Математика РГР

	X0			X1				X2		X3	X4	X5	X6	X7	X8
x
	-6		-5				-4			-3	-2	-1	0	1	2
	Y0			Y1				Y2		Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8
y
	-3		-2,6207				-2,0801			0	2,0801	2,6207	3	3,3019	3,5569
	Подставим найденные значения в формулу (2).
	∫ √					(									)

Таким образом, приближенное значение интеграла равно 6,5804. Оценим дополнительную погрешность по формуле: | | .

Для этого найдем:

( )
(√	)

Т.к.	то функция							достигает наибольшего значения на
				√
концах отрезка			.
		[	]
						(√		)

(√ )

Найти это значение подставим в формулу (3).

| |	|		|

Ответ:

2

1) Точное значение интеграла: 39x 27dx 0,5883

6

2)Приближенное значение этого интеграла:

∫√

3)Относительная погрешность в процентах:

| |

31. Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств

131

{

Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы:

Решение. Построим прямоугольную систему координат х1Ох2. Если в этой системе координат построить прямую ax1+bх2= с, то эта прямая разби-

вает плоскость х1Ох2 на две полуплоскости, каждая из которых лежит по од-

ну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ax1+bх2≤с, а координаты точек,

лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ax1+bх2≥ с.

Построим в плоскости х1Ох2 граничные прямые: х1—х2 = — 2(АВ), x1—

3x2=—10(BC), x1+2x2= 4(АЕ), x1=8(CD) и x2=0(ED). В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 15). Значения x1 и х2, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на гра-

нице найденного пятиугольника. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х1 и x2, при которых линейная форма L(2) имеет минимум, и те значения х1 и x2, при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 15 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе

132

пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения х1 и x2 боль-

ше или равны нулю.

Для каждой точки плоскости х1Ох2 линейная форма L принимает фикси-

рованное значение. Множество точек, при которых линейная форма L при-

нимает фиксированное значение L1, есть прямая 2x1+x2=L1(l1) которая пер-

пендикулярна вектору N = 2i + j. Если прямую l1 передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N, то линейная форма L

будет возрастать, а в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l1) для того случая, когда L=0, т. е. построим прямую 2x1+x2=0. Как видно из рис. 15, при передвижении прямой l1 в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольни-

ка ABCDE. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следователь-

но, Lmin= 2×0+ 1×2 = 2. При дальнейшем передвижении прямой l1 параллель-

но самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы L будет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С (8; 6). Таким образом Lmax= 2×8 +1×6 = 22.

32. Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пяти-

тонных. Отпускная цена машины первой марки 2000 руб., второй марки 4000

руб. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 руб. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая

(суммарная) грузоподъемность была максимальной.

Решение. Пусть приобретено х1 — трехтонных, x2 — пятитонных авто-

машин. Тогда заданные условия задачи можно записать так:

{

или {

Линейная форма L (часто ее называют целевой функцией) применитель-

но к условиям данной задачи имеет вид

L = 3x1+ 5х2

133

Требуется найти те значения х1 и х2, при которых L достигает макси-

мального значения. По условию задачи x1≥0 и х2≥0. Задачу можно решить графическим методом, который был использован при решении предыдущей задачи. Можно построить многоугольник OABCD (рис. 16), вектор N = 3i+5j,

прямую 3x1+5х2 = 0 (l1) и затем, перемещая прямую l1 в положительном направлении вектора N перпендикулярно этому вектору, установить, что L

достигает максимального значения в точке С, для которой х1=10 и х2=5. Сле-

довательно, совхозу следует приобрести 10 трехтонных и 5 пятитонных ма-

шин. В этом случае общая грузоподъемность составит 55 тонн.

Рассмотрим аналитический метод решения этой задачи. Условия задачи характеризуются системой (1), которая содержит два неравенства и одно уравнение. Преобразуем эту систему так, чтобы получить систему уравне-

ний. Для этого введем дополнительные неизвестные х3≥О и х4≥0. Тогда си-

стему (1) можно записать так:

{

(3)

Так как система (3) содержит 3 уравнения и 4 неизвестных, то одно из дополнительно введенных неизвестных, а именно х4, будем считать свобод-

ным. Выразим теперь x1, x2 и х3 через х4. В результате получим x1= 4 + 2x4, х2= 8—x4, х3 = 6 —2x4. (4)

Подставим x1 и x2 из (4) в линейную форму (2):

L= 12+6x4+40-5x4 = 52+x4.

Из полученного равенства видно, что L будет возрастать, если будет возрастать свободное неизвестное х4. Так как по условию x3≥0 и x4≥0, то из

(4) следует, что х4 не может быть более 3.

Положив x4 = 3, получим из (4) х1= 10, x2= 5, х3=0. Тогда линейная фор-

ма L = 3×10+5×5 = 55.

134

Теперь исследуем второе неизвестное х3. Если из (4) x1 и х2 выразить че-

рез x3 то получим х1=10—х3, х2= 5+x3/2. Тогда L= 3(10—x3)+5(5+0.5x3)=55 —

0.5х3.

Так как х3≥О, то при возрастании x3 будет убывать L. Таким образом, L

имеет максимальное значение при x1=10 и х2 = 5, т. е. Lmax=55.

Ответ: Итак, совхоз должен приобрести 10 трехтонных и 5 пятитон-

ных автомашин. В этом случае общая грузоподъемность составит 55

тонн.

135

Учебное издание

ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ

Методические указания

Карпова Викторина Степановна Хохряков Николай Владимирович

Подписано в печать	2014 г. Формат 60х84/16.
Гарнитура Тimes New Roman. Усл. печ. л.		. Уч.-изд. л.	.
Тираж	экз. Заказ № .
ФБГОУ ВО Ижевская ГСХА
426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 11

136