Общая характеристика численных методов решения систем линейных уравнений

Методы численного решения системы (1)можно разделить на две большие группы:

1. прямые методы

2. итерационные методы

Прямые методы позволяют получить точные решения системы (1) после выполнения конечного числа арифметических операций, если все вычисления ведутся без округления. По этой причине прямые методы называются также точными. В прямых методах количество операций известно до начала решения и можно выписать формулы, выражающие решение через коэффициенты системы. На практике в большинстве случаев прямые методы позволяют получить лишь приближенное решение, так как неизбежно округление. К прямым методам относятся: Метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

Качество прямого метода определяется количеством арифметических операций, необходимых для его реализации.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) имеют меньшую погрешность, чем прямые, и позволяют решать системы большего порядка, чем прямые методы. Однако у итерационных методов есть один существенный недостаток: медленная сходимость метода. Поэтому, часто поступают следующим образом: сначала получают приближенное решение прямым методом, а затем уточняют его с помощью итерационных методов.

3.2. Метод Гаусса

Процесс решения системы(1) методом Гаусса состоит из 2-х этапов: на первом этапе система(1) приводится к треугольному виду (прямой ход), а на втором этапе последовательно определяются неизвестные из полученной треугольной систему (обратный ход).

Запишем систему (1) в обычном виде:

(2)

Пусть , (если это не так, то переставим уравнения системы таким образом, чтобы это условия выполнялось).

Разделим первое уравнение системы (2) на и используем полученное уравнение для того, чтобы исключить из уравнений со 2-го поn-ое неизвестное . Затем аналогичным образом разделим второе уравнение на коэффициент при(при необходимости снова переставим уравнения системы) и исключим из уравнений с 3-го поn-е переменную и т.д. После n шагов прямого хода получим треугольную систему, эквивалентную системе(2):

(3)

Получение системы(3) – это результат выполнения прямого хода метода Гаусса. Так как система (3) имеет треугольную матрицу коэффициентов, то её решение легко найти.

В процессе прямого хода методом Гаусса приходится выполнять операцию деления на элементы Эти элементы называютсяведущими, они должны быть отличны от нуля. Если значения ведущих элементов малы, то при вычислении могут получаться большие погрешности. Чтобы уменьшить эти погрешности применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода Гаусса с выбором главного элемента состоит в следующем: На i-ом шаге прямого хода перед его началом рассматриваются коэффициенты i-ого столбца, расположенные в строках с i-ой по n-ую. Из этих коэффициентов находится наибольший по модулю и затем уравнения с i-ого по n-ое переставляются так, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался на месте ведущего. Рассматриваемая модификация метода Гаусса, называется – также методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Такой прием позволяет уменьшить погрешность округления получаемых результатов.

Рассмотрим, как определить погрешность решения системы методом Гаусса. Можно рассмотреть две величины, характеризующие степень отклонения приближенного вычисления от точного: - погрешность решения,- невязка, где- точное решения системы (2),- приближенное решение