zbirnuk_zadach

		ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
	Знайти екстремуми функцій:				1
	4.119. у х2	2х 3;		4.120. у		х3	2х2 3х 1;
				3
	4.121. у х3	9х2	15х 3;	4.122. у х4			2х2 ;
	4.123. у х4	8х2	2;	4.124. у х 2 3 х ;
	4.125. у х 2 3 2х 1 ;						х2
				4.126. у соsx sіnx, х 0; .

Знайти інтервали монотонності та екстремуми функцій:

4.127. у 4х2	6х;	4.128. у 1 х х3 ;
4.129. у 4х4	2х2 2;	4.130. у х		1	;
				х
4.131. у х2 4 х 2 ;		4.132. у	х			.
		1 х2

Знайти найбільше та найменше значення функції на зазначеному проміжку:

4.133.	у 4	х4 2х2 5, 2;2 ;	4.134.	у х		,	0;4 ;
					х
4.135.	у х	5 5х4 5х3 1, 1;2 ;	4.136.	у х3 3х2			6х 2, 1;1 .

Дослідити функцію і побудувати її графік:

4.137. у

х2 х

;

4.138. у

4х2 х

;

х 2

х 2

4.139. у

х 2

;

4.140. у

х2

;

х2

х 5

1

4.141. у

х2

1

;

4.142. у

3х

;

х

х2 4

4.143. у

х2

;

4.144. у

х 1

;

х2

9

х2

4.145. у

х

;

4.146. у

х

.

х 2 2

х 2 2

Індивідуальне завдання

Дослідити функцію та побудувати її графік:

Nx

у N 10 2 1 N x2 , N – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Економічний зміст похідної. Еластичність.

2.Задачі про найбільші та найменші значення величини.

41

РОЗДІЛ 5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§5.1. Частинні похідні функції багатьох змінних.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Знайти частинні похідні

z

і

z

функцій:

y

x

а) z 4ху3 2

y2 7у;

б) z ех

;

в) z

х2 3у

.

х

у

Розв’язання:

sіnху

а) z 4ху3 2

y2 7у;

х

z

4 1 у3 2

1

у2 0 4у3

у

2

;

x

2

х

х

z

4 х 3у2 2

2у 7 12ху2 4у

7.

х

х

y

б)

z ех

;

у

z

ех

;

z

ех

1

.

у

x

у

2

у

;

в)

z

х2

3у

sіnху

2х

sіnху

уcоsху

х

sіnху

уcоsху

х2 3у

х2 3у

z

2 х2 3у

х2 3у

;

sіn2

ху

sіn2

x

ху

3

sіnху

хcоsху

х2 3у

z

2

х2 3у

.

sіn2

ху

у

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти частинні похідні z і z функцій:

x

y

5.1. z 4x3 y2

12xy3

;

5.2. z x3 y 2x2 y2

;

xy

x y

5.3. z 3x2 y3

2x3 y2

;

5.4. z 4x4 y3

1

x3 y2

;

2x

3 у

5.5. z x4 y3

5.6. z xy3

2

xy2

cоsx;

x10 y2 sіnx;

5.7. z ln y3

xy2

sіn2x;

5.8. z ln2

y x4 y2 sіny2 ;

5.9. z 2log2

х 3

y2

6у;

5.10. z log3 y 3xy2

10x;

х

5.11. z

sin y;

5.12. z

cos y;

x

x 2

42

5.13. z

;

5.14. z

х

;

x2

xy5

у

5.15. z

xy

;

5.16. z

ln y

;

x2 y

x 10

5.17. z

ln y

;

5.18. z

ln

y

;

xy

х

5.19. z

сosx

;

5.20. z

arcсosx

;

у

у

5.21. z еху

;

5.22. z

х2 2ех

;

2у

3у

5.23. z

х2

2еу

;

5.24. z

ln y

;

4у

x y

5.25. z

sіn3 y;

5.26. z

cоsy3 ;

4x 3

2x

5.27. z

аrсsіnx

;

5.28. z

x2 y3

;

х у

x2 y3

5.29. z ln ху sіn 2х 4у ;

5.30. z 3ху5 log3 y5 .

Індивідуальне завдання

Знайти частинні похідні

z

і

z

функцій:

x

y

а) z 2хn уn 2

1

х2n 4y

;

б) z enx n

;

x

y

ny

n 2 x

в) z tg nx 4y

г) z

x2n

.

x

3

nx

2

n ;

sinn

y

де n – остання цифра номера студента за списком.

Теми рефератів

1.Геометричний зміст частинних похідних.

2.Диференціювання неявної функції декількох змінних.

§5.2. Градієнт функції та похідна функції у напрямку вектора. ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Знайти градієнт функції z

2х2

3

в точці А (-1; 1) та

4у3

похідну в точці А в напрямі вектора а(-12; -5).

Розв’язання:

Обчислимо частинні похідні функції в точці А0:

z

2 2х 0

4х

х

;

z

А( 1;1)

1

1;

x

4у3

4у3

у3

у

13

43

z

3

2х2 0

6х2

3х2

;

z

А( 1;1)

3 1 2

3

.

у

4у4

4у4

2у4

у

2 14

4

Тоді

градієнт

функції

можна

3

записати

у

вигляді:

z

z

gradz

A

i

A

j . Тобто:

gradz 1 i

j .

x

y

4

Для запису похідної в точці

А в напрямі вектора а використаємо

формулу:

z

z

A

cos

z

A

cos .

x

y

a

Для цього зайдемо напрямлені косинуси:

ау

cos

ах

12

12

;

cos

5

5

.

13

13

ах

2 ау

2

144 25

ах

2

ау

2

144 25

z

12

3

5

12

15

48 15

33

Тоді,

1

.

a

13

4

13

13

52

52

52

3

z

33

Відповідь:

gradz 1 i

j ;

.

4

a

52

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

5.31. Задано функцію

z x3 y2

4

23

і

точку

А (1;

1).

Знайти

х

у

градієнт функції в точці А.

х

5.32. Задано

функцію

z

2

3

і точку

А (1;

4).

Знайти

ху

х у

у

градієнт функції в точці А.

x 1 2

5.33. Задано функцію z і точку А (2; –3). Знайти градієнт

y2

функції в точці А.

			x2	1
	5.34. Задано функцію
		z		і точку А (–1; 0,5). Знайти градієнт
	функції в точці А.		4 y
	5.35. Задано функцію	z cоs(xy) і точку			А (		;		). Знайти градієнт
					2		2

функції в точці А.

5.36. Задано функцію z sіn(2x y) і точку А ( ; ). Знайти градієнт

4 2

функції в точці А.

5.37. Задано функцію z 3x2 4y2 2 і точку А (2; 3). Знайти градієнт функції в точці А.

Для вектора а знайти напрямлені косинуси:

44

5.38. а(1; –1);

5.39. а(–2; 1,5);

5.40. а(0; 7);

5.41. а(5; 1);

5.42. а(–6; –8);

3х

5.43. а(–5; –12).

5.44. Задано функцію

z

,

точку А (3; 4) і вектор

а(6; 8).

Знайти

у2

похідну в точці А в напрямі вектора а.

5.45. Задано функцію

z

2х

3

,

точку А (1; 4) і вектор а(–6; 8).

Знайти

у2

градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

x2

3

5.46. Задано функцію

z

і точку А (–1; 0).

Знайти градієнт

функції в точці А.

4 y

5.47. Задано функцію z lnx3 y2 ,

точку А (1; 1) і вектор а(2; –1). Знайти

градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

5.48. Задано функцію

z ln(x3

y2 ), точку А (1; 1) і вектор а(–2; 1).

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

		x
	5.49. Задано функцію z arccos			, точку А (1; 2) і вектор	а(12; –5).
			2
	y

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

	x	2
5.50. Задано функцію z arctg			, точку	А (1; 2) і вектор	а(12; 5).
	y

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

5.51. Задано функцію z ln 3x2
	4y2 , точку А (1; 3) і вектор а(3; 4).

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

5.52. Задано функцію z ln 3x y2 , точку А (2; 3) і вектор а(3; –4).

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

	5.53. Задано функцію z	lnх
				,		точку А (1; –2) і вектор	а(6; –8). Знайти
			у2
	градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.
	5.54. Задано функцію z		lnх
					,	точку А (1; 2) і вектор	а(6; 8). Знайти
			2у

градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

45

Індивідуальне завдання

	Задано функцію у хn уn	1		у х
					, точку А (1; –1) і вектор а(n; –n).
		х2n y		n

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора а.

Теми рефератів

1.Частинні похідні вищих порядків.

2.Повні диференціали вищих порядків.

§5.3. Застосування функції двох змінних до знаходження наближеного значення функції.

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д : Для функції

z 2x2

у2 4

х у

х5 y

обчислити

наближене значення в точці А (–0,97; 2,09) за допомогою диференціалу.

Розв’язання:

Наближене значення функції z 2x2 у2 4

х5 y при

х 0,97,

х у

у 2,09 обчислимо за формулою

z z x0 ,y0

z

x

y

x

z

x

y

y.

x

y

0

0

0

0

Нехай х0 1, у0 2, тоді:

x x x0 0,97 1 0,03; у у у0 2,09 2 0,09.

Обчислимо значення функції в точці А0 з координатами х0 1, у0 2: z х0 ;у0 2 1 2 22 4 1 2 1 5 2 8 4 2 2.

z

Обчислимо частинні похідні функції в точці А0:

4ху2

4

5х4 у 4ху2

2

5х4 у;

x

2

х у

х у

z

2

2

4

А( 1;1)

4 1 2

5 1

2 16 2 10 8;

x

1 2

z

4х2 у

4

х5 4х2 у

2

х5 ;

у

2

х у

х у

z

2

2

5

А( 1;1)

4 1

2

1 8 2 1 5.

у

1 2

Тоді наближене значення функції:

z z x0

,y0

z

x

y

x

z

x

y

y 2 8 0,03 5 0,09 2,21.

x

y

0

0

0

0

Відповідь: z 2,21

46

5.55. Для	ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
	функції z x2 y2 xy обчислити наближене значення	в
точці А (1,02;	1,95) за допомогою диференціалу.
5.56. Для	функції z 2x2 y2 3xy обчислити наближене значення	в
точці А (1,96;	-1,03) за допомогою диференціалу.
5.57. Для функції z x2 5y 3xy обчислити наближене значення		в
точці А (3,95;	1,03) за допомогою диференціалу.

5.58.Для функції z xу обчислити наближене значення в точці А (0,96; 1,01) за допомогою диференціалу.

5.59.Для функції z 4x 5xy 2x2 y3 обчислити наближене значення

вточці А (–2,97; 1,04) за допомогою диференціалу.

5.60.Для функції z ln x y обчислити наближене значення в точці А

(–0,02; 1,05) за допомогою диференціалу.

5.61. Для функції z 3 y x обчислити наближене значення в точці А

(0,03; 125,01) за допомогою диференціалу.

5.62. Для функції z 4x6 у3 2x 2xy обчислити наближене значення

вточці А (0,97; 1,01) за допомогою диференціалу.

5.63.Для функції z x4 у2 3у 2хy обчислити наближене значення в точці А (–0,99; 1,05) за допомогою диференціалу.

5.64.

Для

функції

z 2x2 у3

3

x 3 2y

обчислити

наближене

значення в точці А (0,98; –1,04) за допомогою диференціалу.

5.65. Для функції z cоs(2x y)

обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (4°; 92°).

5.66. Для функції z sіn(2x y)

обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (47°; 91°).

5.67. Для функції z sіn(xy)

обчислити за

допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (3°; 32°).

5.68.

Для

функції

z аrcsіn(x xy) обчислити за

допомогою

диференціалу наближене значення в точці А (0,03; 0,99).

5.69. Для функції z аrccоs

x

обчислити за допомогою диференціалу

y

наближене значення в точці А (4,1; 4,2)

5.70. Для функції z tg(x 2y)

обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (29°; 92°).

Індивідуальне завдання

Для

функції z 4xn 10 у

n

x

2xy3

обчислити

наближене

y

xn 10

значення в точці А (–1,001n; 1+0,001n) за допомогою диференціалу (n – номер студента за списком).

47

Теми рефератів

1.Економічні задачі, що зводяться до використання функцій багатьох змінних.

2.Екстремум функції двох змінних.

§5.4. Екстремум функції двох змінних

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д 1: Дослідити на екстремум функцію z х2 ху у2 9х 6у 20.

Розв’язання:

Знаходимо частинні похідні функції:

z 2х у 9; z х 2у 6.x у

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими:

2х у 9		0
	у х 6	.
2		0

Розв’язком цієї системи будуть числа х 4, у 1. Тобто критична точка має координати М0 4;1 .

Обчислимо частинні похідні другого порядку в точці М0:

А

2 z

М0 ( 1;4)

2; С

2 z

М0 ( 1;4)

2; В

2 z

М0 ( 1;4)

1.

х2

у2

х у

Тоді: А С В2 4 1 3>0. Так як А>0, то існує мінімум функції в точці М0 4;1 , zmin z 4;1 1.

Пр и к л а д 2: Дослідити на умовний екстремум функціюz х2 у2 , при

ху 1.

Розв’язання:

Функція Лагранжа буде мати вигляд

L x, y, x2 y2 x y 1 .

Запишемо необхідні умови екстремуму:
	L	2х 0;	L	2у 0;	L	x y 1 0.
	x
			у

Звідки отримуємо х 1, у 1. Тобто критична точка має координати

2 2

	М		1		;	1		, 1.
		0
				2		2

L x, y x2 y2 x y 1 .

Тоді частинні похідні першого та другого порядку дорівнюють:

		2y 1			2 C,		0 B.
Lx	2x 1, Ly		, Lxx	2 A, Lyy		Lxy

48

А С В2 4>0. Так як А>0, то існує мінімум функції:

				1		1			1
	z	min	z		;					.
				2		2			2

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Дослідити на екстремум функції двох змінних:

5.71.z 800 х2 у2 40х 60у;

5.72.z 250 х2 у2 20х 100у;

5.73.z 1800 х2 у2 80х 60у;

5.74.z 2100 х2 у2 40х 100у;

5.75.z 1700 х2 у2 40х 80у;

5.76.z 1500 х2 у2 20х 80у;

5.77.z 2000 х2 у2 100х 40у;

Дослідити на умовний екстремум:

5.78.z х у; при 1 1 ;

х2 у2 2

5.79.z 1 1 , при х у 2;

ху

5.80.z х2 у2 ху х у 4, прих у 3 0.1

		Індивідуальне завдання
Дослідити	на	екстремум	функції	двох	змінних

z 10n х2 у2 nх 10nу.

Теми рефератів

1.Заміна прямокутних координат полярними для функції двох змінних.

2.Метод найменших квадратів.

49

РОЗДІЛ 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§6.1. Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.

																																									ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
						П р и к л а д: Знайти невизначені інтеграли:
а) 5х3																	1						х4					2х 1 dx;																		б) (																3															7		)dx;				в) cos(9x 4)dx;
																																																									x													x5
																																																																													3
					ln x												4																																																												x
																																																																																			д)						ln x dx.
г)													dх;
							x
																																																															Розв’язання:
						Для знаходження невизначеного інтегралу користуємося таблицею
інтегралів (Табл. 2 додатку).
а) 5х3																	1						х4					2х 1 dx 5 х3dx																																				1				x4dx 2 xdx dx
																	4																																														4
		5х3 1																	х4 1														2х1 1					х С														5х4																х5				х2 х С.
		3 1												4 4 1																			1 1
																																																						4									20
																													7																																											7									1	5
б) (								x 3										x5														)dx						xdx 3																x5dx																					dx x2dx							x3dx 7 x 3dx
																													3																																											3
						1														5									x																																											x
							1																1																							1		1												5			1													x 3 1						3							8
			х2														х3											7 x 3dx																x2													x3											7													C		x2							x3			7	x 2	C
																																												1												5																												3
		1				1										5				1																											1													1															3 1																8			2
2												3																															2											3																												2							3
7			x 2						C															2												3	3												7				1							C.
																															x3										x8
			2																3												8																		2 x2
																																			9x 4 t																															1										1									1
в) cos(9x 4)dx																																			9dx dt													cost																						dt								cost dt									sint C
																																			dx				1			dt																					9								9											9
																																						9

1sin(9x 4) C.

9

(В даному випадку користувалися заміною змінної).

г)

ln x

dx

ln x t

dx

dt

t dt

1

t2 C

1

ln2 x C.

2

x

x

2

(В даному випадку користувалися заміною змінної).

д)

dx

1

ln xdx

ln x u;

du

xln x x

dx xln x dx C x ln x x C.

x

x

dx dv;x v

(В даному випадку користувалися формулою інтегрування частинами:

u dv u v v du.)

50