Методические указания
§ 1. Предел функции
Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) в точке а (или при х а (стремящимся к а)), если для любой сходящейся к а последовательности х1, х2, х3,…, хn, … отличных от а, соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2), f(x3), …, f(xn), … сходится к числу А.
Обозначение: lim f(x) = A.
xa
A может быть как конечным, так и бесконечным числом.
Если конечны, то
; (1.1)
(1.2)
при любом постоянном с;
; (1.3)
,
если .
Вычисления пределов отношений двух функций, когда числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0 или ∞, называется раскрытием неопределенностей. Неопределенности символически изображаются или, для их раскрытия применяются различные методы.
Пример 1. Вычислить пределы функций.
1) при а) х0=2; б) х0=1; в) х0=∞.
2)
Решение.
а) нужно найти . Найдем предел знаменателя:,
следовательно ,
б) нужно найти . Найдем предел знаменателя:.
Найдем предел числителя: .
Следовательно, х = 1 является общим корнем числителя и знаменателя, т. е. нужно раскрыть неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители и общий множитель сократим:
3х2-х-2 = (х-1) (3х+2),
4х2-5х+1 = (х-1) (4х-1),
в) нужно найти . Прих∞числитель и знаменатель стремятся к ∞, т. е. имеем неопределенность вида вида . Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби нах2, при этом дробь не изменится. Получим
= ,т. к.
= 0; = 0;4 -= 40.
нужно найти . Найдем предел знаменателя:
(х-5)=0
Найдем предел числителя:
() == 0,
т.е. нужно раскрыть неопределенность вида . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на, дробь при этом не изменится, получим:
=
=
= ==
=
§ 2. Непрерывность функции.
Определение. Функция y = ƒ(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке, т.е.
.
Точка x = а называется точкой разрыва функции y = ƒ(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки x = a, но в самой точке
x = а не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва первого рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние
пределы (левый предел) и (правый предел), при этом
≠
К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Пример 2.
1) Дана функция y = . Найти точки разрыва и исследовать их характер. Построить схематично график функции в окрестностях точек разрыва.
Решение.
Функция y = определена при всех значениях х, кроме х = - 3. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков (- ∞;-3 ) и (-3;+ ∞).
Следовательно, единственной точкой разрыва является точка х = -3 (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена).
|
Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва Х = - 3:= + ∞; = - ∞; Следовательно, при х = - 3 функция у = имеет бесконечный разрыв (рис. 1); х = - 3 есть точка разрыва второго рода. |
Рис. 1
Пример 3. Дана функция .
Найти ее точки разрыва и исследовать их характер. Построить чертеж.
Решение.
Числовая ось, являющаяся областью определения функции, разбить на два промежутка (-,1) и (1,+), в каждом из которых исследуемая функция является элементарной и непрерывной.
Исследуем нашу функцию на непрерывность при x = 1.
Вычислим односторонние пределы при х стремящимся к единице слева и справа:
Следовательно, при х = 1 имеется разрыв первого рода (скачок функции в точке).
Вычислим значение функции при :
Y(1) =
Значит, наша функция непрерывна слева.
Таким образом, исследуемая функция непрерывна на всей числовой оси за исключением точки , в которой она терпит разрыв 1 ряда.
Построим чертеж.
Производная
Основные правила дифференцирования:
;
при C=const;
;
.
Пример 4. Найти производные заданных функций.
а) б)
в) г)
Решение.
а)
Используем формулы:
при
Тогда
б)
Преобразуем функцию y по свойствам логарифмов:
In a – In b;InIn a.
Для нахождения производной используем формулы:
(In U)’ = (CU)’ = CU’;
C’= 0; X’ = 1;
( U + V – W)’ = U’ + V’ – W’
Получим:
у’ = In In=In(1+7Х)- In(1-7Х);
у’= [ In (1+ 7X) – In(1-7X)]= =
=
=
в) у = 2 arctg .
Используем формулы:
(arctg U)’ = при U = ;
(U)’= nUU; (СU)= С U;
(U+V)’= U’ = V’; C’ = 0;