Математика РГР

	а) r			cos 4 , r						sin 4 , 4 3 4
9.14			2						2
	б)	x 3,5 2cos t cos 2t , y 3,5 2sin t sin 2t , 0 t 2
9.15	а) r cos , r 2cos
	б)	x 6 cos t t sin t , y 6 sin t t cos t , 0 t
9.16	а) r sin , r 2sin
	б)	x t2 2 sin t 2t cos t, y 2 t2 cos t 2t sin t, 0 t 2
9.17	а) r 1					2 cos
	б)	x 8cos3 t, y 8sin3 t, 0 t 6
9.18	а) r 1 2 cos
	б)	x et			cost sin t , y et cost sin t , 0 t 2
9.19	а) r 1					2 sin
	б)	x 4 t sin t , y 4 1 cos t , 2 t 2 3
9.20	а) r 5 2 sin , r 3 2 sin
	б)	х 2(2cost cos2t), y 2(2sin t sin 2t), 0 t / 3

10. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным

начальным условиям.

			у		х	2	0,	у(1)	4			3.
10.1	ху								3	,	у (1)

21

10.2	у			y		1,			.
			у ctgx sin x,				y
					2		2		2

																	x																	y(0) 1,																2.
10.3 y											1 x2 3																			,															y (0)
																										4								y(1)							1									4.
																																							5 ,
10.4 xy									2 y												2x									,															y (1)
10.5 xy					ln x 1,																									y(1)						0,										0.
																																												y (1)
10.6 y																		cos x,																		y(0) 1,
				y tgx																																										y (0) 0.
																		x
10.7 y											1 4x2 3																							,		y(0) 0,										y (0) 0.
					y									4x									3											y(1)				1
																																					4 ,
10.8 xy																									,																				y (1) 2.
																					2
10.9 xy					y									x									cos x,													y						1,					y					.
																																				2														2			2
10.10	x			3	y						4ln x,																							y(1) 4,
																																													y (1) 0.
10.11		y			е							у			y					0,														y(0) 0,
																																													y (0) 1.
10.12									2y,																y(0) 0,
		y y																																						y (0) 0.
10.13		yy																		2		,								y(0)						1,										3.
								y																																		y (0)
10.14		y		3	y						3,												y(1)											1,											1.
																																					y (1)
					12 y													2			0,													y(0)						1										1.
																																							2 ,
10.15		y																																											y (0)
									e						4 y																				0,											1
10.16	2 y																			,						y(0)																y (0) 2 .
10.17	( y 2) y																															2			,	y(0) 3,															1.
																				2 y																											y (0)
10.18	2 уу										3												у							2				,		у(1) 1,														1.
																																													у (1)
10.19		у			3											у 1,																		у(2) 0,
																																													у (2) 2.
10.20	( у 1)												2			у											у							3		у(0) 0,															1.
																																		,													у (0)

22

11. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциаль-

ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовле-

творяющее заданным начальным условиям.

11.1y'' y 2cos x , y(0) = 2, y'(0) 0

11.2y'' 4y sin x , y(0) = 1, y'(0) 1

11.3y'' y sin 2x , y( ) = 1, y '( ) 1

11.4y'' 4y' 4sin 2x 8cos 2x , y(0) = 0, y'(0) 0

11.5y y 5cos x 5sin x ; y(0) = – 4 ; y'(0) = 5

11.6y'' 2y' y 12cos 2x 9sin 2x; y(0) = –2, y'(0) 0

11.7y'' 6y' 25y 9sin 4x 24cos 4x; y(0) = 2, y (0) 2

11.8y 6y cos4x 8sin 4x , y(0) = 0, y'(0) 5

11.9y'' 12y' 36y 32cos 2x 24sin 2x; y(0) = 2, y '(0) 4

11.10y'' 3y' 2y sin x 7 cos x; y(0) = 2, y '(0) 7

11.11y'' 5y' 6y 52sin 2x; y(0) = – 2 ; y'(0) = – 2

11.12y'' 4y 3cos x; y(0) 1; y'(0) 2

11.13y '' 4y 4sin 2x; y(0) 2; y '(0) 7

11.14y '' y ' 2sin x ; y(0) = 5 ; y'(0) = 1

11.15y'' y' 2y cos x 3sin x; y(0) 1; y'(0) 2

11.16y '' y 6sin 2x; y( ) 1; y '( ) 4

11.17y'' 16y 7 cos 3x; y(0) = 1 ; y'(0) = 4

11.18y'' 2y' y 2sin x ; y(0) = 1 ; y'(0) = 2

11.19y'' 4y sin x ; y(0) = 1 ; y'(0) = 1

11.20у 4у 4 cos2x; y(0) 0; y (0) 3

23

12. Классическим методом и методом операционного исчисления найти

частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее

начальным условиям.

	х 4х 6 у,			х 5х 4 у,
12.1	у 4х 2 у,		12.2	у 2х 3у,
	х(0) 2, у(0)	3.		х(0) 1, у(0) 1.
	х 3х у,			х 6х 3у,
12.3	у 8х у,		12.4	у 8х 5у,
	х(0) 1, у(0)	2.		х(0) 0, у(0) 2.
	х х 5 у,			х 3х 2 у,
12.5	у х 3у,		12.6	у 2х 8 у,
	х(0) 1, у(0)	0.		х(0) 1, у(0) 0.
	х 4х 6 у,			х 5х 8 у,
12.7 у 4х 2 у,			12.8 у 3х 3у,
	х(0) 0, у(0)	1.		х(0) 1, у(0) 1.
	х х 5 у,			х 7х 5 у,
12.9 у 7х 3у,			12.10 у 4х 8у,
	х(0) 1, у(0)	1.		х(0) 0, у(0) 1.
	х х у,			х у 0,
12.11 у х у,			12.12 у 2х у 0,
	х(0) 1, у(0) 0.			х(0) 2, у(0) 3.
	х 7х у 0,			х х 2 у 3,
12.13 у 2х 5 у 0,			12.14 3х у 4х 2 у 0,
	х(0) 1, у(0) 1.			х(0) 0, у(0) 1.
	х у 0,			х у 0,
12.15 х 2 у х 0,			12.16 у 2х 2 у 0,
	х(0) 1, у(0) 1.			х(0) 1, у(0) 1.

24

	х у 0,			х 7х 3у,
12.17	х у 3х у,		12.18		у 6х 4 у,
	х(0) 1, у(0) 1.			х(0) 1, у(0)		2.
	х 5х 4 у,			х 3х у,
		5у,			у 2х у,
12.19	у 4х		12.20
	х(0) 2,	у(0) 0.		х(0) 1, у(0)		1.

13. Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Ґ

13.1 е

n 1

Ґ

13.3 е

n 1

Ґ

13.5 е

n 1

Ґ

13.7 е

n 1

Ґ

13.9 е

n 1

Ґ

13.11 е

n 1

Ґ

13.13 е

n 1

Ґ

13.15 е

n 1

(x 4)2n 1

2n 1

.

(x 2)n 3n .

(x 2)n 2n .

(x 1)n n2 .

(x 8)n n2 .

(2+x)n.

(x 1)n

2n (n 3) .

(х 5)п .

3п 1

Ґ

13.2 е

n 1

Ґ

13.4 е

n 1

Ґ

13.6 е

n 1

Ґ

13.8 е

n 1

Ґ

13.10 е

n 1

Ґ

13.12 е

n 1

Ґ

13.14 е

n 1

Ґ

13.16 е

n 1

(x 2)n 3n . n 1

(x 5)n
						.
(n 1)
(x 1)n
					.
3	n 1	n		2
(х 1)п									.
2п
			3п				2

(3 2x)n .

3 4n2 3

(х 3)п (п 1)2 2п1 .

(x 2)n n2 .

(x 2)n (2n 1) 2n .

25

	Ґ	2–n(x+2)n.
13.17	е
	n 1
	Ґ		(x 1)	n	2	n
13.19	е						.
			3n 1
	n 1

Ґ

13.18 е

n 1

Ґ

13.20 е

n 1

n 2		n	(x 2)	n	.
	n

	(x 5)2n 1	.
	2n 4n

14. а) Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диф-

ференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

14.1 а)	y'' xy' y xe x , y(0) 1; y'(0) 3
14.2 а)	4 y '' 2xy ' y 3 x cos		x		; y(0) = 3; y'(0) = 0,5
	2
14.3 а)	4y″ – xy = –3(x + 1)sin	x			; y(0) = 0; y'(0) = 1,5
		2

14.4а) y″ + xy′ – y = –xe–x – 1 ; y(0) = 2 ; y'(0) = 0

14.5а) y″ + y′(x+2) = –2(x+2) ; y(0) = 0; y'(0) = 1,5

14.6а) y'' xy' y x(cos x 2); y(0) = 0 ; y'(0) = –2

14.7а) y '' 2xy ' 4xe x2 ; y(0)=0 ; y'(0) =1

14.8а) y '' xy ' 4xe x2 ; y(0) 0 y'(0) =1

14.9а) y'' y' y sin 3x 19 cos 3x 12 sin 23 x; ; y(0) = 23 ; y'(0) = 0

14.10а) y '' xy ' y ex 2 4x x3 ; y(0) = 0; y'(0) = 0

14.11а) y'' 4xy' 4y 8xe 2 x ; y(0) = 1 ; y'(0) =1,5

1

14.12а) y'' (x 1) y' x 1; ; y(0) = 0; y'(0) = 1,5

14.13а) y '' x2 y ' 4 y 23 x2ex 4 ; y(0) = 43 ; y'(0) = 23

14.14а) y '' xy ' y 0,5x cos x ; y(0) = 0 ; y'(0) = –0,5

26

14.15а) y'' xy' xy 2e x ; y(0) 0; y'(0) 1

14.16а) y'' xy' (x2 2) sin x; y(0) 0; y'(0) 1

14.17а) 9 y'' 3xy' y 2xe x 3 0.2, y(0) 115 ; y'(0) 23

14.18а) y'' 3xy' y e2x (2 3x2 ); y(0) 0; y'(0) 0,5

14.19	а) y'' xy' y 2xe x ; y(0) = 2; y'(0) = –1
14.20	а) (x+1) y″ + y′ = –1; y(0) = 0; y'(0) = –	2
		3

14. б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,25
			n(1
14.1 б)													x )dx
	0
1											2
14.3 б)									x
		arctg								2				dx
0
0,2
14.5 б)				хе х dx
	0
0,5			arctgx
14.7 б)										dx
	0			x
0,2
14.9 б)
				x cos xdx
	0
	0,5
14.11 б)			n(1 x3 )dx
	0
	1
14.13 б)			x2 sin xdx
	0
	1						2
14.15 б)			e x3 dx
	0

1
		3 1 x2
14.2 б)											4		dx
0
0,5			sin x2
14.4 б)										dx
						x
	0
0,1			e x 1
14.6 б)										dx
	0					x
0,5
14.8 б)		x2cos3xdx
	0
	0,5
14.10 б)				n(1 x2 )dx
	0
	0,4										x
											4 dx
14.12 б)							xe
	0
	0,5				1 cos x
14.14 б)																dx
								x		2
	0,3
	0,5				arctgx 2
14.16 б)														dx
							x		2
	0

27

	0,5									0,8		1 cos x
14.17 б)				1 x2 dx					14.18 б)				dx
	0									0		x
	0,5				dx					1
14.19 б)									14.20 б)		sin x2dx
		1		x		5
	0									0

15.Дана функция двух переменных z(x; y) . Найти:

1)экстремум функции z(x; y) ;

2)gradz в точке А(1; –2);

3)наибольшую скорость возрастания z(x; y) в точке А(1; –2).

15.1z x2 xy y 2 3x 6 y 2 .

15.2z 2x2 xy y2 3x y 1.

15.3z 3x2 2xy y2 2x 2 y 3.

15.4z 2x2 xy y2 7x 5y 2 .

15.5z x2 3xy y2 2x 6 y 1.

15.6z 3x2 xy 6 y2 6x y 9 .

15.7z x2 3xy 2 y2 4x 6 y 2 .

15.8z 4x2 2xy y2 2x 4 y 1.

15.9z 0,5x2 xy y 2 x 2 y 8 .

15.10z 8x2 xy 2 y 2 16x y 1.

15.11z 2x2 3y2 2xy 2x 16 y 3.

15.12z 6xy 2x2 y2 14x 5.

15.13z 2x2 y2 3xy 2x 7 y 6 .

15.14z 10xy 3x2 2 y2 26x 18y 1.

15.15z 3x2 2 y2 2xy 18x 8y 1.

28

15.16z 3 3x2 5y2 8xy 4x 26 y .

15.17z 2x2 3y 2 2xy 8x 10 y 6 .

15.18z 5x2 3y 2 2xy 18x 10 y 4 .

15.19z 5x2 5y2 2xy 8x 12y 4 .

15.20z 2x2 3y2 2xy 10x 16 y 7 .

16. а) Найти объем тела, ограниченного параболоидом, цилиндром

(z 0) , через тройной интеграл, применяя цилиндрическую систему коорди-

нат.

16.1	x2 y 2		(z 8),	x2 y 2 4.
16.2	x2 y 2		3(z 2),		x2 y 2	1.
16.3	x2 y 2		2(z 3),		x2 y 2	4.
16.4	x2 y 2		(z 6),	x2 y 2 1.
16.5	x2 y 2		2(z 6),		x2 y 2	9.
16.6	x2	y 2	(z 5),	x2 y 2 1.
16.7	x2 y 2		3(z 3),		x2 y 2	4.
16.8	x2	y 2	2(z 4),		x2 y 2	1.
16.9	x2	y 2	(z 9),	x2 y 2 4.
16.10 x2 y 2 3(z 5),					x2 y 2 9.

16. б) Найти объем тела, ограниченного сферой и конусом, через трой-

ной интеграл, применяя сферическую систему координат.

16.11	x2	y 2	z 2	4,	x2 y 2 z 2 0.
16.12	x2	y 2	z 2	16,	x2 y 2 3z 2			0.
16.13	x2 y 2		z 2	1,	x2 y 2	1	z 2	0.
					3

29

16.14	x2 y 2 z 2			25,	x2 y 2 z 2					0.
16.15	x2 y 2 z 2			1,	x2 y 2	3z 2			0.
16.16	x2 y 2		z 2	9,	x2 y 2		1	z 2		0.
						3
16.17	x2 y 2 z 2			4,	x2 y 2 3z 2					0.
16.18	x2	y 2	z 2	16,	x2 y 2 z 2					0.
16.19	x2	y 2	z 2	25,	x2 y 2 3z 2 0.
16.20	x2 y 2		z 2	9,	x2 y 2		1	z 2		0.
						3

17. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тя-

жести фигуры (в задачах 17.1–17.10 взять меньшую по площади), ограничен-

ной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной едини-

це).

17.1		х2 4 у2 1,								х 2 у 1.
17.2		х2				у 2		1,		х					у			1.
	16		9						4		3
17.3	9х2 16 у2 1,											3х 4 у 1.
17.4		х2 у2					1,		х у 3 0.
17.5		х2				у 2		1,		х					у			1.
	49		4						7		2
17.6		х2 25у2 1,										х 5у 1.
17.7		х2		4 у2 1,						х 6 у 3 0.
	9
17.8	4х2 25у2 1,											2х 5у 1 0.
17.9		х2				у 2		1,		х			у			1.
	25		9						5		3

30