- •Оглавление
- •Источники погрешностей при вычислениях по формулам.
- •1.1.Абсолютная и относительная погрешности. Оценки погрешностей
- •1.2. Границы значений числовых величин
- •1.3. Запись приближенных значений. Верные знаки
- •1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило подсчета верных знаков
- •Первое правило верных знаков
- •1.5. Линейные оценки погрешностей.
- •Линейные оценки погрешностей для функций нескольких переменных.
- •1.6. Метод границ
- •1.7. Правила подсчета верных знаков.
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Тема 2. Численные методы решения уравнений с одним неизвестным
- •2.1. Постановка задачи. Метод последовательных приближений. Отделение корней
- •Отделение корней
- •Общая характеристика итерационных методов решения уравнений.
- •2.2. Метод половинного деления
- •2.3. Метод простой итерации
- •2.4. Метод касательных
- •2.5. Метод секущих
- •Оценка погрешности методов.
- •2.6. Комбинированный метод секущих и касательных
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Тема 3. Численные методы решения систем уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •Общая характеристика численных методов решения систем линейных уравнений
- •3.2. Метод Гаусса
- •3.3. Метод простой итерации решения систем линейных уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Тема 4. Интерполирование функций
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Оценка погрешности интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Тема 5. Наилучшее среднеквадратическое приближение
- •5.1. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •Нахождение приближающей функции в виде квадратного трехчлена
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Тема 6. Численное интегрирование
- •6.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона (парабол)
- •6.2. Принцип Рунге оценки погрешностей
- •6.3. Статистический метод вычисления интегралов
- •I схема метода Монте–Карло
- •II схема метода Монте - Карло
- •Нахождение первообразной
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Запишите алгоритм метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах для решения линейной системы.
Как конкретизируется принцип сжимающих отображений для приближенного решения линейных систем?
Запишите алгоритм метода простой итерации для решения линейной системы.
Запишите и обоснуйте условия при которых отображение F является сжимающим.
Как приводится линейная система к виду, удобному для применения метода простой итерации?
Литература
Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.
Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.
Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.
Тема 4. Интерполирование функций
Цель: Сформировать у студентов представление об интерполировании функций.
Вопросы:
Постановка задачи.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
4.1. Постановка задачи
Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу:
-
x
…
f(x)
…
При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [],но не совпадает ни с одним из значений (i=0,1,…,n). Поскольку чаще всего аналитическое выражение функции f неизвестно, то используют следующий прием: подбирают функцию g(x), приближающую функцию f(x) в промежутке [].
Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строго совпадения значений f(x) и g(x) в точках (i=0,1,…,n), то есть
В этом случае нахождение приближающей функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки – узлами интерполяции.
Очевидно, что задача интерполяции допускает сколь угодно много решений. Обычно, функцию g(x) выбирают из функций определенного класса и чаще всего из класса многочленов.
Будем искать интерполирующую функцию g(x) в виде многочлена степени ≤ n: причем , . Многочлен называютинтерполяционным многочленом для функции f(x), построенным по узлам .
Для любой функции f(x) сформулированная задача имеет решение, причем единственное. Для того чтобы это показать, поступим следующим образом. Для определения коэффициентов многочлена составим систему уравнений, которая имеет следующий вид:
Получим систему из (n+1)–го линейного уравнения с (n+1)–им неизвестным. Найдем определитель этой системы:
Если все точки различны, то этот определитель отличен от 0. Следовательно, рассматриваемая система уравнений всегда имеет решение, причем единственное.
Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполированием многочленом, однако на практике используют другие, более удобные и менее трудоемкие способы.
4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Рассмотрим следующий многочлен:
(1)
или кратко
Не трудно проверить, что степень этого многочлена ≤ n . Покажем, что значения этого многочлена в точках совпадают со значением функцииf(x), то есть . Чтобы это показать, рассмотрим следующий многочлен:
Найдем его значения в узлах интерполяции:
Заметим, что можно переписать в следующем виде: Рассмотрим в точке :
=
Итак, мы доказали, что многочлен имеет степень не вышеn и в узлах интерполяции его значения совпадают с соответствующими значениями функции f(x). А в силу того, что интерполяционный многочлен единственен, то одно из представлений этого многочлена.
Интерполяционный многочлен в форме (1) называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а формула f(x)называетсяинтерполяционной формулой Лагранжа.