- •Интегральное исчисление
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Вычисление массы плоской фигуры
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
I случай. Прямоугольная область.
Пусть функция f(x;y) определена на прямоугольнике Р=[a,b;c,d] и интегрируема по y на [c;d] для любого фиксированного x[a;b], т.е. x[a;b] . Тем самым определена функцияна [a;b]. Если функция (х) интегрируема на [a;b], т.е. , тоэтот интеграл называется повторным интегралом от функции f по прямоугольнику Р, взятым сначала по y, а затем по x. Его символически обозначают
. (1)
Аналогично определяется повторный интеграл . (2)
Теорема 1. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то существуют повторные интегралы (1) и (2).
Доказательство.
Докажем существование интеграла (1). Для этого достаточно доказать, что функция непрерывна на [a;b]. Пусть x0 - произвольная точка отрезка [a;b]. Придадим x0 приращение х, так чтобы x0+х[a;b]. Тогда
,
. (3)
Т.к. функция f непрерывна на прямоугольнике Р, то она и равномерно непрерывна на нём. Тогда >0 >0: (x1;y1),(x2;y2)P: ((x1;y1),(x2;y2))<
|f(x1;y1)-f(x2;y2)|<. (4)
Пусть >0 - произвольное число. выполнено
, .
Тогда для этих точек должно выполняться (4), т.е.
. (5)
Из (3) и(5) следует
.
Т.о., из условия следует.
Следовательно, (х) непрерывна в точке х0. Так как х0 – произвольная точка из [a;b] то (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .
Существование повторного интеграла (2) доказывается аналогично.
Теорема 2. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то справедлива формула
.
(без доказательства)
Пример 1. Вычислить , где Р прямоугольник [0,1;0,1].
.
II случай. Непрямоугольная область.
Пусть функция f(x;y) определена на замкнутой области Р, представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную прямыми x=a и x=b (a<b), кривыми y=1(x) и y=2(x), причем 1(x)2(x) и 1(х), 2(х) непрерывны на [a;b]. Такую область назовем простой областью I типа. (обозначим её РI). Очевидно, что РI квадрируема. Рассуждая аналогично I случаю, имеем: , повторный интеграл:
. (6)
Пусть область Р ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми x=1(y), x=2(y), причем 1(y)2(y) и 1(y) и 2(y) непрерывны на [c;d]. Такую область назовем простой областью II типа. (обозначим её РII). РII квадрируема. Тогда , повторный интеграл:
. (7)
Теорема 3. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то существует повторный интеграл (6).
Доказательство.
Докажем непрерывность функции (х)на[a;b]. Из этого будет следовать ее интегрируемость. Пусть х- произвольная точка отрезка [a;b]. В интеграле сделаем замену переменной:. Еслиt=0, то y=1(x), если t=1, то y=2(x), . Получим
.
Т.к. f(x;y) непрерывна на РI, функции 1(х), 2(х) непрерывны на [a;b], то функция g(x;t)непрерывна на прямоугольнике D=[a,b;0,1]. Поэтому на основании теоремы 1 (х)непрерывна на[a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .
Теорема 4. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то существует повторный интеграл (7).
Теорема 5. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то справедлива формула
. (8)
Доказательство (на оценку «отлично»).
Так как 1(x) и 2(x) непрерывны на [a;b], то они на этом отрезке имеют наименьшее и наибольшее значения. Обозначим их ,. Пусть D=[a,b;c,d], PD.Рассмотрим функцию F(x;y) на D:
По условию f непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, следовательно, она интегрируема на Р. Т.к. F(x;y)=f(x;y), то и F(x;y) интегрируема на Р и
.
С другой стороны, т.к. на Р1 и Р2 F(x;y)=0, то F(x;y) интегрируема и на Р1, Р2 и
(все интегральные суммы равны нулю, а значения на границе можно не учитывать).
Тогда по свойству аддитивности двойного интеграла F(x;y) интегрируема на
и
. (9)
Теперь наша задача свелась к вычислению - двойного интеграла по прямоугольной области.
фиксированного х[a;b]
,
так как существует каждый из трёх интегралов справа:
, а .
Тогда х[a;b]
. (10)
Так как f(x;y) непрерывна на Р, то по теореме 3 непрерывна на [a;b]. Тогда из (10) следует, что непрерывна на [a;b], значит, (х) интегрируема на [a;b], т.е. существует повторный интеграл (случай I)
. (11)
Теперь из (9) и (11), учитывая (10), получаем
.
Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то справедлива формула
. (12)
Замечание 1. Если контур области интегрирования пересекается не более, чем в двух точках, как параллелями оси Ох, так и параллелями оси Оу, то имеют место обе формулы (8) и (12), и, значит, повторные интегралы (6) и (7) равны.
Замечание 2. Если область Р не является простой областью I или II типа, то её разбивают (если возможно) на конечное число простых областей I и II типа. Тогда двойной интеграл по области Р равен сумме интегралов по простым областям.
Пример 2. Р ограничена: y=x3, y+x=2, x=0. Вычислить .
Найдём координаты точки А:
x3=2-x, x3+x-2=0, x=1.
=
.
Пример 3. Р ограничена: y2=3x+9, y=3–x. Свести к повторным двумя способами.
Найдём точки пересечения графиков функций:
(3-x)2=3x+9, 9-6x+x2-3x-9=0,
x2-9x=0, x(x-9)=0, x=0, x=9,
y=3, y=-6.
Выразим из первого уравнения х: 3x+9=y2-9,
.
.