31. Механика твердого тела: вращение тела вокруг неподвижной оси.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но поэтому M_zd = J_zd, или Учитывая, что получаем  (18.3) Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство  (18.4) где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

32. Основной закон динамики вращающегося тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

 

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

  ,                                                                                                       (1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где ,  поэтому

,                                                                                                  (1.7)

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                                                               (1.8)

где – момент силы – это произведение силы  на ее плечо .

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                                                                            (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

                                                                                                                (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина– геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

,                                                                                                        (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

    или        ,        (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы  на промежуток времени .

– изменение момента импульса тела,  – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

   или                                                                                     (1.13)