zbirnuk_zadach

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти невизначені інтеграли:

	6.1. (10х2 2х																															3				)dx;	6.2. (10х												1							cosx)dx;
			1																														х															7												3
	6.3. (			х 5 cosx)dx;																																	6.4. (10х5 х																												)dx;
		5												1																																														х
	6.5. 2х7																			х6					2 dx;												6.6. 4х2							7х 2 dx;
													6													5
	6.7. (3х2							4х																									)dx;				6.8. (10х4 12х sin x)dx;
																											х
	6.9. (4х3							2х2																							1				)dx;		6.10. (			1				х2					3х																	4	)dx;
																					1										х								3																	1										х
	6.11. (4																														)dx;						6.12. (7x2																												6)dx;
							x
																			4				x11																														9						x5
	6.13. (3																				1							)dx;									6.14. (7																			1						)dx;
							x																																					x
																			4				x5																														4					x7
	6.15. (9																						1								)dx;						6.16. (3																					1				)dx;
							x																																					x
																			7				12																														5					6
																							x																																			x
		11																			1																																			2
																																							3									2
	6.17.	(					x																						)dx;								6.18.	3							х																			1 dx;
																																																											х4
																			6				x5
		4																							1									2 dx;			6.20.	(																		1
	6.19.				7					х			8																										7					x																				2х)dx.
																								3х3
																																																					3					x2

Знайти невизначені інтеграли, користуючись заміною змінних:

6.21. cos 4x 1dx;

6.22.

dx

;

1 3х

6 4х

dx;

х

1

6.23. е

6.24. 44

dx;

6.25.

dx

;

6.26.

dx

;

sin

2

3 4x

2

3 4x

1

6.27. сos 8х 3 dx;

6.28.

dx

;

1 9х

2

dx

6.29.

;

6.30.

dx

;

sin2

х

3 8х

3

х4

е

х

6.31.

dx;

6.32.

dx;

х

5

е

2х

1

1

1

6.33. х2

dx;

6.34.

dx;

х3

4

xln x

51

6.35.

ех

dx;

6.36.

ln2 x

dx;

е

х

1

x

6.37.

1

dx;

6.38.

х3

dx;

2

х

4

xln

x

1

6.39.

ех

dx;

6.40.

ln x

dх.

х

е

1

x

Знайти невизначені інтеграли, користуючись формулою інтегрування частинами.

6.41. хехdx;

6.42. х2 ln xdx;

6.43. х 2 сosхdx;

6.44. 6 х sіnхdx;

6.45.

ln xdх;

6.46.

lnx

dx;

x

2

x

х

6.47.

dx;

6.48. х2сosхdx;

2

x

sin

6.49. х 3 2е2хdx;

6.50. 4 х 2sіn5хdx.

Індивідуальне завдання

Знайти невизначені інтеграли:

n 1

n

б) (

n

n 1

n

x

nх)dx;

а)

(5х

2х

)dx;

3

хn

xn 3

в)

n 1 dx

;

г) n x 2е

x

n

dx.

n 1

x n

де n – номер студента за списком.

Теми рефератів

1.Первісна функції.

2.Геометричний зміст інтегрування.

§6.2. Інтегрування виразів, що містять в знаменнику квадратний тричлен. Інтегрування раціональних дробів.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Знайти невизначені інтеграли:

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

2х 17

dx.

х

2

2

4х 8

2 6х

9х

х 5 х 3

Розв’язання:

Для прикладів а) та б) виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:

а)

dx

.

х

2

4х 8

52

х2 4х 8 х2 2 2 х 22

22 8 х 2 2 4 х 2 2 22 . Тоді:

dx

dх

1

arctg

х 2

С .

х2 4х 8

х 2 2

22

2

2

б)

dx

.

2 6х 9х

2

2 6х 9х2 9х2 6х 2 3х 2 2 3х 1 1 2 3х 1 2 3

2

3х 1 2 . Тоді:

3

dx

dx

1

arcsіn

3х

1

С.

2 6х 9х2

2

3х 1 2

3

3

3

в)

2х 17

dx.

2х 5 х 3

Нехай,

А х 3 В 2х 5

2х 17

А

В

Ах 3А 2Вх 5В

2х 5 х 3

2х 5 х 3

2х 5

х 3

2х 5 х 3

А 2В х 5В 3А

А 2В 2

5В 3А 17.

2х 5 х 3

Розв’язавши отриману систему, маємо А 4,

В 1. Тобто дріб можна

2х 17

4

1

представити у вигляді суми дробів:

. А заданий

2х 5 х 3

2х 5

х 3

інтеграл у вигляді суми інтегралів:

2х 17

dx

4dx

dx

4

dx

dx

4

ln

2x 5

ln

x 3

ln

C

2х 5 х 3

2x 5

х 3

2x 5

x 3 2

ln

2x 5

2 ln

x 3

ln

C

ln

C 2x 5 2

.

x 3

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти невизначені інтеграли:

6.51.

dx

;

6.52.

dx

;

х

2

7х 10

4

х

2

4х 5

6.53.

dx

;

6.54.

4х 1

dx;

9х

2

6

х 4

4

х

2

4х 5

6.55.

х 2

dx;

6.56.

dx

;

х2

7х 12

4х 3 х2

6.57.

dx

;

6.58.

3х 1

dx.

2

2 6х

9х

х

2х 2

6.59.

5х 7

dx;

6.60.

21 х

dx;

х 1 х 2

х 5 х 3

53

6.61.

17х 13

dx;

6.62.

х 3

dx

2х 1 3х 2

2х 1 3х 2

6.63.

3х

4

dx;

6.64.

х 9

dx;

2

х

2

х

х

6х 5

6.65.

14х 18

dx;

6.66.

х2 5х 8

dx;

х 1 х 2 х 3

х 4 х 3

2х2 4х 1

2х2 х 4

6.67.

dx;

6.68.

dx.

х 5х 1

х х 2

Індивідуальне завдання

Знайти невизначені інтеграли:

nх 5

а)

dx

б)

dx;

;

х n nх 2

х2 nх 2n

де n – номер студента за списком.

Теми рефератів

1.Розклад многочленна на множники.

2.Обчислення сталої інтегрування за заданими умовами.

§6.3. Інтегрування деяких тригонометричних виразів.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Знайти інтеграли:

dx

а) sіn3xcоs7хdх;

б)

;

2sіnх cоsх

в) sіn2 xdх;

г) sіn3 xсоs2 хdх.

а)

Розв’язання:

1

1

sіn3xcоs7хdх

sіn 3 7 х sіn 3 7 х dх

sіn 4 х sіn10х dх

2

2

1

sіn4хdх sіn10хdх

1

1

cоs4х

1

1

cоs10х С

1

cоs4х

4

2

2

2

10

8

1

cоs10х С;

20

t tgx.

б) Використаємо універсальну тригонометричну

підстановку

Звідки sіnх

2t

, соsх

1 t2

; dх

2dt

. Тоді:

1 t2

1 t2

1 t2

dx

2dx

2dx

dt

dt

1 t

1 t

2

2

2

2sіnх cоsх

2

2t

1 t

4t 1 t

t

4t 1

t 2

5

1 t2

1 t2

1 t2

54

tg

х

tg

х

1

ln

2 5

С

1

ln

2 5

С;

2

2

2

2 5

tg

х

2

5

tg

х

2

5

5

в)

2

2

1

1

соs2хdx

1

1

x

2

1 соs2х dx

sіn

xdх

dx

х

sіn2

х

С

2

2

2

2

2

x

sіn2x

C ;

2

4

г)

sіn3xсоs2 хdх sіn2 хsіnхсоs2 хdх 1 соs2 х соs2 хd соsх

соs2 хd соsx соs4 хd соsx

sіn3х

sіn4 х

С.

3

4

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти невизначені інтеграли:

6.69. sіn2xsіn

2х

dх;

6.70. sіn6xсоs2хdх;

3

6.71.

соs

х

соs

х

dх;

6.72. sіn3xsіn5хdх;

2

3

6.73. sіn5xsіn2хdх;

6.74. соs5хсоs2хdх;

6.75. sіn2хсоs5хdх;

6.76. соsхсоs3хdх;

6.77.

dx

;

6.78.

dx

;

sіnх

5 4sіnх

6.79.

dx

;

6.80.

dx

;

3sіnх 2cоsх 1

2 3cоsх

6.81.

dx

;

6.82.

dx

;

1 cоsх

2 sіnх

6.83. sіn2 2xdх;

6.84. соs2 4хdх;

6.85. соs4 хdх;

6.86. sіn3 2xdх;

6.87. соs

5

хdх;

соs3 х

6.88.

dх;

sіn4 х

sіn3х

6.90. sіn

4

xсоs

3

хdх;

6.89.

dх;

соs2 х

6.91. sіn3 xсоs3 хdх;

6.92. sіn5 xсоs4 хdх.

Індивідуальне завдання

Знайти невизначені інтеграли:

а) sіn n 1 xsіn n 3 хdх;

б) sіnn xсоsn 1хdх;

де n – номер студента за списком.

55

Теми рефератів

1.Розв’язування інтегралів виду R sіn2 х,соs2 х dх.

2.Розв’язування інтегралів виду R tgх,ctgх dх.

§6.4. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Знайти інтеграли:

		7					dх																											5						dх
а)													;																			б)														;
																																						5 4х х						2
		1					3х 4																											2
							dх																											1
		2																														г) аrсsіnхdх.
в)														;
						2 соsх
		0																																0
						а)																						Розв’язання:
																										1
7													7															1				7											7
						dх								3х 4 dx							1 3х 4 2												2											2							2	2	;
																																					3х 4											25		1
																					3			1									3											3								3
1				3х 4									1												1							1											1
																								2
						5								dх					5				dx				аrсsіn								х 2					5			аrсsіn1 аrсsіn0
						б)																																																;
																									2																											2
						2				5 4х х									2	9 х 2																3				2
						в)		Скористаємося													універсальною													тригонометричною підстановкою
t tgx. Знайдемо соsх																					1 t2			;	dх							2dt		і нові межі інтегрування t																		0 при
																					1 t2								1 t2
																																												1
х		0, та t												1 при х									. Тоді:
																		2
1											2									2

2dt

2			dх				1				1 t2												1									dt								2								t				1		2									1
																								2																					аrсtg														аrсtg
		2 соsх												1 t					2													2
																																								3					3									3
0							0		2																	0 t							3																			0								3
														1 t					2
			2			аrсtg		1							2													2							0												;
		3							3					3									6										3					3		3
				г) Виконаємо інтегрування частинами:
		1											u аrсsіnх,																						dv dx																		1	1					хdx
		аrсsіnхdх									du												dx								,					v x									хаrсsіnх																	1 аrсsіn1
																																																										1 х		2
		0																			1 х2																																0	0
		0 аrсsіn0																	1								1.
											1 х2
																			0				2

56

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти невизначені інтеграли:

3																					5 dх;
6.93. 2х3 х2
2
1											dх
6.95.																						;
																	3
2			11 5х
9			х									1 dх
6.97.																				;
4										х 1
3						хdх
6.99.															;
			2
2			х							1
			2					х			3
6.101.																		dх;
							2
			0				х				4
														х									х
6.103. sіn																соs								dх;
			0								2										2
6.105.			1															dх
																											;
													8 2								х х				2
0,5
												dх
			2
6.107.																					;
							1 соsх
			2
							sіnхdх
			4
6.109.																			;
							2
			0					соs									х

2

6.111. соsх соs3хdх;

2

2

6.113. хln хdх;

1

2

6.115. хln х 1 dх;

1

2

6.117. х2 1 sіn2хdх;

0

2

6.94. х3 4х dх;

	2										dх
	13
	6.96.																				;
					5				3 х										4
	2
	1										dх
	6.98.																					;
							2
	0 х								4х 5
										dх
	4
	6.100.																;
									2
							соs								х
		6												хdх
	2
	6.102.																							;
								х	2
	1										5х 4
														3х									х
	6.104. соs																	соs							dх;
	0														2				2
								1										dх
				3
	6.106.																												;
													3 2х х														2
					0
		2			sіn								1			dх
	6.108.													х					;
														2
		1									х
		2
	6.110. sіn2 хdх;
	0
	3														dх
	6.112.																									.
							2х				2
	2													3х 2
	1

6.114. хе хdх;

0

1

6.116. х2е 2хdх;

0

3

6.118. хсоsхdх.

0

Індивідуальне завдання

Знайти невизначені інтеграли:

	1	1	2x n dх
	а) 2хn 10 хn 2 3еnx dх;	б)		;
			2
	1	1 n х nх n

де n – номер студента за списком.

57

Теми рефератів

1.Економічний зміст визначеного інтегралу

2.Застосування визначеного інтегралу до знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу.

§6.5. Геометричне застосування визначеного інтегралу.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: За допомогою визначеного інтеграла знайти площу фігури, обмежену лініями у х2 , у х. Зобразити фігуру в системі координат.

Розв’язання:

Побудуємо фігуру, площу якої необхідно знайти та визначимо площу обмеженої кривими фігури. Точки перетину кривих х 0 та х 1, тому межі інтегрування: від 0 до 1:

1	1	х	2		1		х	3		1		1		1		1	(кв.од.)
S хdx х2dx
0	0	2			0	3				0	2		3			6
											Y
											2

1.5

1
0.5
			X
0	0.5	1	1.5

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчислити площу фігур, що обмежені лініями. Зробити малюнки:

6.119. Параболою у х2	і прямою у х.
6.120. Параболою у х2	4 і прямою			у 1.
6.121. Параболою у х2	4х і прямою у 0.
6.122. Параболою у х2	4х 4 і прямою у 4.
6.123. Параболою у 4 х2 і прямою				у 1.
6.124. Параболою у 2х		1	х2 і прямою 4у х 6.
6.125. Параболою у х2	4			у х.
	2 і прямою
6.126. Параболою у 2х2 з прямими				х 1, х 2 та віссю Ох.

6.127.	Прямою х 4, параболою у 3х2 6х і віссю Ох на відрізку 0;4 .
6.128.	Параболою у х 2 2 , прямою у 4 х та віссю Ох.

58

6.129. Гіперболою ху 3 і прямою			х у 4.
6.130. Параболами х2 3у 4		і х2	у 8.
6.131. Параболою у 5х 2х2		та прямою у 2х 2.
6.132. Параболами х 4 у2	і	х у2 2у .
6.133. Параболами х 8 у2	і	х у2 .
6.134. Параболою х 2у2 6у		і прямою х у 2 0.

Індивідуальне завдання

Обчислити площу фігури, що обмежена параболою у n x 1 2 і прямою у n 4 (n – номер студента за списком). Зробити малюнок.

Теми рефератів

1.Наближені обчислення визначеного інтеграла: формула прямокутників та формула трапецій.

2.Наближені обчислення визначеного інтеграла: формула Сімпсона.

РОЗДІЛ 7. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ §7.1. Рівняння з відокремлюваними змінними.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Розв’язати диференціальні рівняння:

а) хdх уdу 0;

б)

ху у2х3 .

а) хdх уdу 0.

Розв’язання:

В заданому рівнянні змінні відокремлені. Інтегруючи обидві частини

рівняння одержимо:

х2

у2

С

, або х2 у2

С – загальний розв’язок

2

2

2

рівняння.

б)

ху у2х3 .

Так як у

dx

, то рівняння набуватиме виду:

dx

у2х3 .

х

dy

dy

Відокремимо змінні, помноживши ліву та праву частину виразу на dу ,

х3

тобто:

х dx у2dy,

х3

5

Дане рівняння є рівнянням з відокремленими змінними: x 2dx у2dy. Інтегруючи обидві частини рівняння одержимо:

5

x 2dx у2dy ,

59

2n 3у

хn

x			3				y3
										2
	2					C		y 3	С					– загальний розв’язок рівняння.
		3					3			х
											х
	2

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь:

7.1. у е 2х ;

7.2. у sіn5х;

7.3. у

1

;

7.4. у

1

;

sіn2

х2 4

2х

7.5.

dх

dу

7.6. у ех у

х2

у2

7.7. у 3

;

7.8. у у4

;

х5 у2

ху

7.9.

у у2 х;

7.10. 3

х3

ху у2 ;

7.11.

7.12. у у5

;

хуу у2 ;

х3 у2

7.13. у у3

7.14. 3

ху2

ху 4 ух

7.15. у у4

;

7.16. у 3

;

х3 у

х8 у

7.17. х

dх у

dу 0;

7.18. хуу 1 х2 ;

1 у2

1 х2

7.19. у 102х у ;

7.20. у 2у 1 сtgх.

Індивідуальне завдання

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

а) у ; б) nху уn 2 ; e

де n – номер студента за списком.

Теми рефератів

1.Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку.

2.Частинний і загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку.

§7.2. Однорідні диференційні рівняння.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д: Розв’язати диференціальне рівняння: у у tgх.

х

Розв’язання:

Дане рівняння є однорідним, тому скористаємося заміною y xu, тоді похідна у u xu . Підставимо покладену заміну у задане рівняння:

60