- •Интегральное исчисление
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Вычисление массы плоской фигуры
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция z=f(x;y) была интегрируема на замкнутой квадрируемой области Р необходимо и достаточно, чтобы
. (1)
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть функция f интегрируема на Р. Докажем (1).
Так как f интегрируема на Р, то . Это по определению означает, что>0 >0: Т: <, выполнено
. (2)
(2) I-<S(T)<I+.
Т.к. Т ,, то
. (3)
Тогда .
Т.е. для выбранного >0 >0: Т: < выполнено . По определению предела это значит, что выполнено (1).
2) Достаточность. Пусть f ограничена на Р и выполнено (1). Докажем, что f интегрируема на Р. >0 >0: Т: <
. (4)
По свойству 5) сумм Дарбу Т:
. (5)
Из (4) и (5) . Это означает, что.
Тогда . (6)
Согласно свойству 1) сумм Дарбу
. (7)
Тогда из (4), (6), (7) получим
,
,
. Значит, по определению f(x;y) интегрируема на Р.
Замечание. Отметим, что из (3) следует
,
,
т.е. при доказательстве необходимости мы установили, что если f интегрируема на P, то
.
3. Интегрируемость непрерывной функции
Теорема 3. Если функция z=f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то она интегрируема на этой области.
Доказательство.
Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk . Т.к.z=f(x;y) непрерывна на замкнутой области Р, то f ограничена на Р и, значит, ограничена на . Следовательно, можно построить.
, (8)
где - соответственно верхние и нижние грани функцииf(x;y) на области Pk. Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутой области Рk, то она достигает верхней и нижней граней , т.е.
.
Подставим в (8):
. (9)
Т.к. функция f непрерывна на замкнутой области P, то она равномерно непрерывна на этой области (теорема Кантора), т.е по определению
(10)
выполнено . (11)
Пусть -произвольное число. Выберем разбиениеТ так, чтобы <=(). Тогда . Значит, для точек выполнено (10). Следовательно, для значений функции в них выполнено (11):
. (12)
Из (9) и (12) следует
.
Т.о., T: < выполнено . По определению это значит, что. Тогда согласно теореме 2f интегрируема на P.
§3. Основные свойства двойного интеграла
1. Если функция f(x;y) интегрируема на области Р и с=const, то функция cf интегрируема на Р и справедливо:
. (1)
Доказательство.
Пусть Т - произвольное разбиение области Р на части Рk. Для этого разбиения и функции cf составим интегральную сумму.
. (2)
Так как f интегрируема, то Тогдаправой части (2):. Значит, существует илевой части (2):, т.е. функцияcf интегрируема на Р. Переходя к в (2), получаем (1).
2. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы на Р, то и их алгебраическая сумма интегрируема на Р и справедливо равенство
. (3)
Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
3 (Аддитивность ). Если областьР разбита на 2 квадрируемые области без общих внутренних точек, иf интегрируема на , то она интегрируема и наР, и справедливо равенство
. (4)
Доказательство.
Рассмотрим какое-либо разбиение области Р на части причём линию, разбивающую областьР на части , будем считать одной из линий этого разбиения. При таком разбиении все части области Р можно разбить на 2 группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в , а в другую все части, содержащиеся в. Тогда интегральную суммуразобьём на 2 суммы, в каждую из соберём отдельно слагаемые, соответствующие областями:
.
Т.к. f интегрируема по областям , топравой части этого равенства. Значит, существует и предел левой части. Переходя к, получим (4).
4. Если f(x;y)0 на Р и интегрируема на Р, то .
Доказательство.
Т . Значит,.
5. Если функции f и g интегрируемы на Р и на этой области f(x;y)g(x;y), то .
Доказательство.
Рассмотрим функцию (x;y)=f(x;y)-g(x;y). Т.к. (x;y)0 на Р, то согласно свойству 4 . Применяя свойство 2, получим
.
Отсюда .
6. Если функция f интегрируема на Р, то функция интегрируема наР и справедливо .
7 (Теорема о среднем значении двойного интеграла). Если f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то
,
где Р – площадь области Р.
Замечание. где dP элемент площади. Если область Р разбить на части Рk с помощью прямых, параллельных осям координат, то области Pk будут прямоугольными, за исключением граничных. Тогда элемент площади dP=dxdy.
Действительно, . При0 и. Тогда ,(дифференциал функции - главная часть ее приращения). Следовательно, при0 . При0 площади граничных частейстремятся к нулю.
В дальнейшем .