Математика РГР

x	y	x2	y2	xy
1	23	1	529	23.0
1.1	25	1.21	625	27.5
2.9	30	8.41	900	87.0
3.9	36	15.21	1296	140.4
…	…	…	…	…
		Суммы
∑x=35.5	∑y=216.6	∑x2=137.49	∑y2=5011.1	∑xy=827.31

Коэффициенты регрессии можно получить, составив и решив уравнения связь. Простейшим из них является уравнение прямой типа

̃

Для определения параметров уравнения а0 и а1 надо составить и решить систему нормальных уравнений с двумя неизвестными:

∑y=na0+a1∑x; ∑xy=a0∑x +a1∑x2.

Подставляя данные табл. VII в систему, получим:

{

Освобождаемся от коэффициентов при а0, для чего первое уравнение делим на 10, второе — на 35.5:

Из второго уравнения вычитаем и получим: 23,30—21.66=а0—а0+(3.87-

3.55)а1, отсюда а1=5.125. Подставляя значение а1 в любое уравнение, получа-

ем значение а0=3.47. Уравнение примет вид

̃

Коэффициент регрессии, равный 5.125 показывает, что с увеличением дозы внесения удобрений на единицу урожайности возрастает на 5.125 ц с 1

га в данных условиях.

Для расчета коэффициента корреляции целесообразно использовать формулу:

,

121

Где

∑

∑

∑

√∑ √

√∑ √

Тогда

Ответ. rxy=0.965

Вывод: вязь между урожайностью и дозой внесения удобрений тесная,

так как коэффициент корреляции близок к единице.

Для построения графика (прямой корреляционной зависимости) надо использовать полученное уравнение связи, поочередно подставляя в него значения «х», например:

Ух=3.47+5.125×1=8.595≈8.6;

Ух=3.47+5.125×1.1=9.107≈9.1;

Ух=3.47+5.125×2.9=18.332≈18.3 и т.д.

Затем на оси абсцисс откладываем значения «х» - факторного признака,

на оси ординат – результативного признака ̃ и соответствующие точки,

находящиеся на пересечении этих признаков, соединяются прямой линией.

122

28. Заданные осциллограммы представить приближенно в виде супер-

позиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гар-

моник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ор-

динаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы

0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.

Рисунок 21 – График осциллограммы

123

Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле

	x						x[в градусах ]				.					(4 )
			радианах]
	[в							180
Таблица 5 – Заданные значения
n	0		1			2		3	4		5	6	7	8	9	10		11	12
x	0		0,524		1,05			1,57	2,09		2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24		5,76	6,28
y	0,11		0		–1			–2	–3		–3	–3	–2	–1	0	1,2		1,2	1,2
Поскольку x				измеряется в радианах, причем 0 x 2 , формула для разло-

жения функции в ряд Фурье имеет вид

f x a20 a1 cos x b1 sin x a2 cos2x b2 sin 2x a3 cos3xb3 sin 3x a4 cos4x b4 sin 4x

Коэффициенты разложения определяются по формулам

1 2

a0

0

1 2

ak

0

1 2

bk

0

f x dx ,

f x coskxdx,

f x sin kxdx.

(5)

(6)

(7)

(8)

124

В нашей задаче аналитический вид функции f x неизвестен, но мы нашли

значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегра-

лы приближенно, например, по формуле трапеций:

			1	y		0	y
a							12	y	y		y	,	(9)
	0		6				2	1		2	11

		1	y		cos kx	y	cos kx
ak				0	0	12	12	y1 cos kx1 y2 cos kx2	y11 cos kx11	, (10)
		6				2

		1	y		sin kx	y	sin kx
bk				0	0	12	12	y1 sin kx1 y2 sin kx2	y11 sin kx11	, (11)
		6				2

где k 1, 2,3, 4,

Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения a0 , a1, a2 , a3, a4 , b1, b2 , b3, b4 и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, для a3 получим

1

0,11cos 3 0 1,2cos 3 6,28

0cos 3

0,524 cos 3

1,05

a3

6

2

1,2cos 3 5,76 0,09

и т.д.

Таблица 6 – Парметры ряда Фурье

k

ak

bk

A

k

k

0

–1,99

1

1,85

–1,12

2,2

2,12

2

–0,05

–0,06

0,081

–2,46

3

–0,09

–0,03

0,096

–1,88

4

–0,1

0

0,1

–1,52

Во

многих

технических

приложениях

вместо

суммы

функций

ak cos kx bk

sin kx записывают одну функцию Ak sin

kx k ,

которая

представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево от-

125

носительно

sin kx

на

k

. Функцию

A sin kx

принято называть

k

k

k

гармоникой. Ее параметры выражаются через ak

и bk по формулам

Ak

ak

2

bk

2 ,

(12)

a

arctg

k

, если bk 0,

bk

arctg

ak

, если b 0,

bk

k

k

, если bk

0, ak

0,

(13)

2

, если bk

0, ak

0.

2

Если значение k , вычисленное по формуле (13), превышает 2 , то из него можно вычесть 2 , так как синус – периодическая функция. С учетом фор-

мул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид

f (x) a20 A1 sin( x 1 ) A2 sin(2x 2 ) A3 sin(3x 3 ) A4 sin(4x 4 ) (11)

По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разло-

жение в ряд Фурье для нашей осциллограммы

f (x) 1,99 2,2sin( x 2,12) 0,081sin(2x 2,46) 0,096sin(3x 1,88) 2

0,1sin(4x 1,52).

(15)

Для построения графика функции f (x) вычислим значения функции по формуле (15) для всех значений x из таблицы 5.

126

Таблица 7 – Значения функции по данным значениям аргумента

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	0	0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
f (x)	0,64	0,0001	–0,95	–2,2	–2,9	–3,1	–2,9	–2	–1	0,069	1,2	1,3	0,64

Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координа-

тами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем по-

строим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле

	x[в градусах ]	180 x[в радианах]

Полученный график показан на рисунке 22.

f(x)

y(x)

Рисунок 22 – Исходная осциллограмма и ее разложение в ряд Фурье

127

На этом графике y x – исходная осциллограмма, f x – ее разложение в

ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значениях x за исключени-

ем крайних точек x 0 и x 360 . Дело в том, что f x – функция непре-

рывная и периодическая, для нее f x f x 360 . В то же время, для нашей осциллограммы y 0 y 360 . Если ее график периодически про-

должить на всю ось Оx, то точки x 0 и x 360 станут точками разрыва. В

точках разрыва f x равно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции y x .

29. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводно-

сти ut 0.04uxx на отрезке 0 x 6 . Определить значение температуры в се-

редине отрезка при t 10c . На концах отрезка поддерживается температура,

равная 0: u 0,t u 6,t 0.		В начальный момент времени ( t 0 ) температура
		0, 0 x 1
			x 2	(1)
на отрезке распределена следующим образом u(x, 0) 4,1
			x 6
		0, 2
Решение.
В общем случае решение первой краевой задачи на отрезке 0 x l :
u a2u	xx	(2),
t
u 0,t u l,t 0		(3),
u(x, 0) x		(4)

определяется по формулам

			Ґ		na 2				nx
							t
						l		sin
	u(x,t) еbne								l
			n 1
где
b	2 l		x sin	nx dx
	l
n				l
	0

(5)

(6)

128

0, 0 x 1

Для нашей задачи a2 0.04 , откуда a 0.2 , l 6 , x u(x, 0) 4,1 x 2 . Сна-

0, 2 x 6

чала необходимо вычислить интеграл (6). Функция x при разных значе-

ниях x задана разными формулами, поэтому интеграл придется разбить на сумму трех интегралов для отрезков: 0 x 1, 1 x 2 , 2 x 6 . В подынте-

гральное выражение для каждого из отрезков должна подставляться соответ-

ствующая формула для x . Выполнив эти действия и подставив l 6 , полу-

чим для интеграла (6):

			2	1	nx	2	nx	6	nx
	bn			0 sin		dx 4 sin		dx 0 sin		dx
			6		6		6		6
				0		1		2

Поскольку первый и третий интегралы равны 0, получим

	2	2				nx				4		2
b	6		4	sin			6	dx		3			sin
n
		1										1
Итак, bn					8				n		cos
							cos
					n				6

	nx dx	4 6
		3 n
	6
	n
	3

Подставив найденное выражение для

дачи в виде бесконечного ряда

cos

bn

nx		2		8		n	cos	n
					cos				.
6		1		n		3		6

в формулу (5), получим решение за-

Ґ

8

n

n

n0.2 2

nx

6

t

u(x,t) е

cos

cos

e

sin

n 1

n

6

3

6

После преобразования

Ґ	8		n
u(x,t) е		cos
n 1	n		6

cos n e

3

	n 2
		t
	30	sin

nx

6

Середина отрезка соответствует x 3 . Через 10 секунд температуру в этой

точке можно найти по формуле

Ґ	8		n		n			n 2	n
u(3,10) е		cos		cos		e		90 sin
n 1	n		6		3				2

Это – точное решение, но найти сумму бесконечного числа слагаемых не-

возможно, поэтому при вычислениях обычно оставляют первые несколько

129

слагаемых суммы, а остальные отбрасывают. Вычислим первые семь слагае-

мых суммы:

u(3,10) 0.835 0 0.316 0 0.045 0 0.002

Поскольку требуемая точность составляет 0.01 градус, все слагаемые, начи-

ная с шестого можно отбросить. Тогда u(3,10) 0.835 0 0.316 0 0.045 0.47

30.
1) точное значение интеграла ∫ √	по формуле Ньютона-Лейбница;

2)приближенное значение этого интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знак;

3)относительную погрешность в процентах.

Решение:

1) Решаем данный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ ∫

																					4
2						2				1			1	2	1			1 (9x 27)3						2
								dx
	3		9x 27							(9x 27)	3	dx			(9x 27)	3	d(9x 27)							.
													9					9		4
6									6					6										6
		1																	3
				(45 3 45 81) 6.5883
	12
				2
					3	9x 27dx 6,5883.
Ответ:				6

2)Вычислим данный интеграл по приближенной формуле трапеций: Формула трапеции:

∫		(		)

Подынтегральная функция

√

Составим расчетную таблицу

130