36. Теоремы о сложении скоростей и ускорений точки при сложном движении

Теорема о сложении скоростей:

В механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчета, в которой находится тело.

при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Величина абсолютной скорости определяется    где α – угол между векторами и.

Теорема о сложении ускорений (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

aкор = aпер + aот + aкор

Формула выражает следующую теорему Кориолиса о сложении уско-

рений:1 при сложном движении ускорение точки равно геометрической

сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или

кориолисова.

aкор = 2(ω × vот)

37.Принцип Даламбера

принцип Даламбера для материальной точки: в каждый момент движения материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Д’Аламбера принцип — в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданным силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил.

Согласно данному принципу, для каждой i-той точки системы верно равенство

 ,

где — действующая на эту точку активная сила,— реакция наложенной на точку связи,— сила инерции, численно равная произведению массыточки на её ускорениеи направленная противоположно этому ускорению ().

Фактически, речь идёт о выполняемом отдельно для каждой из рассматриваемых материальных точек переносе слагаемого ma справа налево во втором законе Ньютона () и нареканию этого слагаемого Д’Аламберовой силой инерции.

Принцип Д’Аламбера позволяет применить к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому им широко пользуются в инженерной практике, т. н. метод кинетостатики. Особенно удобно им пользоваться для определения реакций связей в случаях, когда закон происходящего движения известен или найден из решения соответствующих уравнений.

Переносное, относительное и абсолютное движения.

абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО. В этой СО радиус-вектор тела будем обозначать r(t) , а скорость тела — V.

относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта. В этой СО радиус-вектор тела — r(t), скорость тела — V .

переносное движение — это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета. Радиус-вектор начала системы координат подвижной СО — R(t), его скорость — dR/dt.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Так как траектории точек вращающегося тела – окружности, при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения. Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством:

s = φR . Скорость ν = νττ еще называют линейной или окружной скоростью. Она направлена по касательной к траектории движения точки.

Ускорение определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

Угол α, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM, для всех точек тела в любой момент времени одинаков,

Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела также называют соответственно вращательным и центростремительным:

Поступательное движение твердого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения. При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.

Угловая скорость. Угловая скорость w вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :

w = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt

Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью w , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е. угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:

b = lim Δ w / Δ t = dw /dt

Наряду с угловой скоростью вращения используют понятия периода и частоты вращения.

Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т.е. поворот на угол φ = 2π).

Частота ν – число оборотов тела за 1 секунду.

Виды движения точки в зависимости от ускорения.

Виды движения точки в зависимости от ускорения

Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость

движения точки М постоянна (v = const), а радиус кривизны траектории ее

движения равен бесконечности. В этом случае касательное ускорение равно

нулю, так как модуль скорости не изменяется (v = const). Нормальное

ускорение также равно нулю. Значит, и полное ускорение движения точки

равно нулю.

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const, анормальное ускорение не равно нулю, так как r —конечнаявеличина. Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно Нормальному ускорению. Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки изменяется, а радиус кривизны траектории движения точки r равен бесконечности. Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулю, анормальное ускорение равно нулю.

Неравномерное криволинейное движение характеризуетсятем, что

численное значение скорости движения точки М изменяется, а радиускривизны траектории ее движения — конечная величина. В этом случае касательноеускорение не равно нулю инормальное ускорение также не равно нулю.

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криволинейном

движении складываетсягеометрически из касательного и нормального

ускорений. Когдазначение касательного ускорения постоянно, движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренными равномерно-замедленным, взависимости от того, увеличивается или

уменьшается численное значение скорости.

Две основные задачи динамики.

Все задачи динамики можно разделить на две основные группы. Первая задача – это когда известно движение данной материальной точки или данной системы. Требуется определить силы, действующие на эту точку или эту систему. Вторая задача – это когда известны силы, действующие на данную материальную точку или данную систему. Требуется определить движение этой точки или этой системы. Вторая задача является обратной первой.

Ускорения точки.

Ускоре́ние (обычно обозначается [1], в теоретической механике ) — скорость изменения скорости, то есть первая производная от скорости по времени, векторная величина, показывающая, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:

Например, тела, свободно падающие вблизи поверхности Земли в вертикальном направлении, в случаях, когда испытываемое ими сопротивление воздуха мало, увеличивают свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть их ускорение примерно равно 9,8 м/с².

Среднее ускорение aср - это вектор, определяемый выражением

aср = Δv/Δt.

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор, определяемый выражением

a =dv/dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение aτ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.

Нормальное (центростремительное) ускорение an - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.

Модуль касательного ускорения

| aτ | = dv/dt,

то есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| an | = v2/r,

где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Основной закон динамики материальной точки.

(основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы. Он гласит: производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на нее силе. Другая ее формулировка: произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на точку силе. mw=F

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид mw=F

Этот же результат можно получить, используя вместо аксиомы параллелограмма закон независимости действия сил, согласно которому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Скорость точки.

Скорость точки является характеристикой быстроты и направления ее движения. Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse) — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Этим же словом может называться скалярная величина, точнее модуль производной радиус-вектора.

В науке используется также скорость в широком смысле, как быстрота изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения и т. д. Математически характеризуется производной функции.

Обобщениями понятия скорости является четырёхмерная скорость, или скорость в релятивистской механики, и обобщённая скорость, или скорость в обобщённых координатах. V=dr/dt

Способы задания движения точки.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка. На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало отсчета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движении точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую координату как функцию времени: s=f(t)

При векторном способе задания движения точки положение точки определяется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени: r=r(t)

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты, как функции времени:X=f1(t); y=f2(t); z=f3(t)

Кинематика. Пространство и время. Основные определения.

Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение, но не рассматриваются причины, вызывающие это движение.

Пространство место, в котором возможно движение, различные положения и взаимные расположения объектов, отношения близости-дальности, понятие направления, как арена событий и действий, универсально содержащая все места и вмещающая объекты и структуры; иногда — как специфическое место, в значительной мере определяющее сущность происходящих в нём событий.

Время – одно из фундаментальных понятий. Можно сказать, что это то, что отделяет два последовательных события. Один из способов измерить время – это использовать любой регулярно повторяющийся процесс. Одна восьмидесяти шести тысячная часть земных суток была выбрана за единицу времени и была названа секундой (с) и кратных ей единицах (минутах, часах и т. д.). Вре́мя — одно из основных понятий философии и физики, условная сравнительная мера движения материи, а также одна из координат пространства-времени, вдоль которой протянуты мировые линии физических тел.

Момент времени (t) - это временная мера положения материальной точки, звеньев тела или системы тел. Моментами времени обозначают начало и окончание движения или какой либо его части или фазы.

Длительность движения (∆t) – это его временная мера, которая измеряется разностью моментов окончания и начала движения ∆t = tкон. – tнач.

Темп движения (N) – это временная мера повторности движений, повторяющихся в единицу времени. N = 1/∆t; (1/c) или (цикл/c).

Ритм движений – это временная мера соотношения частей (фаз) движений. Он определяется по соотношению длительности частей движения.

Материальная точка – это тело, размерами и внутренней структурой которого в данных условиях можно пренебречь.

Движение тел по характеру и интенсивности могут быть различными. Чтобы охарактеризовать эти различия, в кинематике вводят ряд терминов, представленных ниже.

Траектория – линия, описываемая в пространстве движущейся точкой тела. При биомеханическом анализе движений прежде всего рассматривают траектории движений характерных точек человека. Как правило, такими точками являются суставы тела. По виду траектории движений делят на прямолинейные (прямая линия) и криволинейные (любая линия, отличная от прямой).

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за который он пройден. Она показывает, как быстро изменяется положение тела в пространстве.

Перемещение – это векторная разность конечного и начального положения тела. Следовательно, перемещение характеризует окончательный результат движения.

Путь – это длина участка траектории, пройденной телом или точкой тела за выбранный промежуток времени.