zbirnuk_zadach

u xu xu tg xu, або u xu u tgu; x x

ctgudu dx – рівняння є диференційним з відокремлюваними змінними. x

Інтегруючи обидві частини рівняння одержимо: lnsіnu ln x lnC;

lnsіnu lnCx ;

sіnи Сх и аrcsіn Сх .

Так як y xu, то у хаrcsіn Сх – загальний розв’язок рівняння.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розв’язати диференціальні рівняння:

7.21. х у dх х у dу 0;

7.22. хdх уdу уdу ;

7.23. х2

ху у2

dх х2dу;

7.24. ху у

;

у2 х2

7.25. ху уln

у

;

7.26. у

у2

2;

х

х2

2ху

у

х

х2

у2

;

х

у ;

7.27. у

7.28. у

7.29. ху у

;

7.30. у2

х2 у хуу .

у2 х2

Індивідуальне завдання

Розв’язати диференціальне рівняння:

хn уn dх хn уn dу 0, де n – номер студента за списком.

Теми рефератів

1.Розв’язування фізичних задач за допомогою диференційних рівнянь.

2.Теорема Коші про існування та єдність розв’язку диференціального рівняння першого порядку.

§7.3. Лінійні диференційні рівняння.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Розв’язати диференціальне рівняння: у 2у х.

Розв’язання:

Дане рівняння є лінійним, так як у і у у однаковому степені (першому). Тому скористаємося заміною y uv і y u v uv . Тоді:

u v uv 2uv x, v u 2u x uv ,

61

u 2u 0,

x uv 0,

Розв’яжемо окремо перше рівняння системи: u 2u 0,

du	2u 0,		dx	,	du	2dx 0,	du	2 dx 0,
dx			u		u		u

lnu 2x 0 u e 2x .

Отриманий вираз підставимо в друге рівняння системи: x uv 0 x e 2xv 0,

x e 2x	dv	0,		dx	,
				e 2x
	dx
xe2xdx dv 0,

xe2xdx dv 0.

Обчислимо частинами перший інтеграл:

u x

dv e2xdx

xe

2x

e

2

x

xe

2x

e

2 x

xe2xdx

e2x

dx

C.

du dx

v

2

2

2

4

2

Тоді,

xe2x

e2 x

C v.

2

4

xe2x

e2 x

x

C

З

поставленої умови:

y uv e 2x (

C)

1

–

2

4

2 4 e2x

загальний розв’язок диференціального рівняння.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розв’язати диференціальні рівняння:

7.31. у 2ху хе х2

;

7.32. ху уln у;

7.33. ху 2у 2х4 ;

7.34. 2х 1 у 4х 2у;

7.35. у у х;

7.36. ху ех dу хdу 0;

7.37. х2 у ху 1 0;

7.38. у х у хсosх ;

7.39. 2у х ху 1 ln x;

7.40. у у ех .

Індивідуальне завдання

Розв’язати диференціальне рівняння:

у y еnх , де n – номер студента за списком. n

Теми рефератів

1.Економічні задачі, що зводяться до диференційних рівнянь.

2.Системи лінійних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

62

РОЗДІЛ 7. РЯДИ § 8.1. Ряд геометричної прогресії. Необхідна умова збіжності ряду.

																										ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
			П р и к л а д 1: Обчислити суму заданого ряду:
	1				1							1																							1																					1								1								1								...											1	....
а)																					...																						...;											б)
		1 2				2 3								3 4																n n 1																											3								6											12													3 2n 1
																																												Розв’язання:																	1											1												1							1
			а)				Для										знаходження																										суми						ряду
																																																																																											...								...
																																																											1 2													2 3														3 4							n n 1
скористаємося																			тотожністю:																										1							1									1							.								Тоді												сума може									бути
																																												k k 1										k				k 1
представлена																																																				у																																											вигляді:
S					1							1								1						1									1										1							1																				1
	1																																							...																1																						.
																												3							4																																		n 1
					2								2 3																																n						n 1
																																			1
				Тоді limS lim 1																																							1. Тобто ряд збігається і його сума дорівнює
																																		n 1
1.										x											x
															1							1				1																	1																																																						1
б)		Для					ряду																										...														...					винесемо																				спільний																			множник								за
																																									3 2n 1
												3									6				12																																																																								3
							1					1									1							1															1
дужки:									1																									...											... .							В дужках одержали ряд, що являє
																																											2n 1
							3					2 22													23
собою									нескінченну																										прогресію,																	знаменник																												якої											q			1	.		Тоді
			b1								1																																																												1													2							2
S																			2. Отже, сума заданого ряду S																																																								2												.
													1
		1 q								1																																																										3																3
												2																																																																																					2n
			П р и к л а д 2: Чи виконується необхідна ознака збіжності ряду																																																																	.
																																																																					2
																																												Розв’язання:																																																			n 1 n				1
																																																																								2n
			Знайдемо															границю																загального															члена							U																														при					необмеженому
																																																													n									n2 1
																																																	2n																			2n																	0
зростанні його номера n: limU																																											lim											lim														n2																				0.
																																																															n2
																																		x							n			x n2 1												x																		1					1
																																																															n2
																																																																										n2
			Отже, необхідна умова збіжності limUn																																																					0 виконується.
																																																	x

63

																														ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
	Записати можливий загальний член ряду:
8.1.	1					1												1												1							...;																8.2.		1															1																					1															1					...;
																																																																				2 3																			3 4
2 4 8 16																																																					1 2																																																		4 5
8.3.	1														2															3															4						...;		8.4.	1						1											1												1								...;
10						100																						1000																10000									2							4										6										8
8.5. sіn																	sіn2																									sіn3								sіn4		...;	8.6.					соs2																													соs3																							соs4
																																																					соs																																																												...;
																					2																							3						4
																																																																			2																												6											24
8.7.	1															1															1													1					...;				8.8.		1															1																									1										...;
																															5 7													7 9										4 5															9 7
1 3															3 5																																																																										14 11
8.9. 1,1 1,02 1,003 1,0004 ...																																																					8.10. 1									2										3												4													5					...;
																																																												3										4										5															6
	Обчислити суму заданого ряду:
8.11. 1								1														1											1									...;											8.12. 3											3										3															3										3						...;
						4										16														64																														2										4										8															16
8.13. 1,1 1,02 1,003 1,0004 ...;																																																					8.14.			1														1																					1																			1		...;
																																																							10												100																																							10000
																																																																																1000
8.15. 1							1												1												1												1			...;							8.16. 1										2										4														8														16							...;
																														27
						3										9																										81																		3										9										27																			81
8.17. 1							1													1												1										1			...;								8.18.			1														1																									1							...;
						2 4 8 16																																																	1 3															2 4																						3 5
8.19.		1																			1																1						...										8.20. 3														1														1																			1										...;
	1 3																3 5																	5 7																															2 1																3 2																			4 3

Перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності рядів:

8.21.		2									4									6					...											2n			;							8.22. 1					3										5				...							2n 1				;
3 5														7																				2n 1															4 9																								n2
8.23.		1								2									3									...									n				;					8.24.			1													2									...							n			;
																																			1 n2																											2001
2						5								10																																1001																												1000n 1
8.25.																	3													4		...									n 1				;	8.26.		1					1												1			...					1					;
						2
														2														3																																		28
																																										n				2			9																								1 n3
8.27.		1						1										1						...											1				;							8.28. 1					1									1								1			...					1				;
																																	2n 1																																									2n 1
3 5 7																																																	3 5 7
8.29.		1							1												1					...									1											8.30.		1						1											1	...							1				;
1!						2! 3!																													n!											2			4													10											n n!
																																											Індивідуальне завдання
	1. Обчислити суму заданого ряду:
1																												1														1					...															1									...
	N N 1																N 1 N 2																										N 2 N 3									n n 1

64

		Nn
2. Перевірити виконання необхідної ознаки збіжності ряду			, де
	n	N
n 1		1
N – номер студента за списком.

Теми рефератів

1.Найпростіші дії над рядам.

2.Множення рядів.

§8.2. Ознаки збіжності рядів.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Дослідити ряди на збіжність:

n

3

1

1

а)

;

б)

;

в)

.

n

2n

2n 3 2

n 1

n 2 ln

n

n 1 3

Розв’язання:

3

а) Дослідимо заданий ряд

n

на збіжність за ознакою Даламбера. Для

n

цього обчислимо границю:

n 1

2

U

n 13

n3

1

n 13

3

1

1

1 n 1

1.

lim

n 1

lim

:

lim

1

<

x

Un

x

n 1

n

2

x

3

2 n

2

2

2

2

n

Отже, ряд збігається.

1

б) Для дослідження ряду

використаємо радикальну ознаку Коші:

n

n

n 2

ln

limn

lim n

1

lim

1

0< 1.

Un

lnn n

x

x

x ln n

Отже, ряд збігається.

1

в) Для

дослідження

ряду

використаємо радикальну ознаку

n 1 3 2n 3 2

Коші.

Маємо

f x

1

.

Знайдемо

невласний

інтеграл:

2

2x 3

3

dx

b

dx

1

1

b

3

3

3

lim

lim

3 2x 3 3

(lim

2b 3 1)

.

2 2x 3 3

2

2

2

2

2 2x 3 3

2

b

2

b

b

Невласний інтеграл розбігається. Отже, розбігається і заданий ряд.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність ряди:

2n 1

3

n

8.31.

;

8.32.

;

n

2

n

2n 1

n 1

2

n 1

n!

2

8.33.

;

8.34.

n

;

n

n

n 1

10

n 1

3

65

n 1!

8.35. ntg

;

8.36.

;

n 1

n

n 1

2

n 1

2 n!

2

n3

8.37. n

sіn

;

8.38.

;

2

n

n 1

n 1

2n !

Користуючись ознакою радикальною ознакою Коші, дослідити на

збіжність ряди:

n

1

n n2

n

8.39.

;

8.40.

;

3

n

n 1

n

1

n 1 2n 1

1

8.41. sіnn

;

8.42. arctgn

.

n

n 1

2

n 1

n

Користуючись ознакою інтегральною ознакою Коші, дослідити на

збіжність ряди:

2

2

8.43.

;

8.44.

;

2

2

n

n 1

3 n

n 2

nln

1

1

8.45.

;

8.46.

;

1 n

2

3n 1

n 1

n 1

2

2

8.47.

;

8.48.

.

2

n 1

3 n

n 2

nln n

Індивідуальне завдання

Дослідити на збіжність ряди:

		Nn N					n		n
	а)
				;	б)				;
		N	n
							Nn 1
	n 1				n 1

Де N – номер студента за списком.

		1
	в)			;
		Nn 1 Nn 3
	n 1

Теми рефератів

1.Степеневі ряди

2.Застосування рядів до наближених обчислень.

66

ДОДАТКИ

Основні правила диференціювання

Таблиця 1

функція

похідна

y c u

y c u'

y u v

y u' v'

y u v

y u'v u v'

y

u

y

u'v v'u

v

v2

Основні формули диференціювання

№

функція

похідна

№

функція

похідна

1.

y C(const)

y 0

2.

y x

y 1

3.

y xn

y n xn 1

4.

y

y

1

x

x

2

5.

y ax

y ax lna

6.

y ex

y ex

7.

y loga x

y

1

8.

y ln x

y

1

xlna

x

9.

y sin x

y cosx

10.

y cosx

y sin x

11.

y tgx

y

1

12.

y ctgx

y

1

cos2 x

sin2 x

13.

y arcsin x

y

1

14.

y arcсоsx

y

1

1 x2

1 x2

15.

y arctgx

y

1

16.

y arcctgx

y

1

1 х2

cos2 x

67

Таблиця невизначених інтегралів

Таблиця 2

1.

dx x C

2.

xndx

xn 1

C; (n 1)

n 1

3.

dx

ln x C

4.

axdx

ax

C

lna

x

5.

exdx ex C

6.

sin xdx cosx C

7.

cosxdx sin x C

8.

dx

ctgx C

2

x

sin

9.

dx

tgx C

10.

dx

1

х

arctg

C

cos2 x

а2

x2

а

а

11.

dx

arcsin

x

C

12.

dx

ln

v

C

x2

a2

2

2

2

a x

a

x

a

13.

dx

1

ln

х a

C

14.

dx

1

ln

a х

C

х

2

2

2а

x а

a

2

2

a х

а

x

2а

Правила інтегрування

u v w dx udx vdx wdx

udv uv vdu

C f x dx C f x dx

f kx b dx 1 F kx b k

68

ВІДПОВІДІ ДО ЗАВДАНЬ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ РОЗДІЛ 1:

1.1.			6		0					4				8			,	в)		1 4						19				8			,		3 12							,
		а)				,			б)														,		г)									д)
										16				4						2		1				13				5					5 17
			11
	9		0										5				23				16									12				19
					1.2.					А В				5				4			2			,	В А												;			1.3.
е)			;
																																		13
	0		9											21			51				24									25
	6,5			23					185			24							34			214									1			8		10
						,	б)								,		в)									1.4.				а)		2		4			4			,	б)
а)																								;
	10		13,5						66			3								34
																						134										6		2			3
0			12 4							0			1				2				1				3	1					29			56						5
	4 16							в)			3	4				1						5 15				5							4		5				3			,
				8 ,														,			г)							,		д)
	8 4				8						1		2 2									8 16				6							13	29						0
	1		11			12									2,5						5		4							31			8		22
		0		11		11					1.5.		а)				8,5				12,5		9			б)			7				53			26					в)
е)									;																,														,
				0			5										4				3,5		3,5						22				7			19
	5
38			8		14
	66		66					; 1.6. формули скороченого множення не справджуються.
					37
	46	26			26
		20			36							4894						3589								14				32				11
1.7.										1.8.														1.9.			16				36			7				;		1.10.
							;															;
		9			29									2035				5079
																											2				16
																																		10
21			3			28						5				9							22				19							45 14
			1						1.11.										;		1.12.									;	1.13.											;
13					3 ;
	7		13			4							3			16							9				8								20					9
																											4			26				58
			93				35								9				55
1.14.										;	1.15.													1.16.						34										1.17.
				36												34					;						25							44 ;
						20													70									16		42				26

21		10			6
				; 1.18.		14
	5	78
						34

7	23
56	79		; 1.19.	–64; 1.20. 9; 1.21. 58; 1.22.	–22; 1.23.
1	83

29; 1.24. 26; 1.25. 19; 1.26. 120; 1.27. 133; 1.28. 0; 1.29. 256; 1.30. 149; 1.31. – 86; 1.32. –9; 1.33. 27; 1.34. 245; 1.35. 174; 1.36. –809; 1.37. –18; 1.38. 32; 1.43. –

69

129; 1.44. 232; 1.45. 15; 1.46. –212; 1.47. –39; 1.48. 112; 1.49.																								2		1
																								1,5	0,5		;
	0,5		0,4							1	1		1					1,25		0,25				0,5
					1.51.					5	4		7		1.52.			2,25		0,25				0,5		; 1.53.
1.50.		0		;										;
			0,2						3		2		4					1,75		0,75
																								0,5
0,6		0,1		0,4											0,25			0,25		0,125
	0,1	0,4								1.54.					2,25			4,25		3,625			;			1.55.
				0,1 ;
	0,1	0,1		0,1											0,75			1,75		1,375
	0,3	0,25		0,2						2		2		1					0,6		0,4			0,2
	0,2	0		0,2		;	1.56.				1		1						2		0			1
														2 ;		1.57.									; 1.58.
	0,3	0,25		0,2							1		0	1					0,8		0,2			0,4
	0,85	0,2		0,25									9,8		0,2					0,6			0,2
	0,7	0,4		0,5			;	1.59.										1.60.								1.61.
													0,2		0,2	;					9,2			;
	0,45	0,4		0,25																			3,4

	3	3		; 1.62.		1,5	5		; 1.63.
	1,6	1,8				0,25	6

1,6	0,8		; 1.64.		1,3	3		; 1.65.
	0,2				0,8	5
1,6

0,4				0,2																0,2					0,2																					1				5			7
											1.66.																						;				1.67.													4		4,5				1.68.
	2			1			;														0,2				0,8																	0,5													;
																																														1				4		6
0,5					1		3																0,5								0,5						0
	0,25				0		4,5				;		1.69.										0,5								0,5						1					1.70.								не			існує;			1.71.
																																									;
	0,75				1,5		2																	0							0,5						0,5
	41		58		38			1.72.						77							28			140									1.73. {–1; –2; –4}; 1.74. {2; 0; –1}; 1.75.
		;			;		;												;			;									;
			46																		63			63
46						46								63
																											13						2				5										20		16				55
{3; 1; –1}; 1.76. {4; 2; 1};																				1.77.												;				;					; 1.78.							;			;			; 1.79. {4;
																											8																						17
																																	8						8							17						17
								18					4			78
0,9; 1,4}; 1.80.												;					;			; 1.81. {1; 1; 1}; 1.82. {–3; –5; –4}.
РОЗДІЛ 2:								19					19 19
																										3															х			у
2.1.			М у, Р у ;													2.2.					а)		у							х 3,							б)									1;			2.3.				3х у 4 0,
																								4																	4	3
3х 2у 1 0,								3х 5у 34 0;																	2.4. arctg												8	,		arctg			4		, arctg12;							2.5. 12 кв. од.
																																					9
																																										3
2.6.				3х 4у 14 0;												2.7.							7х 3у 32 0;																		2.8.					1)			2х 3у 7 0, 2)

70