Математика РГР

Построим график функции.

	Рисунок 3 – График искомой функции
	6. Провести полное исследование функции	у	х2	20	методами
			х 4

дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

D( y) x ( Ґ;4) (4; Ґ) .

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

	lim	f (x) lim	x 2	20	Ґ;
			x 4
	x4 0	x4 0
	lim	f (x) lim	x 2	20	Ґ.
			x 4
	x4 0	x4 0

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

71

у

2х(х 4) (х2 20)

х2

8х 20

;

(х 4)2

(х

4)2

х2 8х 20

0;

(х 4)2

х2 8х 20 0;

х1 2; х2

10.

х

Ґ; 2

–2

(–2; 4)

4

(4; 10)

10

10; Ґ

f

+

+

–

не

–

0

+

(x)

сущ.

f

max

min

(x)

уmax y( 2) 4;

уmin y(10) 20 .

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

y		(2x 8)(x	4)2 2(x 4)(x2 8x 20)
			(x 4)4
	2(x 4) (x 4)		2 (x2 8x 20)			36		.
		(x	4)4			(x 4)	3

Так как y 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Оста-

ется выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

	х	Ґ; 4	4	4; Ґ
f		–	не	+
	(x)		сущ.
f
	(x)

5) Исследование графика на

наличие наклонных асимптот.

x2

20

x2

20

1

k lim

f (x)

lim

lim

x2

1;

2

4

xҐ

x

xҐ x2

4x

xҐ

x

1

x

72

		x2 20				4x 20
b lim ( f (x) kx) lim				x	lim		4.
xҐ	xҐ		x 4		xҐ	x 4

Таким образом, прямая y x 4 – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

Рисунок 4 – Гипербола

7. а) Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные z1, z2 , z z1 z2 , u z1 z2 изобра-

зить на комплексной плоскости; z1 и z2 , v z1 z2 , w z1 : z2 записать в по-

казательной и тригонометрической формах; найти 6w , записать в показа-

тельной и алгебраической формах и изобразить геометрически.

1 j z1 2z2 3 j;2 jz1 ( 1 j)z2 j.

73

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам

Крамера

z

1

,

z

2

. Для этого вычислим главный определитель

2

1

системы

и определители

1, 2 , учитывая, что

z x jy – комплексное

j 2 1

j

.

число, где

1

1 j

2

j j4 j2;

j2

1 j

1

3 j

2

3 j2 1 j2 4 j4;

j

1 j

2

1 j

3 j

j 1 j6 2 1 j7.

j2

j

Находим z1 и z2 :

z 1 4 j4

2

2 2 j2 (т.к.

1

j );

1

j2

j

j

z

2

1 j7

1

1

3

1

3,5 j ( 0,5) 3,5 j0,5.

2

j2

2

j

2

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме

записи:

z1 2 j2;

z2 3,5 j0,5;

в векторной форме записи

z1 ( 2; 2);z2 (3,5;0,5).

Для того, чтобы найти z z1 z2 в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел z1 и z2 :

z z1 z2 ( 2 3,5) j( 2 0,5) 1,5 j1,5.

Вектор, соответствующий числу z , строим как сумму векторов по правилу параллелограмма.

74

Для того, чтобы найти u z1 z2 в алгебраической форме, вычитаем действительные и мнимые части чисел z1 и z2 :

u z1 z2 2 j2 (3,5 j0,5) 2 3,5 j2 j0,5 5,5 j2,5.

Вектор, соответствующий числу u z1 z2 , записываем как сумму векторов z1 и ( z2 ) и u z1 ( z2 ) , строим его по правилу параллелограмма.

Рисунок 5 – Векторные диаграммы суммы и разности векторов z1 и z2

Найдем

модуль

r

и

аргумент

комплексных

чисел

z1 и z2 (

y

y

r

x2 y 2

или

r

;

arctg

в 1 и

4

четвертях;

sin

x

1800 arctg

y

во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы

x

аргумент был наименьшим по модулю).

Число z1 2 j2 принадлежит 3 четверти:

2

1) 1800 arctg

1800 450 1350 (аргумент z );

2

1

2) sin sin 1350

2

;

2

1

3)

1:

2

2;

sin

2

1

4) r 2

2

2 2

2 2,83

(модуль z1 ).

sin

75

Число z2 3,5 j0,5 принадлежит 1 четверти:

1)arctg 03,,55 arctg 17 8,130 ;

2)sin sin 8,130 0,14;

1			1	7,07;
3)
	sin		0,14

4) r 0,5 7,07 3,53.

Запишем числа

z и z

2

в показательной

z re j

и тригонометриче-

1

ской z r(cos j sin ) формах:

z

2,83e j1350 ,

z

2,83(cos( 1350 ) j sin( 1350 ));

1

1

z

2

3,53e j8,130 ,

z

2

3,53(cos8,130 j sin 8,130 ).

v z

z

2

2,83e j1350

3,53e j8,130 9,99e j( 1350 8,130 ) 9,99e j126,870 ,

1

v 9,99(cos( 126,870 ) j sin( 126,870 )),

так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а ар-

гументы складываются.

w z1 : z2 2,83e j1350 : 3,53e j8,130 3,532,83e j( 1350 8,130 ) 0,8e j143,130 ,

w 0,8(cos( 143,130 ) j sin( 143,130 )),

так как при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вы-

читаются.

7. б) Найти скорость v (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки,

траектория которой задана параметрическими уравнениями

х 2	3cos			6 t,
			t	5
y 9 cos
		3

в момент времени t0 6 с.

76

Решение. Вектор

есть радиус-вектор движущейся

r (t) x(t)i

y(t) j

материальной точки. В нашем случае

3cos

t 5

r (t) 2

t i

9 cos

j .

6

3

Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.

х 2	3cos			6 t,	х 2	3cos		6 t,
			t	5,		9cos		t.
y 9cos					y 5
		3				3

В первом уравнении обе части возведем в квадрат

х 2 2	9 cos2			t,
				6
х 2 2		9
			2 cos2			t ,
		2			6
2		9
х 2			1 cos2					t ,
		2					6
х 2 2	9 9cos t.
				3

Система уравнений примет вид

2 х 2 2		9 9cos	t,
			3
	9cos t,
y 5
		3

Исключая cos 3 t , получим уравнение

2 х 2 2 9 у 5, 2 х 2 2 у 4,х 2 2 12 у 4 .

77

Это есть уравнение параболы с вершиной А(2; 4) с осью, параллельной оси

Оу,	параметром				р	1	и ветви	направлены вверх. Координаты точки
						4
М0 х0 ; у0 в момент времени t0 6 с будут
х			6		5,
	2 3cos						y 9cos	6 5 14,
		6					3

т.е. М0 5;14 .

Построим полученную траекторию.

Рисунок 6 – Годограф материальной точки – парабола

dr

Вектор v есть вектор скорости материальной точки, который направлен dt

по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае

78

dr

2

3cos

t

i

9 cos

t

dt

6

t

3

или

dr

sin

t i 3 sin

t

dt

2

6

3

3

9

5

j

sin

t

i

sin

t j

t

6

6

3

3

j;

v(t)

2 sin

6 t i

3 sin

3 t

j.

В момент времени t0 6 с скорость материальной точки равна

dr

dr

(6)

sin

6

i

3 sin

6

j

или v(6)

(6) 0;

dt

2

6

3

dt

а величина скорости

v

0

м/с.

v(6 c)

0,

v(6 c)

0

Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен

a(t)

a(t)

a(t)

a(6 c)
a(6)

d 2r							dv
										(t) v (t). В нашей задаче
	dt 2						dt
																																2
dv																																							2
				(t) v (t)										sin			t i			3 sin								t	j					cos			t i			cos		t j,
	dt												2		6												3		t			12				6					3
		2
				cos t i							2 cos				t j
																					и
12					6										3
					2													2
					( 1)i							2	1 j							i			2 j				. Отметим этот вектор на чертеже.
			12															12
													2																		2
								4			1				4				2					2			1						145				2
	a															( 1)													1							м/с .
											12													144									12

Ответ: В момент времени t 6 с величина скорости точки v(6) 0 м/с, а

ускорение a(6) 2 145 м/с2. 12

7. в) Найти скорость v (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки,

траектория которой задана параметрическими уравнениями

х 8sin	6 t 2,
			t 3
y 9cos
		6

в момент времени t0 6 с.

79

Решение. Вектор					есть радиус-вектор движущейся
	r (t) x(t)i		y(t) j
материальной точки. В нашем случае						8sin
				r (t)				t 2 i	9cos		t 3 j .
							6			6

Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.

х 2

х 8sin

6 t 2,

х 2

8sin

6 t,

sin

6 t,

8

y 3

y 9cos

t 3,

y 3

9cos

t,

cos

t.

6

6

9

6

Обе части уравнений возведем в квадрат и почленно сложим.

	х 2 2		sin 2		t,
	82						х 2 2			y 3 2
				6								1.
		2					8	2		9	2
y 3			cos2	t.
	9	2		6

									и полуосями а 8;
Получили уравнение эллипса с центром в точке О ( 2; 3)
b 8. Координаты точки М0 х0 ; у0 в момент времени t0 6 с будут
		6
х0 8sin				2 2;	y	0	9cos	6 3 12.
	6						6
		dr
Вектор v				есть вектор скорости материальной точки, который направлен
		dt

по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае

dr

8

9

8sin

t 2

i

9cos

t 3

j

cos

t i

sin

t j

dt

6

t

6

t

6

6

6

6

dr

4

3

или v(t)

cos

6 t i

sin

6 t j.

dt

3

2

80