Математика РГР

17.10	х2 у2 4,		х у 2 0.
17.11	у 2 х 1,	у 2		1				х 1.
				2
17.12	у 2 2х 4,		у 2					1	х 4.
								2
17.13	у 2 х 4,	у 2			1			х 4.
				3
17.14	у2 9х 9,		у2 х 9.
17.15	у2 2х 16,		у2	х 16.
17.16	х2 9 у 3,	х2 у 3.
17.17	х2 2 у 4,		х2 у 4.
17.18	х2 3у 9,	х2 у 9.
17.19	х2 16 у 1,		х2	у 1.
17.20	х2 25у 25,		х2	5у 25.

18. Вычислить работу, совершаемую переменной силой F по контуру,

связывающему точки М(1; 2) и N(3; 5), и установить независимость от пути

интегрирования.

x3

2x

18.1

F

2 y i

5 j .

18.2

F

x y i

х 2у j .

х

2

18.3

F

1 2xy i

x2 y j .

18.4

F

2 хy i

у

j .

2

2x

18.5

F

x2 y i

x 3y j .

18.6

F

x3 2 y i

5 j .

1

2

18.7

F

3 xy i

x

2 y j .

18.8

F

2x 3y i

3x

4у j .

2

5x

2x

х2

у

18.9

F

2y i

y j .

18.10 F

4 xу2 i

3у2 j .

x

18.11 F 3x2

y i

3y j .

18.12 F 3x 2 y i 2x

у j .

31

2x2

х2

18.13

F

4xy 3 i

y j .

18.14

F

1 2ху i

у j .

x2 y

18.15

F

4 xy 2 i

2 y j .

18.16

F

5x 2 y i

2x у j .

18.17

F

2xy 8 i

x2 2 y j .

18.18

F

3x2 y i

x 2 у j .

3

18.19

F

5x2 3y i y2

3x j .

18.20

F

4ху 3 i

2х2

у 2

j .

2

19. Найти циркуляцию векторного поля F вдоль линии пересечения L

плоскости S4 с координатными плоскостями непосредственно и по формуле Стокса (точка пробегает полученную линию против часовой стрелки, если смотреть из начала координат).

19.1F (x z)i , x y z 2 0.

19.2F ( y x z) j, 2x y 2z 2 0.

19.3 F

19.4 F

19.5 F

(x 7z)k , 2x y z 4 0.

(x 2y z)i , x 2y 2z 4 0.

	2x 3y 3z 6 0.
(2x 3y 3z) j,

			3x 2 y 3z 6 0.
19.6	F	(2x 4 y 3z)k ,

19.7F (x y z)i , x 2y z 4 0.

			x y 2z 4 0.
19.8	F	(3x 4y 2z) j,
			x y 3z 3 0.
19.9	F	(5x 2 y 3z)k ,

19.10 F

19.11 F

19.12 F

(x 3y 6z)i , x y 2z 4 0.

(x y)i , x y z 1 0.

(x y z)i , x 2y 2z 2 0.

			y z 2 0.
19.13	F	(x z)k , 2x
				x 2y 2z 4	0.
19.14	F	(2x y z) j,
				2x 3y 3z	6 0.
19.15	F	(2x 3y 3z)k ,
				3x 2y 3z	6 0.
19.16	F	(3x 4y 2z)i ,

32

			2x y z 4 0.
19.17	F	( x y z)i ,
				x 2y z 4 0.
19.18	F	(3x 2y 4z) j,
				3x y z 3 0.
19.19	F	(3x 2 y 5z)k ,
				x y 2z 4 0.
19.20	F	( 3x y 6z)i ,

20. Найти поток векторного поля F через треугольник, который получается

в сечении плоскости S4 координатными плоскостями в направлении вектора нормали, образующего с положительным направлением оси 0Z острый угол.

Найти поток векторного поля									через замкнутую поверхность, образован-
								F
ную плоскостью S4						и координатными плоскостями в направлении внешней
нормали.
20.1	F (x 2y2 z)i ,					плоскость		x y z 2 0.
20.2	F ( y x2 z) j,					плоскость		2x y 2z 2 0.
20.3	F (x2 7z)k ,				плоскость 2x y z 4 0.
20.4	F (x 2y2 z)i ,					плоскость		x 2 y 2z 4 0.
20.5	F (2x2 3y 3z) j,						плоскость 2x 3y 3z 6 0.
20.6	F (2x 4y2			3z)k ,			плоскость 3x 2y 3z 6 0.
20.7	F (x y2 z)i ,					плоскость		x 2y z 4 0.
20.8	F (3x2 4y 2z) j,						плоскость		x y 2z 4 0.
20.9	F (5x 2y2			3z)k ,			плоскость		x y 3z 3 0.
20.10		F (x 3y2		6z)i ,			плоскость		x y 2z 4 0.
20.11		F (x y2 )i ,			плоскость x y z 1 0.
20.12		F (x y2 z)i ,				плоскость		x 2 y 2z 2 0.
20.13		F (x2 z)k ,			плоскость 2x y z 2 0.
20.14		F (2x2	y z) j,				плоскость x 2y 2z 4 0.
20.15		F (2x2	3y 3z)k ,				плоскость 2x 3y 3z 6 0.
20.16		F (3x 4y2			2z)i ,		плоскость 3x 2y 3z 6 0.

33

20.17	F ( x y2 z)i ,		плоскость 2x y z 4 0.
20.18	F (3x2 2y 4z) j,			плоскость x 2 y z 4 0.
20.19	F (3x 2y2	5z)k ,		плоскость	3x y z 3 0.
20.20	F ( 3x y2	6z)i ,		плоскость	x y 2z 4 0.

21.Дано векторное поле V и точки M1 , M 2 и M 3 .

1)Показать, что поле V – потенциальное.

2)Найти потенциал U (x; y; z) , если известно, что U (0;0;0) n , где п – номер

варианта.

3) Найти работу поля между точками M1

и M 2 , M 2

и M 3 ,

M 3 и M1

и найти

циркуляцию по контуру M1 M 2 M 3 M1 .

(1;1; 1), M

(1;2; 5), M

21.1 M

1

2

3

(2; 1;1), V

(2xy 2xz)i (x2

2y) j

x2k.

(2;1; 4), M

(x2

21.2 M

1

2

(1;1;2), M

3

(1;2; 1), V

(2xy 1)i

2 yz) j y 2k.

(2;1; 1), M

21.3 M

1

2

(1;2;3), M

3

(2;1;1), V

(2xy y 2 z)i (x2

2xy) j xk.

( 2;2;1), M

(x2

21.4 M

1

(1;2;2), M

2

3

(1; 3;2), V

(2xy z 2 )i

2y) j

2xzk.

21.5 M

1

(2;1;1), M

2

(1;1;2), M

3

(1;3;1), V (2xy 1)i

(x2

z 2 ) j

2 yzk.

21.6 M

1

(1;1;7), M

2

(2;1;1), M

3

(2;3; 3), V

(2xz y2 )i

(2xy 1) j x2k.

21.7 M

1

(1;2;1), M

2

(2;1;2), M

3

( 2;2;1), V

(2xz 1)i

2 yzj (x2 y2 )k.

( 1; 4;2), M

21.8 M

1

(1;1;2), M

2

3

(2;0;1), V

(2xz z 2 y)i

xj

(x2 2xz)k.

21.9 M

1

(1;6;1), M

2

(2;3;1), M

3

(3; 4;1), V

(2xz 1)i z 2 j (x2

2 yz)k.

( 3;1;3), M

( y2

(2xy

21.10 M

1

2

(1;2;7), M

3

(1;2;2), V

2x)i

2 yz) j y2k.

( y2

21.11 M

1

(5;1;1), M

2

(2;2;2), M

3

(2;2;0), V

z 2 )i

(2xy 1) j 2xzk.

( y 2

21.12 M

1

(1;1;2), M

2

(0;1;3), M

3

(6; 1;6), V

2x)i

(2xy z 2 ) j

2 yzk.

( 1;0; 1), M

(z 2

21.13 M

1

(1;2;1), M

2

3

(2;2;2), V

2x)i 2yzj

(2xz y2 )k.

21.14 M

1

(2;1;2), M

2

(1;2;1), M

3

( 3; 2;1), V

yi

(2yz z 2

x) j (2yz y 2 )k.

34

(3; 4; 1), M

21.15

M

1

(2;2;1), M

2

3

(2;1;2), V

(z 2 2x)i z 2 j

(2xz 2 yz)k.

( 1;6;2), M

21.16

M

1

(1;0;3), M

2

3

(2;0;2), V

(2xy 2xz)i x

2 j (x2

2z)k.

( 1;1;6), M

(2;2; 4), M

(x2

21.17

M

1

2

3

(2; 1; 8), V (2xy y2 )i

2xy z) j

yk.

( y 2

21.18

M

1

(2;1;2), M

2

(2;2;1), M

3

(0;2;2), V

2xyi (x2

2 yz) j

2z)k.

21.19

M

1

(1;4;2), M

2

(4;1;1), M

3

(2;0;2), V

(2xy z 2 )i

x2 j

(2xz 1)k.

( 1;2;1), M

21.20

M

1

2

(2;1;1), M

3

(2;2; 1), V

2xyi (x

2 z 2 ) j

(2yz 1)k.

22. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно,

что каждый i -ый элемент работает независимо от других с вероятностью

pi ( i = 1, 2, 3, 4, 5).

p1 0,6, p2 0,7, p3 0,8, p4 0,5, p5 0,9 .

35

22.1								22.2
		1		2
															2
							5
		3		4
															3
											1
															4

5

22.3											22.4
			1							4										3
						3
										5					1		2			4
			2
																				5

22.5								22.6
		3													1		2		3
																						5
		1				2											4
										5
					4

22.7								22.8
		1				2							1
																	4
					3								2
																	5
					4								3
					5

22.9

22.10

36

					2										1		2
	1			3				4								3
					5										4		5

22.11																			22.12
												2												1			2
																																			4
				1
												3																							5
																										3
					4							5
22.13																			22.14
		1								3														1			2						3
		2								4																	4
																											5
22.15										5									22.16
					1																									2
					2																		1
																5																	4
																											3
		3							4
																																	5
22.17																			22.18
								1																					5
															4
				2					3																				2
																								1											4
									5																				3

37

22.19								22.20
			1													1				2
								3
			2															3
								4
																		4
								5
																		5

23.1 Инженер высылает запрос на запасные части в 3 города А, Б, В.

Вероятность получения запчастей из города А равна 0,4; из Б – 0,6; В – 0,5.

Какова вероятность, что запчасти будут получены: а) из всех городов, б) не менее, чем из двух городов, в) хотя бы из одного города, г) ни из одного города, д) только из одного города.

23.2 В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов 150 веще-

вых и 50 денежных выигрышей. Куплены 3 билета. Какова вероятность, что:

а) все три билета выиграют (вещь или деньги), б) не будет ни одного вы-

игрыша, в) хотя бы один билет выиграет, г) не менее двух билетов выигра-

ют, д) только один билет выиграет.

23.3 Известно, что продукция завода состоит из 75% упаковок кабелей

1 сорта. Какова вероятность, что при случайном отборе 4-х кабелей окажутся

1-го сорта: а) три упаковки, б) не менее трех упаковок, в) хотя бы одна упа-

ковка, г) ровно одна упаковка, д) не более одной упаковки.

23.4В телестудии 4 камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она в данный момент включена, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) все камеры, б) не менее двух камер, в) хотя бы одна камера, г) ровно одна камера, д) ни одна камера не включена.

23.5Вероятность, что первая строительная организация перевыполнит план, равна 95%, вторая – 75%, третья – 55%. Найти вероятность того, что

38

план перевыполнят: а) все три организации, б) хотя бы одна организация, в)

хотя бы две организации, г) только одна организация, д) ни одна организа-

ция не выполнит план.

23.6 В насосной станции работают независимо друг от друга 3 насоса.

Вероятность того, что в течение часа любой из них выйдет из строя, равна

0,4. Какова вероятность, что в течение часа: а) выйдет из строя хотя бы один насос, б) не менее двух насосов, в) не выйдет из строя ни один насос, г)

выйдет менее двух насосов, д) выйдет более одного насоса.

23.7 В валовой продукции завода стандартных деталей в 2 раза больше,

чем нестандартных. Наугад берѐтся 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них будет стандартных: а) ровно три, б) не менее четырех, в) хотя бы одна, г) не более двух, д) ровно одна.

23.8 Вероятность, что первое хозяйство получит новую автомашину,

равна 0,7; что получит второе – 0,8; третье – 0,4. Какова вероятность, что но-

вые машины: а) получат все три хозяйства, б) не получит ни одно хозяйство,

в) получит только одно хозяйство, г) получит хотя бы одно хозяйство, д) по-

лучат любые два хозяйства.

23.9 40% приобретенных аппаратов требуют гарантийного ремонта.

Приобретены 5 аппаратов. Какова вероятность, что гарантийного ремонта потребуют: а) три аппарата, б) не менее трех аппаратов, в) не более двух аппаратов, г) ровно два аппарата, д) все пять аппаратов.

23.10 Вероятность того, что первый фермер уберѐт урожай в срок, рав-

на 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что урожай уберут в срок: а) все фермеры, б) не менее двух фермеров, в) хотя бы один фермер, г) ни один фермер, д) менее двух фермеров.

23.11 Вероятность того, что баскетболист бросит мяч в кольцо, равна

0,6. Какова вероятность, что при 5 бросках будет: а) четыре попадания, б) не

39

менее четырех попаданий, в) хотя бы одно попадание, г) ни одного попада-

ния, д) не более одного попадания.

23.12 Одновременно брошены 4 монеты. Найти вероятность того, что выпадет: а) столько «гербов», сколько «надписей», б) ни одного

«герба», в) «гербов» больше, чем «надписей», г) только один «герб», д) ни одной «надписи».

23.13 Радиолокационная станция наблюдает за 5 объектами. Опыт по-

казывает, что 10% объектов во время наблюдения «теряются». Найти вероят-

ность того, что будут потеряны: а) все объекты, б) ни одного объекта, в) один объект, г) хотя бы один объект, д) не менее двух объектов.

23.14Долголетние наблюдения показывают, что в некоторой местности

вавгусте стоит 25% солнечных дней. Найти вероятность того, что в данном году первого и второго августа: а) будет солнечно, б) ни один день не будет солнечным, в) хотя бы один день будет солнечным, г) ровно один день будет солнечным, д) второго будет солнечно, при условии, что первого пасмурно.

23.15Группа студентов, в которой 20 человек, направляется на практи-

ку в 3 бригады РЭС. Первой бригаде требуется 10, второй – 6, а третьей – 4

студента. Студенты А и В тянут жребий по очереди. Какова вероятность, что:

а) оба студента попадут в первое хозяйство, б) оба студента попадут в одно хозяйство, в) оба студента не попадут во второе хозяйство, г) студенты попа-

дут в разные хозяйства.

23.16 25 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса каждый, во-

просы не повторяются. Студент знает 40 вопросов, но не знает билетов.

Найти вероятность того, что студент знает: а) оба вопроса билета, б) один вопрос, в) хотя бы один вопрос, г) ни одного вопроса.

23.17 У сборщика имеются 20 цилиндрических и 15 конусообразных валиков. Сборщик берѐт на удачу 1 валик, а затем ещѐ один. Найти вероят-

40