zbirnuk_zadach

П р и к л а д 3: Обчислити визначник розкладаючи його за елементами третього рядка:

	3	7	5		4 1 3 1		7	5		2 1 3 2		3	5		11 1 3 3		3	7
	1	2	3
	4	2	11				2	3				1	3				1	2

4 1 7 3 5 2 2 1 3 3 5 1 11 1 3 2 7 1 44

8 11 63.

Пр и к л а д 4 : Обчислити визначник четвертого порядку:

		1	2	1	2
		3	0	1	5	.
		1	2	0	3
		2	4	1	6

Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник

		1	2	1	2
		4	2	0	7	.
		1	2	0	3
		1	2	0	8

Переставимо місцями перший і третій стовпчики:

	1	2	1	2
	0	2	4	7	.
	0	2	1	3
	0	2	1	8

Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього та четвертого рядків:

		1	2	1	2		1	2	1	2
		0	2	4	7	5 3	0	2	4	7	.
		0	0	5	10		0	0	1	2
		0	0	3	15		0	0	1	5

Віднявши третій рядок від четвертого, одержимо:

		1	2	1	2
	5 3	0	2	4	7	15 1 2 1 3 90.
		0	0	1	2
		0	0	0	3

11

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчислити визначники в наступних завданнях:

№1.19.											3	4			;												№1.20.											9	0	;
							7					12																										14	1
№1.21.											4	6		;													№1.22.										7		1			;
											5	7																									8		2
№1.23.											6	11						;									№1.24.						3						4					;
							1					5																											2
																																					8
№1.25.										5		3	2														№1.26.									4			7					3
										6		5	3			;																				9			6					2			;
										7		3	5																							8			5					1
№1.27.											5	3						2									№1.28.										1		4					7
										2		1						4		;																	2		5								8						;
										8		3						5																			3		6					9
№1.29.											5	9						2									№1.30.							3					4					5
										6		5						3					;												1				2					2							;
										7		1						0																13					7					4
№1.31.								25				8						3									№1.32.									7			8					3
									3			4						1							;											3			1					4		;
								2				5								2																2			6					5
№1.33.								11				5						6									№1.34.							3					1 2
								1				2						3						;										2					10					3						;
								7				4						4																4					1					5
№1.35.											3	9						1									№1.36.							20					3								3
											9	12						5				;													5				6					7								;
											2	3						2																2					4					3
									1			4						2							1										1				0					2								1
№1.37.									2			3				2									2	;	№1.38.								0				3					1								2			.
												2						2							1														2					2								1
											1																										2
									1			1					5								2										1				1					3								2

Обчислити мінори та алгебраїчні доповнення в наступних завданнях:

12

		4	5	3						2	1	4
№1.39.		1	0	5	;			№1.40.		14	3	0	;
		3	11	2						6	2	1
		4	5	2		1				6	4	2	1
№1.41.		4	0	3		2	;	№1.42.		2	3	2	4		.
			1	2		1				4	0	5	1
		1
		2	2	6		2				1	1	0	3

Обчислити визначник розкладаючи його за елементами рядка або стовпця в наступних завданнях:

№1.43.				7	11	;				№1.44.			33		14	;
			13		2								7		10
№1.45.				1	2		3			№1.46.				2	2		4
				2	8		15	;						14	8		0		;
				1	3		6							1	3		1
			1		3	2	1						4		5	2	1
№1.47.				4	0	5	0		;	№1.48.			1		3	4	2				.
					2	6	1						1		6	2	5
				2
			0		3	1	2						2		2	6	2

Індивідуальне завдання

Обчислити визначники в наступних завданнях:
					n	2	n 2			n	5	2	2n
	n	n 1								1	n 1	4	2
1)			;	2)	2	n 1	7	;	3)						.
	1	5								1	4	2n	5
					n 2	3	n
										1	n	6	n 2

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Основні властивості визначників та їх застосування.

2.Правило Лапласа.

13

§1.3. Обернена матриця.
ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
	2		5	1
П р и к л а д 1: Знайти матрицю, обернену до заданої: А		3	3	4
					.
		1	2	3

Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні доповнення всіх елементів:

																					2								5								1
																					3							3									4	68.
																					1								2								3
А11			3				4				17;							А12									3		4				5;							А13		3					3			9;
				2			3																		1				3													1					2
А21						5	1		17;									А22					2						1					7;						А23						2	5				1;
						2	3																1						3																	1	32
А31				5			1						17;					А32									2		1								11;			А33				2			5			21.
			3				4																				3 4																	3			3
Обернена матриця має вигляд:
																				1								17									17 17
																А	1												5								7		11
																																								.
																				68
																													9								1
																																							21
Матриця А 1												знайдена правильно,																тому що А А 1 Е, тобто:
							2 5 1											1		17														17					17
А А	1
							3 3							4													5										7		11
							1 2							3				68										9									1
																																							21

			2 17 5 5 1 9									2 17 5 7 1 1			2 17 5 11 1 21
	1				3 17 3 5 4 9							3 17 3 7 4 1 3 17 3 11 4 21
	68				1 17 2			5 3 9				1 17 2 7 3 1
															1 17 2 11 3 21
	1				68		0	0		1		0	0
						0	68	0			0	1	0	.
	68					0	0	68			0	0	1

П р и к л а д 2 : Розв’язати матричне рівняння:

1		2	X	5		9
	5				4	7	;
		3

14

																5				9		1			2		1
													X														;
																	4								3
																				7		5
																1						1
Обчислимо обернену матрицю																				2				:
																			3
																5
			1			2			3 10 13;
			5			3
А11 3;												А12 5										А21 2						А22 1
Тоді обернена матриця матиме вид:
													1		2		1			1				3		2
																									5		1	.
													5	3							13
			5				9			1		3	2
X														;
			4				7				13 5 1
	1							5 3 9 5							5 2 9 1
X																								;
	13							4 3 7 5							4 2 7 1
													60				1
	1							60				1
															13 13
X												;	X							.
	13							47				1			47 1
													13				13

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Для заданих матриць знайти обернені матриці:

№1.49.	1		2			№1.50.	2			4
		3	;					0		;
			4							5
	2		2	3			1		1		0
№1.51.		1	1	2		№1.52.		1		1	2
					;							;
		2	1					5	2		1
				1
	1		1 3				4		1		3
№1.53.		0	2	2		№1.54.		3	2		5
					;								;
		1	1	5				6	2		4
	1		2 1				1		2 3
№1.55.		2	0	2		№1.56.			3	5
					;		1				;
		1	3 1						2 4
							1

15

	1		1	2
№1.57.		0	2	5
					;
		2	1	4

Розв’язати матричне рівняння:

№1.59.		1			1					10			9
			1		7	X							;
										0		1
№1.61.		2			1	X				3		9
			1							5		2	;
					2
№1.63.		3			1				4		0
			1		X						;
					2				5		2
№1.65.		8			1	X			1		0
											;
№1.67.		11			2				5		1
1	1		2			1			2 1
			5		Х		0		1 3
1 1												;
	1		4				1		3		2
1

		2	1	0
№1.58.		1	2	5
					.
		2	5	4

№1.60.		2	1	X		1	0
		1						;
			3			15	1
№1.62.		4	0		X	11	10
		1						;
			2			5	12
№1.64.	0		10			3		7
		1	X					;
			2			5		2
№1.66.		4	1		X	1	0
		1						;
			1			0	1
	2		0 2				3 2		1
№1.68.		1	2			Х		4 0	5
					1					.
								1 3	2
	1		0 1

З’ясувати, чи існують матриці, обернені до заданих:

1	1	2				2			3 2
	1	2					1		2	3
№1.69. 1			;	№1.70.							.
	1	0					4		6	4
1
Якщо так, то виконати перевірку А А 1				Е.
			Індивідуальне завдання
					1				n		2
1. Знайти обернену матрицю до заданої: А						3			n 1		5
												.
						4			n 1	7
			1	n		X		4		0
2. Розв’язати матричне рівняння:										,
			n 7	3					1 n

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Матриця та її ранг.

2.Застосування матричного числення при розв’язуванні економічних задач.

16

§1.4. Системи лінійних рівнянь. Метод Крамера. Матричний метод.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера

2х 7у z 17,

та матричним методом: 7х 3у 5z 8,

3х 2у 6z 9.

Розв’язання:

а) Розв’яжемо систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. Для цього обчислимо головний визначник системи:

2 7 1

7	3 5 2 3 6 1 7 2 7 5 3 1 3 3 2 5 2 7 7 6
3	2	6

36 14 105 9 20 294 168.

Так як 0, то система має єдиний розв’язок.

Обчислимо додаткові визначники, замінюючи по черзі перший, другий та третій стовбець головного визначника стовбцем вільних елементів:

17	7 1
х 8	3 5 17 3 6 8 2 1 7 5 9 1 3 9 2 5 17 8 7 6

92 6

306 16 315 27 170 336 168;

	2	17	1	2 8 6 7 9 1 3 17 5 1 8 3 2 5 9 7 6 17
у	7	8	5
	3	9	6

96 63 255 24 90 714 504;

	2	7	17				2 3 9 7 8 3 7 2 17 17 3 3 2 2 8 7 7 9
z	7	3		8
	3	2		9
54 168 238 153 32 441 336.
Визначимо корені системи рівнянь за формулами Крамера:
		х		х			168		у	у		504		z		z		336
								1;					3;						2.
												168
							168											168

Отже, {1; –3; 2} – шуканий розв’язок системи лінійних рівнянь.

б) Розв’яжемо систему лінійних рівнянь матричним методом, скориставшись

	х	1 *		b
				1
формулою: у			А	b2	,
z				b
				3

де – головний визначник системи,

17

	b
А*		1
	– зведена матриця, b2		– стовбець вільних елементів.
	b
		3

З попередніх обчислень головний визначник системи дорівнює 168. Обчислимо математичні доповнення до кожного елемента матриці за

формулою: Аіj 1 i j Mij
А11			3															5						3 6 5 2 18 10 8;
			2															6
А													7								5											7 6 5 3 42 15 27;
12																		6
А13					7													3						7 2 3 3 14 9 5;
					3															2
А																7					1											7 6 1 2 42 2 40;
21																		6
А22										2								1						2 6 1 3 12 3 9;
										3								6
А																	2					7										2 2 7 3 4 21 17;
23																		2
А31							7											1					7 5 1 3 35 3 32;
							3											5
А																						1							2 5 1 7 10 7 3;
32																		5
А33									2									7					2 3 7 7 6 49 43.
									7									3
																																	А	А
																																	11	21
Запишемо зведену матрицю: А* А12																																		А22
																																	А	А
																																	13	23

А			8	40	32
31				9
А32 27					3 .
А			5	17	43
33

x

Тоді стовбець невідомих елементів y

z

	х	1 *		b
				1
дорівнює: у			А	b2
z				b
				3

18

			1		8	40 32		17				1				8 17 40 8 32 9
				27		9 3 8									27 17 9 8 3 9
			168									168
								9								5 17 17 8 43 9
					5 17 43
			1		136 320 288					1		168					1
					459 72 27							504					3 .
			168						168
					85 136 387
												336					2

Отже, {1; –3; 2} – шуканий розв’язок системи лінійних рівнянь.

Відповідь: {1; –3; 2}.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

а) за правилом Крамера; б) матричним методом:

	4х 3у 2z 9,			х 2у 3z 7,
№1.71.			№1.72.
	2х 5у 3z 7,			3х у 4z 13,
		6х 3у 5z 5;			4х у 2z 0;
		2х у z 0,		х у 2z 4,
№1.73.		х у 3z 13,	№1.74.		2х 3у z 3,
	3х 2у 4z 15;			3х 2у 6z 0;
	5х 3у 6z 6,			х у z 3,
№1.75.		2х у 3z 8,	№1.76.
				2х у z 11,
		х 4у 2z 9;			х у 2z 8;
	2х 3у 4z 5,			2х 2у z 1,
№1.77.		х 5у 5z 6,	№1.78.
				3х у 2z 2,
					4х у 7z 7;
	8х 2у 4z 10;
	х 8у 3z 1,			х 5у z 4,
№1.79.		2х 6у z 4,	№1.80.
				2х у 3z 14,
					3х 5у z 8;
	0,1х 2у z 0;
	3х у 4z 2,			3х 2у z 5,
№1.81.		6х 2у z 9,	№1.82.		х у z 2,
	2х 4у 3z 3;			4х у 5z 3;

Індивідуальне завдання

Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера та матричним методом.

19

	2х 3у z 6,
1.		3х 3у 2z 20,
	5х 6у 4z 12.
	2х 5у 9z 20,
3.		9х 7у 3z 1,
		6х 4у 7z 2;
	х у z 2,
5.		2х 3у z 1,
	х у 2z 7.
	3х 2у 4z 3,
7.		2х 3у z 4,
		4х 5у 2z 10;
	2х 5у 2z 9,
9.		4х у 4z 9,
		х у 4z 9;

2х 3у z 0,

2. 2х у 3z 4,3х 2у z 2.

4х 2у 3z 9,

4. 3х 5у 4z 25,

7х 2у 3z 2;

3х 4у 2z 5,

6. 2х 4у 3z 20,

4х 3у 5z 3;

х 2у 3z 2,

8. 3х 4у 2z 17,

2х 3у z 9;

х у z 3,

10. 2х у z 1,х у 2z 8.

/Завдання обирається за останньою цифрою номера студента в списку. Наприклад, студенти за номерами 3, 13 та 23 розв’язують систему №3./

Теми рефератів

1.Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса.

2.Прямокутні системи.

20