Математика РГР

файл с выполненным заданием и быть готовым выполнить модификацию файла по заданию преподавателя. Если программа отсутствует на компьюте-

ре кафедры, то студент должен подойти с ноутбуком с установленной про-

граммой для проверки. О наличии на кафедре специализированных программ и возможности использования компьютера следует уточниться у преподава-

теля.

28.1	28.2

28.3	28.4

51

28.5

28.6

28.7	28.8

28.9	28.10

52

28.11	28.12

28.13	28.14

28.15	28.16

53

28.17	28.18

28.19	28.20

29. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопро-

водности на отрезке. Определить значение температуры в середине отрезка при t 10c с точностью до 0.01 градуса.

29.1	ut	0.0121uxx , 0 x 3 , t 0,		29.11	ut	0.04uxx , 0 x 10 , t 0,
		0, 0 x 1					0, 0 x 2
			x 2	u 0,t u 10,t
u 0,t u 3,t 0 , u(x, 0) 2,1							0 , u(x, 0) 3, 2 x 5
			x 3
		0, 2					0, 5 x 10
29.2	ut	0.01uxx , 0 x 2, t	0,	29.12	ut	0.09uxx , 0 x 9 , t 0,

54

0, 0 x 1

0, 0 x 5

u

u 0,t u 9,t 0 ,

u(x, 0)

x 7

0,t u 2,t 0 , u(x, 0) 4,1 x 1.5

8, 5

x 9

0,1.5 x 2

0, 7

29.3 ut

0.0225uxx , 0 x 5 , t 0,

29.13

ut

0.0144uxx ,

0 x 3 ,

t 0,

0, 0 x 1

0, 0 x 1

u

0,t u 5,t 0 ,

x 2

u 0,t

5,1 x 1.5

u(x, 0) 6,1

u 3,t 0 , u(x, 0)

x 5

x 3

0, 2

0,1.5

29.4 ut

0.0169uxx , 0 x 4, t 0,

29.14

ut

0.0484uxx ,

0 x 5 ,

t 0,

0, 0 x 1

0, 0 x 1

u

0,t u 4,t 0 ,

x 2

u 0,t u 5,t 0 ,

u(x, 0)

x 2

u(x, 0) 3,1

8,1

x 4

x 5

0, 2

0, 2

29.5 ut

0.04uxx , 0 x 5 , t 0,

29.15

ut

0.09uxx ,

0 x 7 , t 0,

u

0,t u 5,t 0 ,

0, 0 x 1

u 0,t u 7,t 0 ,

0, 0 x 2

u(x, 0)

x 5

u(x, 0)

x 7

2,1

4, 2

29.6 ut

0.0196uxx , 0 x 3 ,

t 0,

29.16

ut

0.01uxx , 0 x 1, t 0,

u

0,t u 3,t 0 ,

0, 0 x 2

0, 0 x 0.5

u(x, 0)

x 3

u 0,t u 1,t 0 , u(x, 0)

4, 0.5 x 1

4, 2

29.7 ut

0.09uxx , 0 x 8 , t 0,

29.17

ut

0.0256uxx ,

0 x 4 ,

t 0,

u

0,t u 8,t 0 ,

4, 0 x 1

u 0,t u 4,t 0 ,

u(x, 0)

3, 0 x 1

u(x, 0)

0,1 x 8

0,1

x 4

29.8 ut

0.0121uxx , 0 x 2, t 0,

29.18

ut

0.09uxx , 0 x 10 , t 0,

u

0,t u 2,t 0 ,

3, 0 x 1.5

u 0,t

5, 0 x 8

u(x, 0)

u 10,t 0 , u(x, 0)

0,1.5 x 2

0,8 x 10

29.9 ut

0.01uxx ,

0 x 1, t 0,

29.19

ut

0.0144uxx ,

0 x 2 ,

t 0,

u

x, 0

4 , u 0,t u 2,t 0.

u x, 0

3 , u 0,t

u 2,t

0.

29.10 ut 0.0324uxx , 0 x 4, t 0,

29.20

ut

0.09uxx ,

0 x 8 , t 0,

u x, 0 2 , u 0,t u 4,t 0.

u x, 0 5 , u 0,t u 8,t 0.

30. Найти:

55

1) точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница; 2)приближенное значение интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знака; 3)относительную погрешность в процентах.

7

1.1 3 9x 1dx.

1

5

1.3 3 9x 19dx.

3

3

1.5 3 9x 37dx.

5

9

1.7 3 9x 17dx.

1

11

1.9 3 9x 35dx.

3

7

1.11 39x 1dx.

1

5

1.13 39x 19dx.

3

3

1.15 39x 16dx.

5

7

1.17 39x 17dx.

3

11

1.19 39x 35dx.

1

6

1.23 9x 10dx.

2

4

1.43 9x 28dx.

4

8

1.6 3 9x 8dx.

0

10

1.8 3 9x 26dx.

2

12

1.10 3 9x 44dx.

4

6

1.12 39x 10dx.

2

4

1.14 39x 4dx.

4

8

1.16 39x 8dx.

2

10

1.18 39x 26dx.

7

14

1.20 39x 44dx.

4

31. Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств

56

x1 x2 2

x1 3x2 2a 10,

x1 2x2 3a 4,x1 a 8

x a.2

Пользуясь графическим методом, найти минимум и максимум линейной формулы L 2x1 x2 3. Значение параметра a равно последней цифре зачет-

ной книжки.

32. Совхозу требуется не более a трехтонных автомашин и не более a 2

пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонной машины 2000 руб., пя-

титонной 4000 руб. Совхоз может выделить для приобретения автомашин

6a 20 тыс. руб. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была макси-

мальной. Решить задачи сначала графическим методом, а затем аналитиче-

ским. Значение параметра а равно последней цифре зачетной книжки.

33. Командные проекты по статистике

Необходимые данные разрешается искать в любых источниках. В презента-

ции и отчете по проекту давать ссылки на источники информации. Тематику проектов можно изменять по согласованию с преподавателем. Срок выпол-

нения проекта 1 месяц. По результатам исследования необходимо сделать доклад на 10 мин с компьютерной презентацией на занятии. Работа над про-

ектом выполняется в группе из 4 человек. Отчет предоставляется в произ-

вольной форме. В отчете и презентации обязательно указать роль каждого участника в проекте. По результатам работы над проектом выставляется в итоговый рейтинг до 10% в зависимости от роли студента в проекте, резуль-

тата, качества отчета, защиты и оригинальности темы исследования.

Проект 1.

По данным метеонаблюдений найти интервальную оценку для средней температуры и ее СКВ за январь прошлого года.

Сравнить ее с имеющимися данными по средней температуре января в нашей местности.

57

Проверить гипотезу, что зимой температура в дни с осадками выше, чем в дни без осадков.

Существует ли корреляция между температурой и давлением?

Проект 2

Найти средний курс доллара за декабрь прошлого года и такую же величину за декабрь позапрошлого года

Найти интервальные оценки для среднего значения и СКВ.

Проверить гипотезу, что курс за год вырос.

Существует ли корреляция между курсами доллара и евро?

Проект 3

Сделать интервальные оценки для средних значений и СКВ экзаменационных оценок по математике на основе данных по вашему потоку.

Проверить гипотезу о том, что у ребят, родившихся весной/летом оценка выше, чем у остальных.

Найти корреляцию между оценками по физике и математике

Проект 4.

Найти среднюю стоимость нефти brent за прошлый год и такую же величину за позапрошлый год

Найти интервальные оценки для среднего значения и СКВ.

Проверить гипотезу, что цена за год выросла.

Существует ли корреляция между стоимостью нефти и стоимостью золота, между стоимостью нефти и курсом доллара?

Проект 5.

Найти среднюю стоимость газа на мировом рынке за прошлый год и такую же величину за позапрошлый год

Найти интервальные оценки для среднего значения и СКВ.

Проверить гипотезу, что цена за год выросла.

Существует ли корреляция между стоимостью газа и курсом доллара?

58

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

1. Привести	уравнения данных	гармонических колебаний
у 4sin 3x 3cos3x	к виду у Asin x .	Найти амплитуду А, фазу ,

период гармоники и построить ее график.

Решение. Привести уравнения данных гармонических колебаний

у Asin x ,

у 4sin 3x 3cos3x

к виду

где А

а2 b2 – амплиту-

да, arctg

b

,

sin

b

, cos

a

и T

2

– период колебания.

a

A

A

В нашем случае:

3

3

4

А

2

( 3)

2

sin

cos

принад-

4

, arctg

и

,

, откуда

4

5

5

лежит 4 четверти и arctg

3

36,90 , T

2

1200 . Тогда

4

3

у 5sin(3x 36,90 ) ,

T 1200 .

От

графика

функции

y sin x

перейдем к

графику

функции

у 5sin(3x 36,90 ) с помощью следующей цепочки преобразований:

y

sin x,

y

2

sin 3x,

y

5sin 3x,

y 5sin 3(x 12,30 ),

1

3

то есть к нашей функции у 5sin(3x 36,90 ) .

Построение:

1.Строим одну волну синусоиды y1 sin x .

2.Строим график функции y2 sin 3x , которая имеет период T 1200 (то есть сжимаем функцию y1 в три раза).

3.Увеличивая ординаты графика y2 в 5 раз, получаем график функции

y3 5sin 3x .

4. Сдвигаем график функции y3 на 12,30 вправо вдоль оси Ох.

59

												Рисунок 1 – Построение гармоники
																				1; 1;24 и
		2.	Даны векторы								е1 1;2;1 , е2 2;3; 1 , е3											х 1;8; 1 .
Показать,				что векторы											образуют базис трехмерного пространства,
											е1		, е2 , е3
найти разложение и координаты вектора																		в этом базисе. Полученную си-
																	х
стему линейных уравнений решить тремя методами:
		а) через определители (формулы Крамера),
		б) через обратную матрицу,
		в) методом Гаусса (через расширенную матрицу).
		Решение. Составим определитель из координат векторов																				е1, е2	, е3 и
вычислим его, разложив по элементам первой строки:
		2		1					3	1				2	1		2	3
	1
	2 3			1	1							2				1
	1	1		2				1		2				1	2		1	1
6 1 2( 4 1) (2 3) 10 0,
значит,			векторы									образуют базис трехмерного пространства и вектор
						е1 , е2				, е3
	х можно разложить по векторам базиса
		х		х1е1 х2е2 х3е									,
где х1 ,			х2 , х3 – координаты вектора х в базисе е1,																	е2	, е3 .

Перейдем к матричной записи полученного векторного уравнения

60