2
	х2	,	х 0,
				0 x ,
5.9	у cos x,
	1,		x .

5.11	4 x2 ,		x 3,
	у	2,	x 3.
	x
	х 8,		х 2,
5.13	у	2 3,	x 2.
	x
5.15	x2 4,		x 2,
	у	x,	x 2.
	3

	х 2,	х 2,
		2 x 1,
5.2	у 4 x2 ,
	3 2x,	x 1.
	3х,	х 1,
		1 x 3,
5.4	у x2 4,
	2x 5,	x 3.
	2 х,	х 0,
5.6		0 x ,
	у sin x,
		x .
	x ,

2х,	х 0,
	0 x ,
5.8 у sin x,
	x .
3,

		2 1,
	х				х 0,
5.10					0 x				,
	у cos x,							2
				,	x		.
	x
			2			2
5.12	x2 1,				x 2,
	у	x,			x 2.
	4
	х 5,				х 1,
5.14	у	x2 ,			x 1.
	2
	5 х,				х 1,
5.16	у	2 3,			x 1.
	x

13

5.17	х 6,		х 2,	5.18	6 x2	,	x 2,
	у				у
	x2 1,		x 2.		x 3,		x 2.
	х 4,		х 3,		х 3,		х 1,
5.19	у 5 x2	,	x 3.	5.20	у x2 2,		x 1.
	6. Провести полное			исследование функции методами дифференци-

ального исчисления и построить ее график.

		y		x2
	6.1				.
				x 1
		y		x2
	6.3					.
				x2 1
	6.5	y		2x 1			.
				2
				x 1
	6.7	y x 1 x						1		.
								x 1

6.9y x2 1 .

x2 1

	6.11	у					х2				.
					х2 1
	6.13	y			2 4x2								.
			1				4x2
	6.15	y					x 1						.
					x2 2x
		y	x 2 2
	6.17									.
							x 1
	6.19	y					1			.
					x2			9

	6.2	y		x	.
			x2	4

	6.4	y	x 3 2						.
			4 x			1
	6.6	y		x2			.
			4x2 1
	6.8	y		x4					.
			1 x 3
	6.10 y				x						.
				3 x2		1

6.12 y 3x3 3x .

6.14y x2 2x 2 .

x1

6.16 y 4x x2 4 . x

6.18y x2 x 1 .

x2 2x

6.20 y	x 1		.
	x 1	2

14

7. а) Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные z1, z2 , z z1 z2 , u z1 z2 изобра-

зить на комплексной плоскости; z1, z2 , v z1 z2 , w z1 : z2 записать в пока-

зательной и тригонометрической формах, найти k 2 w , где k – последняя цифра номера группы, записать в показательной и алгебраической формах и изобразить геометрически.

1 j z1 2z2 1 j;
7.1 а)	(1 j)z		1.
jz		2
1

7.2 а) 2 j z1 3z2 1 j;(1 j)z1 (2 j)z2 j.

7.3 а) 1 j z1 jz2 1 j;

2z1 (1 j)z2 4.

7.4 а) 2 j z1 3z2 3 j2;( 1 j)z1 ( 2 j)z2 2 j.

7.5 а) 1 j z1 2z2 j;

(1 j)z1 (3 j)z2 1 j.

2 j z1 3z2 3 j;
7.6 а)	( 2 j)z2	1 j.
jz1

1 j z1 (1 j)z2 j;
7.7 а)	(2 j)z2
3z1		2 j.

7.8 а) 2 j z1 5z2 j;

(1 j)z1 (3 j)z2 1 j.

15

1 j z1 (1 j)z2 3 j;
7.9 а)
2z1 (2 j)z2 1 j.
7.10 а)	2z1 jz2 1 j;
	(1 j4)z1 (2 j)z2 1 j.
7.11 а)	2 j3 z1 ( 1 j)z2 5 j2;
		jz2 1 j4.
	3z1
7.12 а)	1 j z1 4z2 1 j;
		j)z1 (3 j)z2 0.
	( 1
7.13 а)	2 j z1 jz2 4 j5;
	(1 j4)z1 2z2 7 j9.
7.14 а)	1 j z1 jz2 2 j2;
	(1 j3)z1 (2 j)z2 2 j4.
7.15 а)	2 j z1 ( 1 j2)z2 3 j;
		(1 j)z2 3 j.
	3z1
7.16 а)	jz1 (2 j)z2 5 j;
	(1 j)z1 (2 j)z2 3 j3.
7.17 а)	1 j z1 (1 j2)z2 4 j2;
		j)z1 (3 j)z2 1 j6.
	( 2
7.18 а)	1 j z1 (1 j2)z2 5 j4;
		j)z1 (3 j)z2 5 j10.
	( 2
7.19 а)	3z1	( 2 j)z2 1 j11;
	(1 j)z1 ( 1 j2)z2 9 j5.
7.20 а)	3 j z1 (2 j)z2 8 j8;
		j)z1 ( 1 j2)z2 8 j4.
	( 1

16

7. б) Найти скорость v (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки,

траектория которой задана параметрическими уравнениями в момент времени t0 6 с.

7.1 б)

7.3 б)

7.5 б)

7.7 б)

7.9 б)

7.11 б)

7.13 б)

7.15 б)

t x = 4 сos 6

t y = 12 sin 6

t

х = 4 сos 6

t y = –4 – 6 сos 3

t x = 2 – 3 сos 6

y = – 3 sin 2 t

6

t x = 2 – 3 сos 6

y = 9 sin		t	– 4
		6
x = 6	сos	t	– 3
		6
y = 3	сos 3t – 2

t

x = 6 сos 6 – 3

t y = –10 sin 6

t x = 2 – 3 сos 6

y = 2 – 6 sin 2 t

6

t x = 2 – 3 сos 6

t

y = 2 sin 6 – 2

7.2 б)

7.4 б)

7.6 б)

7.8 б)

7.10 б)

7.12 б)

7.14 б)

7.16 б)

t

x = 8 sin 6 – 2

t

y = 4 сos 6 – 2

t

x = 8 sin 6 – 2

y = 14 –16 сos 2 t

6

t x = 12 sin 6

t y = 14 – 16 сos 6

t

x = 8 sin 6 – 2

t y = 4 сos 3

t x = 12 sin 6

t y = –10 сos 6

t x = 12 sin 6

y = –4 сos 2 t

6

t x = 4 – 6 сos 6

t y = 8 – 12 сos 3

t x = 4 – 6 sin 6

t y = 3 сos 6

17

	x = 6 сos	t	– 3		x = 12 sin			t
7.17 б)		6		7.18 б)				6
	y = 9 сos	t	+ 5		y = –4 сos			2 t
		3						6
	x = 4 сos	t			x = 8 sin	t			– 2
7.19 б)		6		7.20 б)				6
	y = 9 сos	t	+ 5		y = 9 сos		t		– 3
		3						6

8.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами.

8.1у 12 х2 х 1; у 12 х2 3х 6 .

8.2у 12 х2 х 2; у 12 х2 5х 7 .

8.3

у

1

х2

3х 2;

у

2

х2 2х 4 .

3

3

8.4

у 2х2

6 3;

у х2 х 5.

8.5

у 3х2

5х 1;

у х2

2х 1.

8.6

у х2 3х 1;

у х2 2х 5 .

8.7

у 2х2

6х 1;

у х2 х 1.

8.8

у

1

х2

2х 4;

у

2

х2 х 2 .

3

3

8.9

у х2 5х 3;

у 3х2

2х 1.

8.10 у х2

2х 5;

у х2

х 1.

	8.11	у	1	х2	2х 5;	у	3	х2	х 1.
			4				4
									18

8.12

у

1

х2

3х 2;

у

1

х2 х 3.

2

2

8.13

у 2х2

6х 3;

у 2х2 х 5.

8.14

у х2 3х 4;

у х2

х 8.

8.15

у

1

х2

3х 1;

у

1

х2 х 2 .

2

2

8.16

у 2х2

4х 7;

у х2 х 1.

8.17

у 2х2

3х 1;

у х2

2х 9 .

8.18

у 2х2

6х 2;

у х2

х 4 .

8.19

у х2 2х 4;

у х2

х 2 .

8.20

у

1

х2

3х 2;

у

1

х2 7х 3.

2

2

9. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярной системе координат.

б) Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравне-

ниями.

9.1 а) r 4cos 3 , r 2

б) x 5 t sin t , y 5 1 cos t , 0 t

9.2 а) r cos 2

б) x 3 2cos t cos 2t , y 3 2sin t sin 2t , 0 t 2

9.3 а) r	3 cos , r sin , 0 2		б)

x 4 cos t t sin t , y 4 sin t t cos t , 0 t 2

9.4 а) r 4sin 3 , r 2

б)	x t2	2 sin t 2t cos t, y 2 t2 cos t 2t sin t, 0 t

19

9.5а) r 2cos , r 23 sin , 0 2

б) x 10cos3 t, y 10sin3 t, 0 t 2

9.6а) r sin 3

б)

x et cost sin t , y et

cost sin t , 0 t

9.7 а) r 6sin 3 , r 3

б)

x 3 t sin t , y 3 1 cos t , t 2

9.8 а) r cos 3

x

1

cos t

1

cos 2t, y

1

sin t

1

sin 2t, 2 t 2 3

б)

2

4

2

4

9.9 а) r cos , r

cos

4 ,

4 2

2

б)

x 3 cos t t sin t , y 3 sin t t cost , 0 t 3

r sin , r

cos 4 , 0 3 4

9.10

а)

2

б)

x t2 2 sin t 2t cos t, y 2 t2 cos t 2t sin t, 0 t 3

9.11

а) r 6cos 3 , r 3

б)

x 6cos3 t, y 6sin3 t, 0 t 3

9.12

а)

r 1 2 sin

б) x et cos t sin t , y et cost sin t , 2 t

9.13

а)

r cos , r sin , 0 2

б) x 2,5 t sin t , y 2,5 1 cos t , 2 t

20