- •Интегральное исчисление
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Вычисление массы плоской фигуры
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
4. Двойной интеграл в полярных координатах
Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:
.
Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.
Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax2+by2 (a>0, b>0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:
,
тогда, а.
Пример 1. Вычислить , гдеD- часть круга x2+y2=R2, лежащая в I четверти.
Перейдём к полярным координатам
Область . Следовательно,
.
Пример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y=ax2, y=bx2 (0<a<b) и гиперболами xy=p, xy=q (0<p<q).
Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.
Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y=ux2 (или ) и гиперболxy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам aub, pvq. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.
Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р: (*)
Область Р перейдет в прямоугольник Q: aub, pvq на плоскости uOv, т.к.
, ,
, .
Выразим из уравнений (*) x и y и найдем якобиан.
Тогда по формуле (5)
.
§6. Приложения двойного интеграла
1. Площадь поверхности
Пусть поверхность S задана явным уравнением
z=f(x;y), (1)
причём проекция поверхности S на плоскость XOY – квадрируемая область Р, а функция f(x;y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на Р. Тогда функция f(x;y) будет дифференцируемой на Р, а поверхность S в каждой точке M(x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, уравнение которой
,
гдеx, y, z – текущие координаты касательной плоскости, а x0, y0, z0- координаты точки касания.
Задача. Найти площадь поверхности S.
Установим само понятие площади поверхности. Разобьём область Р на части . Построим на каждой из них, как на основании, цилиндрические столбики. Они разобьют поверхность на n частей: . В каждой частипроизвольно выберем точку, которой на частичной поверхностиSi будет соответствовать точка , где. Построим в точкекасательную плоскостьТi к поверхности S и нормаль к этой поверхности. Обозначим- острый угол между нормальюи осьюOz. Т.к. уравнение нормали к поверхностиS в точке имеет вид
, то ,
следовательно, .
Каждый из цилиндрических столбиков вырежет на касательной плоскости Тi фигуру, которую также обозначим Тi. Если разбиение становится всё более мелким (0), то плоские фигуры Тi будут приближаться к соответствующим частям Si: . Тогда сумма площадей всехТi: .
Под площадью данной поверхности S понимают предел последней суммы при
, - диаметр.
Покажем, что этот предел существует и выясним, чему он равен.
Угол равен углу между касательной плоскостью и плоскостью XOY. - ортогональная проекция частичной фигуры, следовательно, . Тогда
.
Эта сумма является интегральной суммой для функции
.
Т.к - непрерывная функция, то она интегрируема, следовательно,
.
Тогда .
Пример. Вычислить площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .
Указанная поверхность симметрична относительно плоскостей XOZ и YOZ, т.е. состоит из четырёх одинаковых частей. Найдём площадь поверхности одной из них (например, лежащей в Iоктанте) и умножим на 4.
,
Р – область интегрирования: четверть круга с центром в т.(0,0) и радиусом 1 в плоскости XOY.
Из уравнения поверхности получаем:,.
.
Интеграл удобно вычислить в полярных координатах:
.