zbirnuk_zadach

	3.115. y			1			,при x 2;2 ;
	1 x2
	3.117. y x2					1				,при x R;
						x 1
	3.119. y x					1		,при x 8;6 ;
					x 4
	3.121. y	x2		x 1						,при x 1;3 ;
				x 1
	3.123. y					1					,при x R;
		x3		3х2				4х

3.116. y x					1			,при x 2;2 ;
					x 1
3.118. y x					1			,при x R;
			1		x 2
3.120. y						,при x 0;10 ;
		9 x2
3.122. y		x2	2x 1						,при x R;
			x 1
3.124. y		x3	3x2					3x 1		,при x R.

x 1

Індивідуальне завдання

Обчислити наступні границі:

	0,x 1		1
	2
а) f x n х 1 ,x 1;0 ;		б) y		,при x R.
	n,x 0		nx x2

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Властивості функцій, неперервних в точці.

2.Одностороння границя. Скачок функції.

31

РОЗДІЛ 4. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ §4.1. Основні правила та формули диференціювання.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Знайти похідні вказаних функцій:

1

4

в)

у cosх log9 x;

а) у 4х

3

х

2

7;

б) у

7

х

3

;

2

5х13

arcsinx

у

.

г) у

;

д)

tg x3 4x

ln x

Розв’язання:

Для знаходження похідних функцій користуємося таблицею похідних (Табл. 1 додатку).

		а) у 4х3																1				х2			7.
																		2
																						1
			у				4 3 х										3 1									2 х					2 1		0 12х									2		х;
																								2
		б)					у 7															4					.
													х3
																			5х13																																										n					1
		Скористаємося властивостями степеня																																																m							a					,								a m ,			отримаємо:
																																																					аn
																																																													m
							4													3					4																																										am
	7
					3																									13
у			х															х7											х
																																.
										5х13															5
		Тоді																																									похідна																														функції
у		3		х				3	1			4			13 х 13 1																			3	х	4			52					х 14				3							52				.
								7																												7
		7					5																										7					5										77 х4							5х14
		в)					у cosх log9 x.
		Скористаємося																											формулою похідної																					добутку:
																																																														1					uv				u v uv , тоді
у cosx log9																		x cosx log9 x																				sinx log9 x cosx
																																																												xln9
											arcsinx
		г)					у																.
													ln x
																																																						u									u v uv
		Скористаємося формулою похідної частки:																																																																						, тоді
																																																																					2
																																																																				v
																																											1											v										1
																																															lnx arcsinx
																																																																x
																																											1 x		2
у	arcsinx lnx arcsinx lnx																																																																		.
																		ln2 x																														ln2 x

32

д) у

tg x3

4x

.

Враховуючи,

що

функція

складена, то її похідна

1

1

2

дорівнюватиме: у

4x 3x

4 .

2

tg x3 4x cos2 x3

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти похідні вказаних функцій:

4.1. у 4х5

1

х2

2;

4.2. у

1

х8

х2

;

х

2

4

4.3. у 4х3

х2 x;

4.4. у 4х6

х7

3x;

4.5. у х2

1

х5 ;

4.6. у 2х3

1

х2 4;

5

4

1

4.7. у 4х2

7х 2;

4.8. у 2х3

х2

;

1

1

х

4.9. у 2х7

х6

2;

4.10. у х3

х7 ;

6

2

7

6

4.11. у 4

;

4.12. у 3

;

х3

х5

х3

х3

4.13. у 6

3

;

4.14. у 7

4

;

х5

х6

х6

х7

4.15. у 6

2

;

4.16. у 7

1

;

х7

х8

х6

3х3

4.17. у 3

2

;

4.18. у 5

6

;

х2

х3

х4

х7

4.19. у 8

9

;

4.20. у 5

3

.

х7

х6

х8

х5

Знайти похідні функцій, користуючись формулою добутку:

4.21.	у ех sin х;
				4.22.	у ех 3	х;
4.23.	у соsx ln x;			4.24.	у соsx log2 x;
4.25.	у х log7 x;			4.26.	у аrccоsх log5 x;
4.27.	у sin х 3х ;			4.28.	у сtgх				;
								x
4.29.	у tgх 3		;	4.30.	у ех ln х.
		х

Знайти похідні функцій, користуючись формулою частки:

4.31. у

x

;

4.32. у

х6

25

;

tgx

tgx

x

4.33. у

arctgx

;

4.34. у

;

х

x

33

sinn x

	4.35. у			x	;
				ln x
	4.37. у			ex		;
				cosx
	4.39. у			5х			;
				cosx

Знайти похідні складених функцій:

4.41. у 5arcsin 4x ;

4.43. у cosх ;

4.45. у е3х ;

4.47. у 4x2 3;

4.49. у lnех ;

4.51. y arctg2x;

4.53. y cos4(2x 5);

4.55. y sin2 cosx;

4.57. у 3 ; ln6 2x

4.59. у lnarccos2x ; 4.61. y 5 log12 (6x 5) ;

Знайти похідні вказаних функцій:

4.63. y		x		;
		x 4
4.65. у	4х4		9х2			;
		х3 6х 9

4.67. у 3x 2 2 3x 2 ; lnх 8

4.69. у 16х2 20x 15;

3 x3 4x

4.36. у

x2

;

sin x

4.38. у

ex

5

;

arccosx

4.40. у

4х4

9х2

.

х

4.42. у

ln2x

;

4.44. у

;

sin х

4.46. у

;

x2 x

4.48. у ln

;

x

4.50. у 2sin 4x .

4.52. y ln3 x;

4.54. y lnarctgx5 ;

4.56. y

sin

;

x

4.58. у lnarctg

;

х2

4

4.60. у sin

;

ln8x

4.62. y 7arctg(arcsin x 3) .

4.64. y

ln2 x x

;

4x

4.66. у

9х2 16

;

х3 х2 2х 4

4.68. у

25х4

16

;

3х2

8х 4

4.70. у

4х6

25

.

х4

2х 5

Індивідуальне завдання

Знайти похідні вказаних функцій:

а)

у 2хn

1

х2n 4n;

б) у n

6

nx;

хn 1

хn

n

в)

у сtg nx 4

;

г) у

x2n n 2 x

.

x2 nx n

де n – остання цифра номера студента за списком.

34

Теми рефератів

1.Означення похідної. Залежність між неперервністю та диференційованістю функцій.

2.Означення похідної. Застосування похідної до розв’язування економічних задач.

§4.2. Особливі випадки диференціювання.

П р и к л а д : Знайти похідну від вказаних функцій:

а)	sin(x y) ln(x y) 4;	х cos t2 1	;
		б)
	у х3 3х2 4 sin4x ;	y sin t2 1
в)		г) y logsin x(1			).
				x
	а) sin(x y) ln(x y) 4.	Розв’язання:

Дана функція задана неявно, тому знаходимо похідну від лівої та правої частини, пам’ятаючи, що y є деякою функцією від x:

(sin(x y) ln(x y))' 4'

1 y'

sin(x y) ln(x y)

0

cos(x y) (1 y')

0

x y

cos(x y)

1

1

1

x y

cos(x y) x y

1

.

y (cos(x y) x y) 0 y'

cos(x y)

х cos t2 1

x y

– функція задана параметрично, тобто у

б)

y sin t2 1

	х t				, тому її похідна обчислюється за
вигляді
	y t
ух		уt		sin t2		1 2t	tg t	2	1 .
		xt		cos t2 1 2t
в)	у х3			3х2 4 sin4x .
Функція				задана		у вигляді			f (x) u(x)v(x)

формулою: у уt .

х xt

, тому прологарифмуємо

функцію зліва та справа за основою е:

ln у ln х3 3х2 4 sin4x , або ln у sin 4x ln х3 3х2 4 ;

Для знаходження похідної скористаємося формулою добутку:

		1		3		2		1		2
y		y	4cos4x ln х		3х		4 sin4x x3 3x 4		3x		6x ;

Тоді шукана похідна:

35

3

2

sin4x

3

2

3x2 6x

4cos4x х

4

y

3х

ln х

3х

4 sin4x x3 3x 4

х3 3х2 4 sin4x

г) y logsin x(1 x). Перейдемо до нової основи логарифма (наприклад

е), скориставшись формулою: loga b

lnb

, тоді

y logsin x(1

)

ln a

x

ln(1

x)

(ln(1

lnsin x ln(1

x) (lnsin x)

y

x)

(lnsin x)2

lnsin x

1

1

lnsin x ln(1

)

1

cosx

x

1

2

sin x

x

x

1

ln2 sin x

sin xlnsin x cosx(1

)ln(1

)

x

x

2 x

.

(1

x) sin x ln2 sin x

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти похідні функцій, заданих неявно:

4.71. у2x2 x 3у;

4.72. x2

xy3 x 3у;

4.73. ey

xy 4y5 ;

4.74. sin(x y) ctg(x y) 2х;

4.75. ln(x2 xy) x 3у;

4.76. exy

xy tg(4y);

4.77. arcsin(x y) arctg(x y) 2;

4.78. sinln(x2 x) xy 3;

4.79.

cos(x2 y3)

12xy;

4.80. exy

xy ln(xy) tg(xy).

tg(xy

x

)

y

Знайти похідні функцій, заданих параметрично:

х t2 t

4.81. ;

y t3 4

			1 4				1 3
4.83.		х	4t				2t			11;
		y t			2	9t 3
		х cos t2					t sint
4.85.										;
	y sin t 1								cos4t

Знайти похідні вказаних функцій:

4.87. у 1 cosx x2 4 ;

х 3t2 t 4

4.82. ;

y t3 6t 7

х ln t2 1

4.84. ;

y log2 t2 1

7sint

4.86.y e t 1cos4t.

4

4.88.у х2 3x x2 4 ;х et

36

1

x2 4

х

x

4.89. у

x

;

4.90. у е

cos7х

;

x

4 е3х

1

2

4х 1

4.91. у

4

;

4.92. у 1

x

;

2

x

4.93. y (x 4)x 4 ;

4.94. y (logx 7)tgx .

Знайти похідні логарифмічних функцій:

4.95. у logx x3

x2 ;

4.96. у logsin4x x3

3x2

4 ;

4

1

2

4.97. у log

3

;

4.98. у log х 2х2 x

x

;

2

x 5х2

x

1

3

1

2

1

4.99. у log

x

x

4.100. у log

x

;

.

3

2

4x 3

x

x

Індивідуальне завдання

Знайти похідні вказаних функцій:

1

n

n

х

t

t 4t

;

а) x2n n xy2 ex nу;

б)

2n

1

3

y t

nt xn

в) у хn 2 nx nx 4 ;

г) у logn

n 2 x .

x

sin x

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Означення диференціала. Механічний та геометричний зміст диференціалу.

2.Параметричне завдання функції. Циклоїда.

§4.3. Диференціал функції. Застосування диференціалу до наближеного обчислення функції.

П р и к л а д 1 : Знайти наближено значення функції у 35х2 10х 5

при х 4,03.

Розв’язання:

Значення функції обчислимо за формулою: у у х0 у х0 х. Нехай х0 4, тоді х х х0 0,03.

у х0 35 42 10 4 5 3125 5;

у				10х 10					10 4 10			50		2
		33									3 25 3 ;
				5х2 10х 5 ;			у 4 33		5 42 10 4 5

37

у у х0 у х0 х 5					2	0,03 5,01.
	3
П р и к л а д 2 : Знайти наближено sin63 .
						Розв’язання:	у у х0 у х0 х.
Значення функції обчислимо за формулою:
Нехай у sin х,	х 63 , х 60 , тоді х х х0						3	3 3,14	0,052.
							180
у х sin60		3		0,866;
0	2

у 60 cos60 1 0,5; 2

sin60 у х0 у х0 х 0,866 0,5 0,052 0,892.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти наближено значення функцій:

4.101. у 5

4х2

2х 1,

х 0,98;

4.102. у 3

х3 2х2 3х 2,

х 1,99;

4.103. у

1

,

х 1,04;

4.104. у

х

,

х 1,24;

2х2 10х 8

х2 9х 1

4.105. y 3

x 1,12;

4.106. y

,

9x2

8x 10

,

7x3 12x2 9x 3

x 0,95;

4.107. 3

;

4.108.

;

129

53

4.109. 1,0058 ;

4.110. 5

;

31

4.111. sin44 ;

4.112. tg47 ;

4.113. ctg85 ;

4.114. sin65 ;

4.115. cos29 ;

4.116. cos62 ;

4.117. 4,035 ;

4.118. 1,113 .

Індивідуальне завдання

Знайти наближено значення функцій:

а) у n5х2 3х 1, х 1 0,001 n; б) sin n та cos 30 n .

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Теорема Лагранжа та її економічний зміст.

2.Формула Тейлора та її застосування в економічних задачах.

38

§4.4. Застосування похідної до дослідження динаміки функції

П р и к л а д : Дослідити функцію і побудувати її графік: у

х

.

х2

Розв’язання:

1

1. Елементарні дослідження:

Область визначення функції :

х ; 1 1;1 1; .

Точки перетину графіка функції з осями координат:

0;0 − єдина точка перетину з віссю абсцис та ординат.

Функція непарна, так як:

у х

х

х

. Отже графік функції

х 2

1

х2 1

симетричний відносно початку координат.

2. Дослідження точок розриву:

lim

x

1

; lim

x

1

;

x 1 0 x2 1

0

x 1 0 x2 1 0

lim

x

1

;

lim

x

1

.

0

x 1 0 x2 1

0

x 1 0 x2 1

Отже,

х 1 і х 1 − вертикальні асимптоти.

3. Знаходження похилих асимптот:

Похилі асимптоти визначатимемо за формулою: у kх b. Для цього знайдемо невідомі коефіцієнти k і b:

f x

1

0

k lim

lim

0.

2

x

x

x

x

1

x

x

0

b lim f x kx lim

lim

x2

0.

x2

1

x

x x2 1

x

1

x2

х2

Тоді рівняння асимптоти набуватиме вигляду: у 0.

4. Дослідження функції на монотонність:

Знайдемо першу похідну функції:

у

х2 1 х 2х

х2 2х2 1

1 х2

1 х2

х2 1 2

х2 1 2

х2 1 2 х2 1 2 .

Прирівняємо першу похідну до нуля:

1 х2

0.

х2 1 2

Так як рівняння не має розв’язків, то критичних точок першого роду не має. Тому на числовій осі 0Х позначаємо лише точки розриву функції:

−		−		−	х
–1			1

39

Отже, функція спадає на всій області визначення.

5. Дослідження на опуклість та ввігнутість:

Знайдемо другу похідну функції:

у

2х х2 1 2 1 х2 2 х2 1 2х

2х х2 1 х2 1 2 2х2

х2 1 4

х2 1 4

2х х2 3

.

х2 4 3

2х х2 2х 1

Прирівняємо другу похідну до нуля:

0,

х 0 −

х2 4 3

критична точка другого роду. Визначимо знаки другої похідної на отриманих інтервалах:

−

+

−

+

х

–1 0 1

Отже, функція опукла вниз на проміжках: х 1;0 1; , опукла вгору − х ; 1 0;1 . Точка (0; 0) – точка перегину.

6. Побудова графіка функції:

					5	Y
					4
					3
					2
					1
										X
-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
					-1

-2

-3

-4

-5

40