1.7. Правила подсчета верных знаков.

2. При сложении и вычитании двух приближенных чисел нужно округлить число с меньшей абсолютной погрешностью (для десятичных дробей – с большим количеством знаков после запятой) так, чтобы в нем осталось на 1-2 разряда больше, чем в менее точном числе.

При последовательном сложении и вычитании нескольких приближенных чисел рекомендуется производить действия над числами в порядке возрастания их абсолютных величин.

3. При умножении и делении двух приближенных чисел нужно округлить число с большим количеством значащих цифр так, чтобы в нем было лишь на одну значащую цифру больше, чем в другом числе. В результате считать столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков после запятой.

4. В значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента в результате можно считать верными столько значащих цифр, верных значащих цифр имеет значение аргумента. Результат этого правила оказывается более надежен, когда вблизи значения аргумента модуль производной функции <1. (колебания значений функции меньше соответствующих колебаний аргумента) и менее надежен, когда функция изменяется быстро.

Контрольные вопросы

1. Что такое точное и приближенное значение числовой величины, абсолютная и относительная погрешность, множество принадлежности точного значения, оценка абсолютной и относительной погрешности, предельная абсолютная погрешность, предельная относительная погрешность. Какое соответствие между множеством оценок абсолютной и относительной погрешности можно установить?

2. Что такое границы значений числовых величин, точные границы? Какова связь и с и ?

3. Что такое значащие цифры, верные цифры. Как связано количество верных цифр с абсолютной и относительной погрешностью? Что такое погрешность округления и округленного приближенного значения? Как они связаны? Сформулируйте и обоснуйте первое правило верных знаков.

4. Докажите линейные оценки погрешностей для суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменой.

5. Как вычисляется предельная абсолютная погрешность функций одной и многих переменных? Запишите и обоснуйте линейную оценку погрешности приближенного значения функции нескольких переменных.

6. В чем смысл метода границ? Докажите формулы для определения границ результатов элементарных операций (суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменой). Что делать в случае невыполнения условий применимости этих формул? Приведите примеры.

7. Опишите обобщенный метод границ. Приведите пример.

8. Сформулируйте и обоснуйте второе, третье и четвертое правила верных знаков.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

3. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

4. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.

Тема 2. Численные методы решения уравнений с одним неизвестным

Цель: Сформировать у студентов представление о численных методах решения уравнений с одним неизвестным.

Вопросы:

2.1. Постановка задачи. Метод последовательных приближений. Отделение корней.

2.2. Метод половинного деления.

2.3. Метод простой итерации.

2.4. Метод касательных.

2.5. Метод хорд.

2.6. Комбинированный метод хорд и касательных.