zbirnuk_zadach

РОЗДІЛ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ §3.1. Функція. Основні елементарні функції.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д 1 : Знайти значення функції у х2 2х 1в точці х 2.

Розв’язання:

Так, як х 2, то підставимо у функцію це значення:

у 2 22 2 2 1 4 4 1 1.

Пр и к л а д 2 : Знайти область визначення функції у 6х х2 5.

Розв’язання:

Так як аргумент знаходиться під знаком кореня, то функція буде мати дійсні значення тільки при таких значеннях х, при яких підкореневий вираз невід’ємний, тобто: х2 6х 5 0, або х2 6х 5 0.

Одержуємо х 1 х 5 0. Методом інтервалів знаходимо, що х 1;5 .

П р и к л а д 3	: Користуючись графіком функції у х2 , побудувати
графік функції у х2	2х 2.
	Розв’язання:		у х 1 2
Задану функцію	представимо	у вигляді		1. Виходячи з
графіка функції у х2 (рис. а),		спочатку	побудуємо	графік функції

у х 1 2	перенесенням графіка у х2						відносно осі Ох вліво на 1 одиницю
(рис. б). А потім у х 1 2			перенесемо вгору на 1 одиницю (рис. в).
		Y										Y
		6									6
		5									5
		4									4
		3									3
		2									2
		1									1
						X						X
	-4 -3 -2 -1	0	1 2	3		4	-4	-3	-2	-1	0	1 2 3 4
		-1									-1
		-2									-2
						Y
						6
						5
						4
						3
						2
						1
											X
		-4	-3	-2	-1	0	1	2	3		4
						-1
						-2
	а)						б)					в)
	ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

21

Знайти значення функції у вказаних точках:

3.1.у 1 у точках –1; 0,5; 2;

х2 х

3.2.у 5 2х у точках 0; 1; 2,5;

3.3.у аrcsіn х у точках –2; 4; 2;

4

3.4.у sіn х у точках ; ; .

23 2

3.5.у 1 lgх у точках 0,1; 1; 10.

х

Знайти область визначення функції
3.6. у		1	;	3.7. у		;
					5 2х
	х2
		х

2х

3.8.у х2 3х 2 ;

3.10. у		х2	4х 3;
3.12. у аrcsіn						х	;
			4						3 2х
3.14. у					аrcsіn					;
		3 х
	1							5
3.16. у						lg x3		x ;
	4 х2

Користуючись графіком функції

3.18. у 2х2 2х 2; 3.20. у х2 2х 8; 3.22. у х2 х 1;

Користуючись графіком функції

3.24. у sіn х ;

2

3.26. у 1 2sіn х;

2

3.28. у 1 sіnх;

2

Побудувати графіки функцій:

1 х,		х ;0	;
3.30. у	1,	х 0;

3.9. у

1

;

х2 4х

3.11 у

1

;

х2

3х 2

3.13. у

1

;

2 х

lg х

3.15. у х 1 1 х х2 1;

3.17.у sіnx 16 х2 .

ух2 , побудувати графіки функцій:

3.19.у 2х2 2х 4;

3.21.у х2 4х 10;

3.23.у х2 6х 8.

уsіnх, побудувати графіки функцій:

3.25.у 2sіn х;

2

3.27. у 1 sіnх;

2

3.29. у 2 1 sіnх.

2

22

х2 ,

х ;2

;

3.31. у

4,

х 2;

х2 1,

х ;0

.

3.32. у

х

0;

х2 1,

Індивідуальне завдання

Знайти область визначення функції:

а) у

5

;

б) у

x n2 х2 ;

х2 n 1 х n

в) у

х

1

;

г) у

1

lg x2 x .

n х

n x

n х

Побудувати графіки функцій:

б) у 2cоs х 1 .

а) у х2 nх n 1;

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Поняття та властивості функції. Елементарні та неелементарні функції.

2.Основні елементарні функції, що використовуються в економічних дослідженнях.

а)

в)

§3.2. Границя функції. Застосування правил розкриття невизначеностей, утворених алгебраїчними виразами.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Обчислити наступні границі:

lim

3x

2

5x 6

;

б)

lim

3x

2

5x 8

;

3x

2

x

7x2 9x 4

x 1

5x 2

lim

4 х

4 х

;

г)

lim(

16x2 10x 5

4x).

x

x

x 0

Розв’язання:

а) lim

3x2

5x 6

3 2

5 6

.

2

2

x

7x

9x 4

7

9 4

Для розкриття невизначеності необхідно чисельник і знаменник

поділити на xn , де n− найбільше значення степеня. Найбільше значення степеня n 2, тому ділимо чисельник і знаменник на x2:

		3x2			5x				6				3	5			6							5 6
																					3													3 0 0			3
2					x	2				x	2			x			x	2												2
lim	x											lim																										.
	2													9 4																				7 0 0
x 7x					9x 4 x																7			9 4												7
													7
		x2			x2					x2
														x x2

23

Зауваження:			а	;		а	0.
			0
б) lim	3x2 5x 8							3 12	5 1 8		0		.
		2						2
x 1	3x		5x 2									0
								3 1 5 1 2

0

Для розкриття невизначеності від раціональних дробів необхідно

0

розкласти чисельник і знаменник на множники і однакові скоротити. Розкладаємо квадратичні вирази на множники за теоремою Вієта і

отримаємо:

lim	(x 1)(3x 8)				lim			3x 8						3 1 8				11			11, (скоротили на x 1).
														3 1 2
x 1 (x 1)(3x 2)						x 1 3x 2										1
	в) lim																					0		.
			4 х				4 х						4 0				4 0
	x 0				x							0
																						0

0

Для розкриття невизначеності від ірраціональних дробів необхідно

0

позбавитись від ірраціональності помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз. Спряженими називають такі ірраціональні вирази, які при множенні один на інший утворюють раціональні вирази:

lim

4 х

4 х

lim

4 х

4 х

4 х

4

х

x

x

x 0

x 0

4 х

4

х

=lim

4 х 4 х

lim

2x

lim

2

x 0 х ( 4 х

4 х)

x 0 x ( 4 x

4 x)

x 0

4 x 4 x

2

2

1

.

4

4

4

2

г) lim(16x2 10x 5 4x) .

x

Для розкриття невизначеності необхідно вираз представити у

вигляді дробу а ; в утвореному дробі помножити чисельник і знаменник на

1

спряжений вираз. В подальшому позбавитися утвореної невизначеності .

lim(

4x) lim

16x2 10x 5 4x

16x2

10x 5

4x

16x2

10x 5

x

x

1

16x2 10x 5 4x

lim

16x2

10x 5 16x2

lim

10x 5

.

2

2

x

16x

10x 5 4x

x

16x

10x 5 4x

Поділимо кожен елемент чисельника і знаменника на x, під коренем на

x2 :

24

				10x 5																				10					5																			10			5
lim																lim													x								lim														x
x		16x2 10x 5 4x															x			16x2 10x 5														4					x				16x2					10x 5								4
																									x																							x2
				10					5											10				5														10 0												10							10			5
lim									x
x		16			10					5				4			16					10			5			4						16					0			0				4		16						4		8 4
																									2
.					x x2
								ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Обчислити наступні границі:																													3.34. lim															1 ;
				х3 1
3.33. lim								;																															х 2
																																			x 2
				х 1
		x 1

3.35. lim

х2

4х 3

;

x

х2 х 2

3.37. lim

3x3 x 8

;

x x2

5x 6

3.39. lim

х3 8

;

x х2

х 6

3.41. lim

х 1

;

x

9х2 6x

3.43. lim

х 1

;

x

4х 1

3.45. lim

х4

8х 22

;

x

2х3 2

3.47. lim

x2

6x 3

;

x 5x3 2x 1

3.49. lim

6х

5 4х

3

;

x

x9 4x2

3.51. lim

2х2 7х 9

;

x

2х

3.53. lim

9х2 8

;

x 3х4 2х2 6х

3.55. lim

х2

5х 6

;

x 2

х3

х2 4

3.57. lim

1

;

х4

x 1

1

3.36. lim

х3 8

;

x

х2 х 6

3.38. lim

x2

6x 3

;

x

x3 x 9

3.40. lim

3x3 x 8

;

x x2

5x 6

3.42. lim

2

х

1

;

x

х 1

3.44. lim

х2 3х 2

;

x

2х3 2

3.46. lim

х2

3х 4

;

2х2

x

3х 2

3.48. lim

6х5

4х 3

;

x

4x10 4x2

3.50. lim

х2 7х

;

x

x 2х

3.52.lim

9х2 8

;

x 3х2

2х 6

3.54. lim

х2

4

;

x 2

х 2

3.56. lim

х2

4х 3

;

x 1

х2 х 2

3.58. lim

х2

16

;

x 4

x 2

25

3.59. lim	9 х			;	3.60. lim	х2	4х 3	;
x 9 3 x					x 1		х 1

3.61. lim

х2 3х 2

3.62. lim

1 х

;

;

x 2 2х2 3х 2

x 1

х 1

3.63. lim

х3

8

;

3.64. lim

х 5

;

x 2 х2 х 6

x 5 2

х 1

3.65. lim

х

;

3.66. lim

х 2

;

x 0 1

х2 1

x 2

х 6 2

3.67. lim

3 x

x 3

;

3.68. lim

x 2

3

;

x

x 0

x 7

7 x

х

3.69. lim

;

3.70. lim

x

2

16 4

;

x 0

1 х 1 х

x 0

x2

3.71. lim(

х 1

х);

3.72. lim(

х 1

х2 2);

x

x

3.73. lim(

);

3.74. lim(

х2

x

х2 x

х4

1

4х2 2);

x

x

3.75. lim(

).

3.76. lim(х

).

х3

3

4х2 x

4х2

x

x

x

Індивідуальне завдання

Обчислити наступні границі:

nх

2

4х 5

x

2

2xn n

2

а) lim

;

б) lim

;

n2 xn

x 2х2 n 1 х 2

x n

х

г) lim(nх

в)lim

;

х2 4x

);

x 0

n х

n х

x

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності.

2.Основні теореми про границі послідовності.

§3.3. Дві визначні та три необхідні границі.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Обчислити наступні границі:

а) limsin7x ;

x 0 3x

г) lim7x 5x ;

x 0 x

х 3 2х 1

б) lim ; x х 2

Розв’язання:

в) lim ln(1 7x) ;

x 0	3x
д) lim	(1 12x)4	1	.
	5x
x 0

26

а)

lim

sin7x

.

Скористаємося

першою

визначною

границею:

sin x

x 0 3x

lim

1.

Введемо заміну

7x y y 0

при x 0.

x 0

x

sin7x

sin y

7

sin y

7

7

Маємо: lim

lim

lim

1

.

y

x 0

3x

y 0

3

y 0 3 y

3

3

х 3 2х 1

7

б)

lim

.

Безпосередня

підстановка

х

дає

невизначеність

х

2

x

1

1 ,

тому скористаємося другою визначною границею: lim(1

)аn в

eа ,

n

n

e 2,72.

х 3

Введемо

заміну

1

1

. Зведемо до

спільного

знаменника

і

n

х 2

виразимо х через n: х 5n 2. При чому, якщо х , то n :

х 3 2х 1

1 2 5n 2 1

1 10n 4 1

e

10

1

lim

lim 1

lim 1

.

e10

x

х 2

n

n

n

n

в) lim

ln(1 7x)

. Безпосередня підстановка

х 0 дає

невизначеність

0

,

x 0

3x

ln(1 x)

0

тому скористаємося першою необхідною границею: lim

1.

1

x 0

x

Введемо

заміну

7x y x

y.

Якщо

x 0,

то

y 0,

тоді:

7

lim

ln(1 y)

lim

7

ln(1 y)

7

lim

ln(1 y)

7

1

7

.

y 0

3

y

y 0 3

y

3 y 0

y

3

3

7

г)

lim

7x

5x

. Безпосередня підстановка

х 0

дає

невизначеність

0

,

x 0

x

0

тому скористаємося другою необхідною границею: lim

ax 1

lna.

Виносимо в чисельнику за дужки множник 5x :

x 0

x

lim

7x 5

x

lim

5x (

7

)x 1

lim5x

lim

(

7

)x 1

1 ln

7

ln7 ln5.

5

5

x 0

x

x 0

x

x 0

x 0

x

5

д).

lim

(1 12x)4 1

. Безпосередня підстановка

х 0

дає невизначеність

x 0

5x

0

, тому скористаємося третьою необхідною границею: lim

1 х а 1

a

x 0

x

0

y

Введемо заміну: 12x y x

. Якщо x 0,

то y 0, тоді:

12

27

lim	(1 y)4			lim	12		(1 y)4	1		12	lim	(1 y)4	1		12	4	48	.
		y					y					y
y 0	5			y 0 5						5 y 0			5			5
	12

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчислити наступні границі:

3.77. lim 14x ; x 0 sin7x

3.79. lim arctg4x ; x 0 arcsin5x

3.81. lim	соs4х соs2х					;
x		x		2
		1			х
3.83. lim 1					;
x		5х

х2 1 3х2

3.85. lim ; x х2 2

5

3.87.lim(3x 3)x ;

x0

	3.89. lim	tg(2x 6)	;
		3x 9
	x 3

3.91. limln(1 5x); x 0 10x

3.93. lim	ln(1 sin2 x)			;
x 0	tg	2	x

3.95. limlog4 (1 9x) ;

x 0 5x

3.97. lim 4x 7x ;

x 0 x

3.99. lim8x 2x ;

x 0 x

3.101. lim (1 15x)4 1; x 0 15x

3.103. lim(1 3x)7 1;

x 0 9x

3.78. lim

arctgx

;

x 0 arcsin9x

3.80. lim

sin(x )

;

x

x 1800

3.82. lim

1 cos4x

;

x 0

5x2

х 3 2х

3.84. lim

;

х 2

x

4

2х

3.86. lim 1

;

6х

5

x

5

3.88.lim(2x 10)2x

x0

		5х 3			6x 2
	3.90. lim				;
		5х 3
	x

3.92. limln(1 3x) ;

x 0

6x

6 4x

9

3.94. lim 1

;

3х 1

x

3.96. lim

3x 2x

;

x 0 2x

3.98. lim

lgx

;

x 1 6 6x

3.100. lim

(1 2x)3

1

;

x 0

4x

3.102. lim

53 x

1

;

2x 6

x 3

3.104. lim

(x 1)5

1

.

x 2

4 2x

Індивідуальне завдання

Обчислити наступні границі:

а) lim	arctgnx			1		2х n	в) lim	ln(1 nx)	;
		;	б) lim 1			;
								n 1 x
x 0	arcsin2x		x	nх			x 0

28

	г) lim	nx n 3 x	;	д) lim	(1 nx)6 1	;
		x			5x
	x 0			x 0

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Число е.

2.Порівняння нескінченно малих величин.

§3.4. Неперервність та розриви функцій.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д 1 : Дослідити на неперервність функцію і побудувати її графік:

x 3,		x 1
	x 1,	x 1;2 .
y
		x 2
4x 7,

Розв’язання:

Зайдемо границі справа та зліва в точках х 1 та х 2.

Для точки	х 1: lim	f (x) lim (x 3) 4,		lim	f (x) lim(x 1) 0.
	x 1 0		x 1 0	x 1 0	x 1 0
Лівостороння та	правостороння		границі мають різні значення (4 1). Отже,

функція має розрив у точці х 1.

Для точки х 2:	lim f(x) lim(4x 7) 1;		lim f(x) lim(x 1) 1.
	x 2 0	x 2 0	x 2 0	x 2 0

Лівостороння та правостороння границі мають однакові значення (1 1). Отже, функція неперервна в точці х 2.

	Y
4
3
2
1
			X
0	1	2	3

П р и к л а д 2 : Дослідити на неперервність функцію і побудувати її графік:

y	1	, при x R.

3 x

29

Розв’язання:

Так як х 3, то знайдемо границі справа та зліва в точці розриву х = 3:

lim	f (x)	lim		1				1	;	lim f (x)	lim		1				1	.
				3				0					3				0
x 3 0		x 3 0			х					x 30	x 3 0			х

Отже, маємо розрив ІІ роду.

					Y
				4
				3
				2
				1
					X
-4	-3	-2	-1	0	1
				-1

-2

-3

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Дослідити на неперервність функції та побудувати їх графіки:

0,x 0

0,x 0

3.105. f x

х

2

,

x 0;1 ;

3.106. f x

1

х,

x 0;1 ;

2

1,x 1

1,x 1

0,x 1

1

0,x

2

1

2

1

3.107. f x

х

1

,x 1;1 ;

3.108. f x

2х 6, x

;1

;

4

1,x 1

2

1,x 1

0,x 2

0,x 1

3.109. f x

3.110. f x

х2 4х 4,x 2;3 ;

2 х 1,x 1;2 ;

1,x 3

1,x 2

0,x

1

1

2,x

2

1

2

1

2

3.111. f x

2х 1

,x

;1

;

3.112. f x

4х 4,

x

;1

;

2

2

1,x 1

1,x 1

3.113. y x

1

,при x 0;2 ;

3.114. y

3x2 x

,при x R;

x 1

x

30